8.4Равновесие Раднера в экономике с риском

актива не зависит от того, кто им владеет, т. е. коэффициенты aksc одинаковы для всех потребителей. Цену этого актива обозначим qc , а его количество, приобретаемое i-м потребителем — zic . Ограничений на знак величин zic не накладывается. Случай zic < 0 можно интерпретировать в том смысле, что потребитель эмитирует соответствующий актив в количестве |zic| (либо берет соответствующий кредит). В предположении, что

??list - потребитель принимает цены как данные,

-в 1-м периоде происходит только обмен активами (обмен «физическими» благами и потребление в модели Раднера происходят во 2-м периоде),

-начальные запасы активов любого типа у любого потребителя равны нулю6,

бюджетное ограничение 1-го периода имеет вид

X

qczic 6 0.

c C

Во 2-м периоде, после осуществления некоторого состояния мира s S , происходит обмен благами с учетом обязательств по активам, приобретенным в 1-м периоде. Соответствующее бюджетное ограничение 2-го периода для каждого состояния мира имеет вид:

Это бюджетное ограничение можно записать также в следующем виде:

XX

k K k K

где ω˘iks — новые начальные запасы, учитывающие чистые обязательства портфеля активов, приобретенных в первом периоде, рассчитываемые по формуле

X

ω˘iks = ωiks + aksczic. c C

Будем предполагать, что активы служат только для передачи покупательной способности между различными состояниями мира (мы обсудим ниже эту их функцию) и не влияют на уровень благосостояния потребителя, поэтому, как и ранее, будем считать, что предпочтения описываются функцией полезности, зависящей лишь от объемов потребления в различных состояниях мира, Ui(xi).

Если бы потребитель в первом периоде, планируя свой портфель активов в первом периоде, знал, в дополнение к ценам активов q, и цены благ p в различных состояниях мира, то, в соответствии с предположением о его предпочтениях, он выбрал бы портфель активов и планы потребления в различных состояниях мира, которые были бы решением следующей задачи:

1-го периода не сопоставимы с денежными единицами 2-го периода. Более того, они не сопоставимы между разными состояниями мира s 2-го периода.

6Это предположение не влияет на анализ модели, но несколько упрощает описание модели и соответствующие выкладки.

Однако в первый период цены p второго периода ему неизвестны. Поэтому, чтобы сформировать портфель активов в 1-м периоде, потребитель должен сформировать некоторые ожидания pei по поводу цен 2-го периода во всех состояниях мира, поскольку ценность его портфеля зависит от будущей конъюнктуры. В модели Раднера предполагается, что эти ожидания оправдываются, т. е. во 2-м периоде на рынках благ обмен фактически происходит по ценам, которые ожидались в 1-м периоде при формировании портфеля.

Сказанное мотивирует следующее определение равновесия:

Определение 64:

Назовем (p¯, {p¯ei }i I , q¯, x¯, z¯) равновесием Раднера экономики с риском, если

1)(x¯i, z¯i) — решение задачи потребителя (8.1) при ценах p¯ei и q¯ .

2)Выполнены балансы по активам:

X

z¯ic = 0, c C.

i I

3)Ожидания потребителей оправдываются: p¯ei = p¯ .

4)x¯ — допустимое состояние, т. е.

XX

x¯iks = ωiks, k K, s S.

i I i I

Поскольку в равновесии ожидания оправдываются, то определение можно упростить, если считать равновесием Раднера набор (p¯, q¯, x¯, z¯) и заменить ожидаемые цены на фактические. В дальнейшем мы всегда будем пользоваться этим сокращенным обозначением.

Таким образом, в модели (равновесии) Раднера мы отказывается от одного очень сильного предположения модели Эрроу — Дебре — полноты рынков контингентных благ, чтобы заменить его другим (очень ограничительным) предположением, — что потребители способны предвидеть будущие равновесные цены в любом возможном состоянии мира.

