подрынке равен нулю, в то время как спрос на первом подрынке все еще остается положительным). Таким образом, кривая спроса представляет собой ломаную. Пусть параметры функций спроса и предельных издержек таковы, что в оптимуме монополист продает на обоих подрынках, и следовательно оптимальная цена p¯ лежит на нижнем участке кривой спроса (p¯ < a2 ). При нахождении чистых потерь (в этом случае) важна форма кривой спроса только при ценах не превышающих p¯. Таким образом, можно считать, что в верхней части кривая спроса не изгибается, что показано на Рис. 13.19 пунктиром. При этом чистые потери должны составлять четверть треугольника, составленного из фигур A и C0 . Т. е. без дискриминации чистые потери составляют (A + C0)/4.

Заметим теперь, что площади треугольников C и C0 равны, поскольку высоты и основания у них равны. Получаем, что без дискриминации чистые потери меньше на величину B/4. 4

13.2.4Задачи

/ 561. Сравните рассмотренные схемы (поведение недискриминирующего монополиста или схему линейного тарифа, схему двухкомпонентного тарифа, пакетную дискриминацию и идеальную дискриминацию) в случае, когда предпочтения потребителей имеют следующий вид

ui(yi, wi) = 0,5θi[1 − (1 − yi)2] + wi.

/ 562. Докажите существование решения задачи идеальной дискриминации при следующих условиях:

3предельные издержки постоянны, vi(·), i дифференцируемы;

3vi0(0) > c0(0) i;

3существуют y˜i > 0, такие что vi(˜yi) − c(˜yi) > vi(y) − c(y) при y > y˜i .

/563. Представьте проанализированные способы дискриминации в виде динамических игр. Объясните, почему рассмотренные решения соответствуют совершенным в подыграх равновесиям данных игр.

/564. Представьте проанализированные схемы дискриминации второго типа в виде динамических байесовских игр в случае постоянных предельных издержек, рассматривая доли участников разных типов как вероятности. Объясните, почему рассмотренные решения соответствуют совершенным байесовским равновесиям данных игр.

/565. Предположим, что функции спроса потребителей и функция издержек линейны, а число участников типа «господин Low» не превышает число участников типа «господин High». Покажите, что если при линейном тарифе монополисту невыгодно обслуживать потребителей

типа «господин Low», то их оказывается невыгодным обсуживать и при пакетной дискриминации. Покажите, построив контрпример, что обратное неверно.

/566. Проверьте, что когда функции спроса имеют вид D(pi) = αi(β −p), тогда монополисту не выгодно применять дискриминацию третьего типа.

/567. Потребитель имеет функцию спроса D(p) = 10 − p. Предельные издержки монополии постоянны MC = 5. Какие сделки может предложить ему монополия, чтобы получить весь излишек (идеальная ценовая дискриминация). Для каждого вида сделок найти все параметры.

/568. Фирма-монополист может разделить своих потребителей на n непересекающихся групп.

Функция спроса каждой группы (i = 1, . . . , n) от цены равна yi(pi) (yi0 > 0), общая функция

y1 = (a1 + a2 + b1) − b1p1,

y2 = (a2 + b1 + b2) − (b1 + b2)p2, c(y) = y,

где a1, a2, b1, b2 — положительные константы.

1)Возьмите конкретные числа a1, a2, b1, b2 и найдите максимум прибыли при использовании дискриминации и без (когда цена одинакова). В каком случае объем производства выше?

2)Покажите, что при любом наборе констант цену для первой группы выгодно установить более высокую.

/569. В той же ситуации взять yi = bip1+1i /ai , ai , bi > 0. Доказать, при произвольном n, что отношения цен в равновесии не зависят от c(·) и найти их.

/570. Пусть монополист продает на двух независимых рынках, где эластичность спроса постоянна и составляет ε1 , на одном, ε2 на другом. предельные издержки c0(y) = c постоянны. Какие цены установятся на обоих рынках?

/571. Как в ситуации Примера 69 (с. 499) соотносятся цены на каждом из подрынков при дискриминации с ценой, назначаемой монополистом без применения дискриминации?

/572. В ситуации Примера 69 (с. 499), вычислив чистые потери благосостояния при дискриминации, проверьте, проведя соответствующие алгебраические преобразования, что они не меньше, чем потери без дискриминации. Для упрощения считайте, что предельные издержки нулевые. При доказательстве воспользуйтесь неравенством Коши — Буняковского:

(x1y1 + · · · + xkyk)2 6 (x21 + · · · + x2k)(y12 + · · · + yk2).

/573. Постройте пример, в котором при дискриминации третьего типа чистые потери были бы меньше, чем без дискриминации.

/574. Пусть в случае дискриминации второго типа монополист сталкивается на каждом из подрынков с обратной функцией спроса pi , которая зависит не только от объема продаж на данном подрынке, но и от объемов продаж на других подрынках, т. е. pi = pi(yi, y−i). Рассмотрите случай двух подрынков, когда емкость подрынка с меньшей эластичностью спроса (точнее, ее абсолютная величина) больше. Докажите, что монополист установит цену выше на том подрынке, где эластичность спроса по цене меньше.

/575. Используя результаты Примеров 67 и 69 покажите, что предпочтение монополиста относительно применения конкретной схемы реализации дискриминации второго типа зависит от структуры рынка (количества потребителей каждого вида).