между p и парой эквивалентных друг другу альтернатив (т. е. q ):

d (p) = inf d(p, q).

q

Инфимум конечен, поскольку расстояние ограничено снизу нулем. Покажем, что так определенная функция является непрерывной. Рассмотрим две произвольные пары альтернатив p, q X × X . Для любой пары эквивалентных между собой альтернатив r в силу неравенства треугольника имеем d(p, r) 6 d(p, q) + d(q, r). Следовательно,

d (p) = inf d(p, s) 6 d(p, q) + d(q, r).

s

Так как левая часть последнего неравенства не зависит от r, то

d (p) 6 d(p, q) + inf d(q, s) = d(p, q) + d (q).

s

С другой стороны, по аналогии можно доказать, что выполнено

d (q) 6 d(p, q) + d (p).

Комбинируя два последних неравенства, находим

d (q) − d (p) 6 d(p, q),

откуда очевидным образом следует непрерывность функции d (·).

Поскольку расстояние неотрицательно, то d (p) > 0. Кроме того, данная функция обладает тем свойством, что d (p) = 0 тогда и только тогда, когда p представляет собой пару эквивалентных альтернатив (p ). Действительно, если p , то d (p) = d(p, p) = 0. Обратно, пусть для пары альтернатив выполнено p / . В силу замкнутости дополнение к— открытое множество, и, значит, точка p содержится в этом дополнении вместе с некоторой ε-окрестностью. Поскольку около p нет пар эквивалентных альтернатив, которые бы находились от p ближе, чем на расстоянии ε, то по определению d (·) должно быть выполнено

Очевидно, что если в качестве базового индикатора полезности взять функцию Δ(x, y), то возможно систематическое построение микроэкономической теории на основе полных предпочтений, которые не обязательно являются транзитивными48.

2.B.3 Задачи

/82. Докажите Теорему 18.

/83. Пусть X = Rn+ , бинарное отношение R задано следующим образом:

x R y xi > yi i,

48См. напр. W. J. Shafer: The Nontransitive Consumer, Econometrica 42 (1974): 913–919. См. также задачу 120 на с. 84.

а на его основе построены следующие четыре бинарных отношения:

x R0 y (y R x) и (x R y), x R00 y (y R x),

x R000 y (x R y) и (y R x),

x R0000 y (x R y) и (y R x).

Охарактеризуйте эти бинарные отношения. Как связаны между собой R0 и R00 ? Дайте интерпретацию всех этих отношений с точки зрения материала данного параграфа.

/ 84. Пусть отношение R рефлексивно и транзитивно. Рассмотрим задаваемые на основании него отношения R и R , определяемые следующим образом:

x R y (y R x),

x R y (x R y) и (y R x).

Покажите, что R иррефлексивно, отрицательно транзитивно, а R рефлексивно, транзитивно и симметрично. Дайте интерпретацию всех этих отношений с точки зрения материала данного параграфа.

/85. Докажите Теорему 20.

/86. Решите задачу 83, предположив, что исходное бинарное отношение R задано следующим образом:

x R y i: xi > yi.

/87. Дайте графическую иллюстрацию идеи доказательства Теоремы 21??.

/88. Дополните доказательство Теоремы 21, доказав, что функция Δ(·) определенная в доказательстве, удовлетворяет условиям (Δ1)–(Δ4).

/89. Для предпочтений, описанных в задачах 26 и 27 из параграфа 2.4, определите, являются ли они непротиворечивыми и являются ли они полными.

Приложение 2.C Альтернативный подход к описанию предпочтений: стохастические предпочтения

До сих пор мы смотрели на предпочтения как на детерминированный объект. Условно говоря, наш потребитель всегда при выборе между яблоком и грушей предпочитал что-то одно — либо яблоко, либо грушу. Но реальный выбор экономических субъектов далеко не столь однозначно определен. Довольно правдоподобно, что, например, в половине случаев потребитель предпочитает яблоко, а в другой половине — грушу.

Как можно моделировать такого рода явления?

Пусть, как и ранее, X — множество возможных альтернатив. Назовем стохастическими предпочтениями распределение вероятностей над обычными неоклассическими предпочтениями, заданными на X . Назовем стохастическим правилом выбора функцию, сопоставляющую каждой ситуации выбора A из данного множества ситуаций выбора A распределение вероятностей над элементами из A. Вероятностное распределение, соответствующее ситуации выбора A, указывает для каждой из альтернатив из A вероятность того, что она будет выбрана.

Рассмотрим, как можно построить правило выбора по стохастическим предпочтениям. Пусть i — множество возможных предпочтений на X . Для упрощения будем полагать, что X конечно, и что для всех предпочтений из i отношение безразличия представляет собой пустое множество (отношение является полным). При этом будем предпочтения отождествлять со строгим отношением предпочтения . Каждым предпочтениям i соответствует

(обычное) правило выбора C( , ·). При сделанных предположениях выбор всегда непуст и однозначен. Стохастические предпочтения сопоставляют каждым предпочтениям i соответ-

ствующую вероятность . Стохастическое правило выбора ˜ · определяется следующим p( ) C( )

образом. Для ситуации выбора A значение стохастического правила выбора ˜ — это

A C(A)

дискретное распределение, которое альтернативе x A сопоставляет вероятность того, что этот альтернатива будет выбрана; т. е. сумму вероятностей p( ) таких предпочтений i, что C( , A) = {x}.

Излагаемый далее пример иллюстрирует этот стохастический взгляд на предпочтения.

Пример 7:

Пусть множество X состоит из трех альтернатив, x, y и z, а множество ситуаций выбора имеет вид A = {{x, y},{y, z},{z, x}}.

Между тремя альтернативами, содержащимися в множестве X , можно задать 6 разных неоклассических предпочтений (без учета предпочтений с эквивалентными альтернативами):

1 2 3 4 5 6

y z x z x y x y z z y x y x z x z y

Сопоставим каждым из этих предпочтений вероятность того, что на них базируется выбор потребителя, p1, . . . , p6 . С учетом этих вероятностей находим

чтений, согласно которым x y. Их сумма и равна вероятности того, что из x и y будет выбрана альтернатива x. Соответственно, p1 , p4 и p5 — это вероятности тех предпочтений,

Будем говорить, что стохастическое правило выбора C(·) рационализуется неоклассическими предпочтениями, если найдутся стохастические предпочтения, согласующееся со стохастическим правилом выбора.

Пример 8 (продолжение Примера 7):

Рассмотрим, например, вопрос о том, может ли быть рационализована предпочтениями стохастическое правило выбора

C({x, y}) = C({y, z}) = C({z, x}) = 12, 12 .

Для ответа на поставленный вопрос необходимо определить, найдутся ли такие вероятности (p1, p2, . . . , p6), которые бы согласовались с данным правилом выбора. Фактически, необходимо решить следующую систему линейных уравнений:

Легко показать, что решение данной системы уравнений существует, причем не единственное

действительности, если бы, например, в первом квартале потребитель имел предпочтения y z x, во втором квартале — предпочтения z x y, а в третьем и четвертом — y x z и x z y соответственно. Тогда, опрашивая его в течении года, мы бы вывели второе из двух указанных стохастических правил выбор.

Аналогично, непосредственной проверкой устанавливается, что, скажем, правило выбора

C({x, y}) = C({y, z}) = C({z, x}) = 14 , 34 не может быть рационализовано предпочтениями, поскольку подходящих вероятностей подобрать не удается (не существует неотрицательного