Как будет показано в дальнейшем, если это предположение дополнить предположением о том, что множество доступных потребителям активов достаточно «богатое» (условие полноты рынков), то любое равновесие в этой модели будет Парето-оптимальным и любое Па- рето-оптимальное состояние можно реализовать как такое равновесие. В то же время, подход Раднера позволяет моделировать и приводящие к фиаско рынка ситуации, возникающие, когда множество доступных потребителям активов является довольно «бедным», и, следовательно, Парето-оптимум может быть недостижим.

Для анализа равновесия Раднера можно воспользоваться понятием арбитража: где под арбитражем понимаются изменения в портфеле активов с целью увеличить его доходность (по крайней мере, в одном состоянии мира). Всюду в этой главе мы будем использовать термин «арбитраж» в этом несколько специфическом смысле, принятом в микроэкономике.

Под планом арбитража мы будем понимать вектор z = { zc}c C , характеризующий изменения в портфеле активов типичного потребителя, zi . При таком изменении левая часть бюджета первого периода (чистые расходы на покупку активов) рассматриваемого потребителя изменится на величину q z. Очевидно, что если q z 6 0 при данном векторе цен активов q, то такой план арбитража не выводит за границы бюджетного множества 1-го периода. Изменение дохода рассматриваемого потребителя в s-м состоянии мира, вызываемое данным планом арбитража z равно

X X

pksaksc zc = psAs z,

c C k K

где As — матрица доходностей активов в состоянии мира s. Такой арбитраж имеет целью получить во втором периоде по крайней мере в одном состоянии мира прирост дохода потребителя (при том, что в остальных состояниях мира доход не уменьшится).

Определение 65:

Будем говорить, что в модели Раднера при ценах активов q, ценах благ p и доходностях активов {aksc} арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража z, что q z 6 0, и для любого состояния мира s S выполнено

X X

pksaksc zc > 0,

c C k K

причем хотя бы для одного состояния мира неравенство строгое.

Если цены в модели Раднера таковы, что арбитраж возможен, то такая ситуация не может быть равновесием. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.

Теорема 98:

Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по потреблению в каждом из состояний мира, и (p¯, q¯, x¯, z¯) — равновесие Раднера в этой экономике с некоторой системой активов. Тогда при ценах p¯, q¯ и данной системе активов арбитраж невозможен.

Доказательство: Действительно, арбитраж означает, что возможно получить прирост дохода в одном из состояний мира, что противоречит локальной ненасыщаемости.

Очевидно, что аналогом контингентных благ модели Эрроу — Дебре в модели Раднера является актив Эрроу, который дает право получить единицу k-го блага, если реализуется состояние мира s. Формально актив c является активом Эрроу для (k0, s0), если aksc = 1 при k = k0 , s = s0 , и aksc = 0 при остальных k и s. Для таких активов удобно использовать обозначение (k, s).

Перед тем, как обратиться к более общему случаю, рассмотрим подробнее частный случай, когда все активы в экономике являются активами Эрроу. В задаче потребителя бюджетное ограничение 1-го периода:

X

qksziks 6 0.

(k,s) C

Баланс активов в 1-м периоде:

X

ziks = 0, (k, s) C.

i I

Бюджетное ограничение 2-го периода:

Таблица 8.2. Пример множества C (из четырех активов Эрроу) в экономике с активами Эрроу, l = 2, sˆ = 3.

Заметим, что модель Эрроу — Дебре можно рассматривать как частный случай модели Раднера. Если в экономике есть все возможные активы Эрроу, т. е.

C = (k, s) k K, s S ,

то модель Раднера — фактически другая формулировка модели Эрроу — Дебре. Действительно, из равновесия Эрроу — Дебре (pˇ, xˇ) легко сконструировать равновесие

Раднера (p¯, q¯, x¯, z¯). Для этого достаточно взять

p¯ks = pˇks, q¯ks = pˇks, x¯iks = xˇiks, z¯iks = xˇiks − ωiks.

