Вообще говоря, для многих «обычных» функций полезности и производственных функций спрос и предложение являются точечно-множественными отображениями, а не функциями (прежде всего если рассматривать их на более широком множестве, чем множество положительных цен). Поэтому подход, основанный на функциях избыточного спроса, который мы обсуждали выше, имеет не очень широкую область приложимости. Возможно заменить предположения о строгой выпуклости предпочтений и технологических множеств на предположения о выпуклости, если применить другой, более прямой подход (см. Теоремы 75 и 76 в приложении к главе). Он приводит к более длинному доказательству, но зато является более элегантным и расширяет область приложимости теорем существования.

И наконец, выполнение условий теоремы Какутани для отображений, построенных на основе функций избыточного спроса, можно гарантировать лишь при достаточно сильных предположениях относительно предпочтений потребителей, начальных запасах и технологических множеств производителей. Поэтому при установлении условий существования равновесия используются различные модификации функций избыточного спроса, концепций равновесия и т. д. Некоторые приемы такого такого анализа условий существования равновесий также приведены в приложении.

5.3.1Задачи7

/ 272. Можно ли утверждать, что в экономике обмена, в которой функции полезности имеют

вид

l

ui(xi) = X xαikik , k=1

а начальные запасы равны ωik = i · k, равновесие существует? Аргументируйте свой ответ.

/273. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство существования равновесия, либо приведя пример отсутствия равновесия.

/274. Пусть в модели обмена предпочтения потребителей и их начальные запасы совпадают. Гарантирует ли строгая выпуклость предпочтений существование равновесия? Аргументируйте свой ответ, дав доказательство существования равновесия, либо приведя пример отсутствия равновесия.

/275. Покажите, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, описываемыми функциями полезности

u1(x11, x12) = x11, u2(x21, x22) = x22,

и начальными запасами ω1 = (1, 1), ω2 = (α, 1) равновесие существует тогда и только тогда, когда α 6= 0. Какие условия известной вам теоремы существования равновесия нарушаются в случае, когда равновесие не существует?

/ 276. Показать, что в экономике обмена с двумя благами и двумя потребителями, предпочтения которых описываются функциями полезности

u1(x11, x12) = min{x11, x12}, u2(x21, x22) = x22,

не существует равновесия при начальных запасах ω1 = (0, γ) (γ > 0) и ω2 = (α, β) (0 < α < β ). Какие условия известной вам теоремы существования равновесия здесь нарушаются?

/ 277. Предположим, что все продукты производятся на основе первичных факторов, которые принадлежат потребителям и совокупные запасы которых положительны. Предположим

7Часть задач относится к материалу из приложения к главе