Тогда обмены в первом периоде при заключении контрактов исчерпывают все возможные выгоды обмена, и во второй период обменов не будет, поскольку ω˘iks = ωiks − z¯iks = xˇiks . Проверка этого факта предлагается в качестве упражнения.

Для доказательства обратного утверждения — что, если в экономике есть все возможные активы Эрроу, то на основе равновесия Раднера можно сконструировать равновесие Эрроу — Дебре — требуется воспользоваться свойствами равновесия Раднера. Если в экономике есть все возможные активы Эрроу, то в равновесии цены активов Эрроу пропорциональны ценам контингентных благ. Действительно, предположим, что в равновесии Раднера все цены положительны, и пусть k1 , k2 — два блага, а s — состояние мира, такие что в равновесии цены активов Эрроу и цены благ не пропорциональны, например,

p¯k1s/q¯k1s > p¯k2s/q¯k2s.

Здесь k1 — относительно более дорогое благо, что позволяет осуществить арбитраж и получить дополнительный доход в состоянии мира s, включив в портфель несколько большее количество актива (k1, s) и несколько меньшее — актива (k2, s), и не нарушить при этом бюджетное ограничение.

Таким образом, чтобы арбитраж был невозможен, равновесные цены должны быть такими, что для любого s векторы p¯s и q¯s были коллинеарны (пропорциональны), где p¯s и q¯s — части векторов p¯ и q¯ , соответствующие состоянию мира s.

Докажем это свойство в общем виде, не предполагая положительность цен в равновесии Раднера, но при этом используя в доказательстве менее интуитивно очевидный план арбитража, чем только что предложенный.

Теорема 99:

Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по потреблению в каждом из состояний мира, и (p¯, q¯, x¯, z¯) — равновесие Раднера в этой

Доказательство: Рассмотрим одно из состояний мира s S . Из локальной ненасыщаемости следует, что p¯s 6= 0 и q¯s 6= 0, откуда |q¯s|2 6= 0. Рассмотрим следующий план арбитража:

zt = 0, t 6= s и zs = p¯s − λsq¯s,

где

λs = p¯sq¯s .

|q¯s|2

Для этого плана выполнено q¯ z = q¯s zs = 0. Поскольку арбитраж невозможен, то отсюда следует, что p¯s zs = 0. Действительно, при p¯s zs > 0 этот план арбитража позволяет увеличить доход любого потребителя в состоянии мира s. Случай p¯s zs < 0 сводится к случаю

|p¯s − λsq¯s|2 = (p¯s − λsq¯s)Δzs = p¯s zs − λsq¯s zs = 0.

т. е. p¯s = λsq¯s .

Докажем, что λs > 0. Если это не так и λs 6 0, то p¯sq¯s 6 0, и следующий план арбитража:

zt = 0, t 6= s и zs = p¯s,

Заметим, что ключевое предположение модели Раднера — потребители, при расчете цен активов, предвидят цены всех благ во всех состояниях мира — не является при этом существенным, так как структура наблюдаемых ими в первом периоде цен активов совпадает со структурой цен благ второго периода. Данное предположение становится существенным в ситуациях, когда какие-то активы Эрроу отсутствуют. Заметим также, что в этой ситуации, даже в том случае, когда равновесие Эрроу — Дебре единственно, существует бесконечно много равновесий Раднера с нетривиальными обменами во втором периоде в дополнение к рассмотренному выше равновесию, когда обмены во втором периоде отсутствуют.

Используя только что доказанное свойство равновесия Раднера с полным набором активов Эрроу, продемонстрируем, что на основе такого равновесия можно сконструировать равновесие Эрроу — Дебре.

Теорема 100:

Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по потреблению в каждом из состояний мира, и (p¯, q¯, x¯, z¯) — равновесие Раднера в этой

экономике с C = (k, s) k K, s S . Тогда (q¯, x¯) — равновесие Эрроу — Дебре.

Доказательство: Из предыдущей теоремы следует, что (q¯, q¯, x¯, z¯) — тоже равновесие Раднера в рассматриваемой экономике. Складывая все бюджетные ограничения задачи i-го потребителя, убеждаемся, что это при этом получится бюджетное ограничение задачи i-го потребителя в модели Эрроу — Дебре. Следовательно, эти две задачи эквивалентны7. Т. е. x¯i — решение задачи потребителя в модели Эрроу — Дебре при ценах q¯ . Несложно проверить, что остальные условия равновесия Эрроу — Дебре также выполнены.

Основное условие, гарантирующее эквивалентность моделей Эрроу — Дебре и Раднера, — наличие возможности переносить покупательную способность из одного состояния мира в другое. При этом вовсе не обязательно требовать, чтобы имелись все активы Эрроу. Для того, чтобы эта возможность существовала, достаточно, в частности, чтобы имелись все активы Эрроу, выраженные в 1-м благе, и только они (благо 1 — счетная единица, numeraire):

C = (1, s) s S .

Проанализируем равновесие Раднера с таким набором активов. При анализе удобно использовать следующие обозначения: q1s = qs , zi1s = zis .

Заметим, что арбитраж в этой экономике возможен тогда и только тогда, когда qs и p1s имеют разные знаки или же qs = 0 хотя бы для одного состояния мира s. Мы будем далее предполагать, что 1-е благо нужно всем потребителям во всех состояниях мира, т. е. функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира. Тогда в равновесии Раднера p1s > 0 s S . При этом арбитраж возможет тогда и только тогда, когда qs 6 0 хотя бы для одного состояния мира s. Соответствующий план арбитража построить достаточно просто — он должен сводится к покупке актива Эрроу, соответствующего состоянию s. Невозможность арбитража эквивалентна условию q > 0.

7Мы пропустили здесь часть рассуждений (строгое доказательство эквивалентности), но их легко восстановить, пользуясь как образцом доказательствами теорем, приведенных далее в этом параграфе.

Теорема 102:

Пусть в экономике с риском функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира, и (p¯, q¯, x¯, z¯) — равновесие Раднера в этой экономике

сC = (1, s) s S . Тогда существует вектор цен pˇ , такой что (pˇ, x¯) — равновесие

Эрроу — Дебре.

Доказательство: Возрастание функции полезности по первому благу гарантирует положительность цен этого блага в равновесии Раднера в каждом состоянии мира. Кроме того, для каждого потребителя i выполнены (как равенства) бюджетные ограничения 1-го и 2-го периодов:

X

q¯sz¯is = 0,

s S

p¯sxˇis = p¯sωis + p1sz¯is.

Выберем pˇs следующим образом,

q¯s

pˇs = p¯1s p¯s.

Тогда

pˇsxˇis = pˇsωis + qsz¯is.

Складывая эти соотношения для всех состояний мира с бюджетным ограничением 1-го периода, убеждаемся, что при ценах pˇ выполняется бюджетное ограничение в модели Эрроу — Дебре:

XX

pˇsxˇis = pˇsωis. s S s S

Таким образом, xˇi — допустимое решение задачи потребителя (N). Покажем, что оно является оптимальным.

Пусть это не так, и xˇi — другое допустимое решение задачи (N), с более высоким значением полезности. Так как xˇi допустимо, то

XX

Тогда можно подобрать портфель активов, zˇi , такой что (xˇi, zˇi) — допустимое решение задачи потребителя (8.1) в модели Раднера при ценах p и q. Для этого, как и в доказательстве предыдущей теоремы, можно выбрать zˇis так, чтобы покрыть бюджетный дефицит в соответствующем состоянии мира, dis = p¯s(xˇis − ωis), т. е. zˇis = dis/p¯1s . При этом

т. е. выполнено бюджетное ограничение 1-го периода. Бюджетное ограничение 2-го периода выполнено в силу определения zˇis . Получили противоречие.

Пример 40:

Рассмотрим модель Раднера с двумя состояниями мира, s = R, S , двумя благами, k = A, B двумя потребителями и возможными активами Эрроу, отмеченными в таблице. Они выражены в благе A.

Ожидания потребителей по поводу вероятностей состояний мира совпадают и равны µR =

µS = 1/2.

Предпочтения потребителей также одинаковы и элементарные функции полезности равны:

ui(xA, xB) = ln(xA) + ln(xB), i = 1, 2.

Начальные запасы указаны в нижеследующей таблице.

Рис. 8.5. Иллюстрация к Примеру 40

Рассмотрим теперь модель Раднера, в которой активы не обязательно являются активами Эрроу. Для упрощения анализа будем предполагать, что все активы выражены только в первом благе. Поскольку доходности по остальным благам при этом равны нулю, то соответствующие коэффициенты можно не рассматривать. При этом будем использовать следующие обозначения: as = {asc}c — вектор, составленный из доходностей всех активов в состоянии мира s, A = {as}s — матрица, составленная из доходностей всех активов во всех состояниях мира.

Хотя в такой экономике могут быть довольно сложные активы, но они фактически сводятся к набору элементарных активов (активов Эрроу). Соответственно, цену любого (сколь угодно сложного) актива можно вычислить через цены активов Эрроу, даже если таких активов в экономике нет. Для доказательства этого факта мы опять воспользуемся тем, что в равновесии Раднера арбитраж невозможен.

Рассмотрим, что означает в такой экономике невозможность арбитража. Переформулируя определение, арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража z, что q z 6 0, и для любого состояния мира s S выполнено p1sas z > 0, причем хотя бы для одного состояния мира неравенство строгое. Если p1s > 0 в любом состоянии мира, то последнее неравенство эквивалентно as z > 0. Такая переформулировка означает невозможность составить допустимый план арбитража (не требующий увеличения чистых расходов на покупку активов), такой что он приводит к приросту доступного потребителю количества 1-го блага по крайней мере в одном состоянии мира и не уменьшает эту величину в других состояниях мира. Формально возможность арбитража при ценах активов q записывается следующим образом:

z : q z 6 0 и A z >6= 0.

Цены активов q, при который такого плана арбитража z не существует, называют безарбитражными.

Для доказательства того факта, что цены активов можно разложить по ценам активов Эрроу, требуется также дополнительное предположение о том, что матрица доходностей активов

Это свойство означает, что арбитраж в принципе возможен, если не учитывать бюджетное ограничение 1-го периода: можно подобрать план арбитража такой, что любом состоянии мира as z > 0 и хотя бы для одного состояния неравенство строгое. Из определения безарбитражности следует, что если цены активов безарбитражные (например, это равновесные цены

активов), то подобный план арбитража должен потребовать увеличения чистых расходов на приобретение активов: q z > 0.

☼

аналогии с

Предположение ( ) нужно для того, чтобы первый период можно было рассматривать по состояниями мира s второго периода. Дело в том, что в рассматриваемой нами мо-

дели в 1-м периоде потребление отсутствует и излишек денег в 1-м периоде без предположения (☼) не означает, что потребитель выбрал неоптимальный портфель. Если цены активов безарбитражные и выполнено (☼), то потребитель может передать покупательную способность из первого периода во второй, поэтому излишек денег в 1-м периоде несовместим с безарбитражностью.

Таким образом, мы можем расширить множество состояний, включив в него 1-й период с индексом 0, т. е. рассматривать S = {0, 1, . . . , sˆ}, и модифицировать соответствующим образом определение безарбитражности цен активов. Введем обозначение

!

−q W = A .

В столбцах матрицы W содержится информация о том, что приносит актив в каждом из состояний: единица актива c дает −qc в состоянии 0 и asc в остальных состояниях.

В этих обозначениях цены активов q являются безарбитражными, если не существует плана арбитража z, такого что W z >6= 0, т. е. такого, что он дает дополнительный доход в одном из состояний 0, 1, . . . , sˆ, не уменьшая доход в других состояниях. Перейдем теперь к доказательству теоремы, связывающей цены активов q и соответствующие им «цены активов Эрроу», которые мы обозначим через π.

Теорема 103:

(i)Пусть A — матрица доходностей активов, удовлетворяющая предположению (☼), а q — безарбитражные цены активов. Тогда существует вектор π > 0, такой что q = πA.

(ii)Пусть цены активов можно представить в виде q = πA, где π > 0. Тогда цены

активов q являются арбитражными.

Доказательство: (i) Как было показано выше, при выполнении (☼) безарбитражность q эквивалентна отсутствию плана арбитража z, такого что W z >6= 0. Рассмотрим следующее множество:

n o

T = τ Rsˆ+1 τ = W z, z Rcˆ .

Элемент τ = W z этого множества интерпретируется как вектор, составленные из чистых приростов дохода τs , полученных в каждом из состояний 0, 1, . . . , sˆ за счет использования плана арбитража z. Безарбитражность q означает отсутствие в T векторов τ , таких что τ >6= 0, поэтому предположение о безарбитражности можно записать в виде

T (Rs+ˆ+1\{0}) = .

Вместо Rs+ˆ+1\{0} (положительного ортанта с «выколотым» нулем) достаточно рассмотреть симплекс

s S

Предположение о безарбитражности принимает вид

T Σ = .

Множества T и Σ выпуклы, непусты, Σ компактно, а T замкнуто. По теореме отделимости Минковского для компактных множеств существует вектор коэффициентов π˜ Rsˆ+1 , и числа b1 и b2 , b1 < b2 , такие что π˜τ 6 b1 при τ T и π˜τ > b2 при τ Σ.

Покажем, что π˜ > 0. Пусть это не так и π˜s 6 0 для некоторого состояния s. Пусть es — орт, соответствующий состоянию s. Поскольку es Σ, то π˜s = π˜es > b2 , т. е. b2 6 0, и, следовательно, b1 < 0. Таким образом, должно быть π˜τ < 0 при τ T. Но 0 T и позволяет здесь получить 0. Пришли к противоречию.

Покажем теперь, что π˜W = 0. Если бы это было не так, то мы могли для любого наперед заданного числа подобрать τ T (поскольку все τ T имеют вид W z, то это делается за счет подбора z) так, чтобы π˜τ было больше этого числа. Но тогда бы мы могли превысить b1 , что невозможно.

На основе вектора π˜ построим искомый вектор π: πs = π˜s/π˜0 , s S . Очевидно, что π обладает требуемыми свойствами: π > 0 и q = πA.

Здесь достаточно рассматривать такие планы арбитража z

Предположим, что не существует вектора π > 0, такого что q = πA. Это означает, что выпуклое непустое замкнутое множество

n o

V = v v = πA, π Rs+ˆ ,

не содержит вектор q. Простроим на основе этого «прибыльный» план арбитража, и придем к противоречию с предположением о том, что арбитраж невозможен.

По теореме отделимости существует вектор z0 , такой что q z0 < c и v z0 > c, v V . Поскольку V — конус, то константу c можно выбрать так, чтобы разделяющая гиперплоскость проходила через вершину конуса, т. е. c можно положить равной нулю. При этом урав-

дохода. Но может оказаться возможным несколько скорректировать z0 и получить выгод-

(Должно выполняться q z00 > 0, то есть этот план потребует увеличения чистых расходов на приобретение активов, иначе мы сразу получим, что арбитраж возможен.) На основе z0 и z00 можно построить комбинированный план z = z0 +λ z00 , где λ — достаточно малое положительное число, такой что q z 6 0 и A z >6= 0. Таким образом, получили противоречие

с невозможностью арбитража, и доказали, что требуемый вектор π > 0 существует.

Ясно, что π 6= 0, поскольку π = 0 возможно только при q = πA = 0, что противоречит невозможности арбитража при ценах q.

(ii) Пусть q = πA, где π > 0, и пусть z — план арбитража, такой что A z >6= 0. Тогда

Требуемое для доказательства условие (☼) верно при многих достаточно естественных предположениях на матрицу A. В частности, достаточно, чтобы матрица A имела ранг, равный количеству состояний мира, другими словами, чтобы векторы as были линейно независимы. Другой случай, когда можно легко построить z00 — когда хотя бы один из активов не приносит отрицательного дохода ни в одном состоянии мира, а по крайней мере в одном приносит положительный доход (например, актив Эрроу). Тогда соответствующий план арбитража может заключаться в том, чтобы приобрести единицу такого актива (все компоненты вектора

z00 равны нулю, кроме компоненты, соответствующей данному активу, которая равна единице). В дальнейшем мы, как правило, будем предполагать, что матрица доходностей активов обладает свойством (☼).

Поскольку при равновесных ценах q арбитраж невозможен, то из доказанной теоремы следует, что можно представить равновесные цены активов в виде q = πA. Отдельный элемент вектора π, πs , можно интерпретировать как цену актива Эрроу (1, s).

Если матрица A имеет ранг, равный количеству состояний мира sˆ, то такой вектор π определяется однозначно. Можно выбрать sˆ активов с линейно независимыми векторами до-

ходностей и сформировать из них матрицу ˆ , при этом ˆ −1 . В противном случае

A π = qA

удовлетворяющих этому соотношению векторов π может быть бесконечно много. Например, если в экономике есть только активы Эрроу, выраженные в 1-м благе, но не для всех состояний мира, то цены активов Эрроу для отсутствующих активов (1, s) можно выбрать произвольным образом.

Для каждой матрицы доходностей активов A можно задать подпространство активов, как подпространство, натянутое на векторы, соответствующие доходностям активов в разных состояниях мира:

n o

λ(A) = w w = Az, z Rcˆ .

Вектор z здесь можно интерпретировать как портфель активов (поскольку речь идет об объективной характеристике системы активов, то индекс потребителя не пишется), а отдельный элемент вектора w, ws , — как доход от этого портфеля в состоянии мира ws (выраженный в количестве 1-го блага). Таким образом λ(A) — это множество тех доходов, которые можно получить при некотором выборе портфеля z.

Для равновесий Раднера существенным является именно это подпространство активов, а не матрица A, по которой оно строится. Покажем это, доказав, что если λ(A) = λ(A0), то из равновесия Раднера с матрицей доходностей активов A можно сконструировать равновесие Раднера с матрицей доходностей активов A0 . В доказательстве мы воспользуемся полученным выше представлением вектора цен активов в виде q = πA.

Теорема 104:

Пусть в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике, где все активы выражены в 1-м благе, и A — матрица их доходностей, удовлетворяющая предположению (☼). Тогда если A0 — другая матрица доходностей, такая что λ(A) = λ(A0), то существует портфель активов z0 и цены активов q0 такие, что (p, q0, x, z0) — равновесие Раднера с матрицей доходностей A0 .

Доказательство: Поскольку цены q соответствуют равновесию Раднера, и предпочтения локально ненасыщаемы, то при этих ценах невозможен арбитраж. Предположение (☼) гарантирует при этом, что существует вектор π = {πs}s , такой что q = πA.

В качестве цен активов q0 в конструируемом равновесии возьмем πA0 .

Построим теперь z0 . Поскольку Azi λ(A) и λ(A) = λ(A0), то Azi λ(A0). Другими

Покажем теперь, что (p, q , x, z ) — равновесие Раднера с матрицей доходностей A0 . Набор (xi, z0i) допустим в задаче i-го потребителя при ценах p, q0 и матрице доходностей A0 ,

поскольку

q0z0i = πA0z0i = πAzi = qzi 6 0.

и

pxi 6 pωi − p1saszi = pωi − p1sa0sz0i.

Покажем, что (xi, z0i) является оптимальным решением. Пусть это не так, и (xˇi, zˇ0i) — другое допустимое решение задачи i-го потребителя при ценах p, q0 и матрице доходностей A0 , с более

высоким значением полезности. Тогда, следуя рассмотренной выше схеме, можно подобрать портфель активов, zˇi , такой что (xˇi, zˇi) — допустимое решение задачи потребителя при ценах p и q и матрице доходностей A. Поскольку xˇi дает потребителю более высокую полезность, чем xi , то это противоречит оптимальности (xi, zi) при ценах p и q и матрице доходностей

A.

Замечание: Таким образом, каждому равновесию Раднера в экономике с множеством активов с матрицей доходностей A соответствует равновесие Раднера в экономике с множеством активов с матрицей доходностей A0 с теми же планами потребления и ценами благ. Верно и обратное, если матрица A0 удовлетворяет предположению (☼).

Если матрица доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира sˆ (т. е., если структура доступных активов является достаточно «богатой»), то

λ(A) = λ(I),

где I — единичная матрица размерности sˆ × sˆ. Матрица доходностей I соответствует слу-

чаю, когда C = (1, s) s S , то есть когда все активы в экономике являются активами Эрроу, выраженными в 1-м благе. Поэтому при выполнении этого условия — полного ранга матрицы A — верны аналоги доказанных ранее для случая A = I теорем об эквивалентности равновесий Эрроу — Дебре и Раднера.

Теорема 105:

Предположим, что в экономике с риском функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира. Кроме того, будем предполагать, что все доступные потребителям в равновесиях Раднера активы выражены в 1-м благе, и матрица их доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира.

(i)Пусть (pˇ, xˇ) — равновесие Эрроу — Дебре в этой экономике. Тогда существует портфель активов z¯ и цены активов q такие, что (pˇ, q, xˇ, z¯) — равновесие Раднера.

(ii)Наоборот, пусть (p, q, x¯, z¯) — равновесие Раднера в этой экономике. Тогда суще-

ствует вектор цен pˇ , такой что (pˇ, x¯) — равновесие Эрроу — Дебре.

Доказательство: Данное утверждение является следствием Теорем 101, 102 и 104.

На основании равновесия Эрроу — Дебре можно сконструировать равновесие Раднера с матрицей доходностей активов I, а на основании последнего — равновесие Раднера с матрицей доходностей активов A. Наоборот, на основании равновесия Раднера с матрицей доходностей активов A можно сконструировать равновесие Раднера с матрицей доходностей активов I, а на основании последнего — равновесие Эрроу — Дебре.

Пользуясь свойствами равновесия Эрроу — Дебре, получим важное следствие из данной теоремы: если матрица активов в модели Раднера имеет полный ранг, то каждое равновесие в такой модели Парето-оптимально. С другой стороны, если матрица активов неполного ранга, то возникает проблема неполноты рынков, и в общем случае равновесие Раднера неоптимально.

Приведем пример такой экономики. Пусть существует 2 физических блага (A и B ), 2 состояния мира (R и S ) и 2 потребителя-рискофоба (1 и 2). Начальные запасы в состоянии мира R целиком принадлежат потребителю 1, а начальные запасы в состоянии мира S целиком принадлежат потребителю 2, причем системный риск отсутствует (ω1R = ω2S > 0 и ω1S = ω2R = 0). Предположим, что в экономике активы отсутствуют (частный случай неполноты ранга матрицы активов).

Потребление в равновесии Раднера в каждом состоянии мира будет совпадать с начальными запасами, поскольку потребителям нечем обмениваться. В то же время, как мы знаем, в