Парето-оптимуме (и в равновесии Эрроу — Дебре) у каждого потребителя потребление во всех состояниях мира должно быть одинаковым (не должно быть индивидуального риска). Таким образом, равновесие Раднера не будет в этой экономике оптимальным.

Если в данной экономике есть только один актив Эрроу, то выводы не поменяются, поскольку с помощью него нельзя обменивать риски.

Более того, равновесие Раднера может оказаться неоптимальным даже когда отсутствует индивидуальный риск в исходном состоянии (у каждого потребителя начальные запасы не зависят от состояния мира). Такой случай может иметь место, если в (одинаковых) элементарных экономиках, соответствующих разным состояниям мира, существует более, чем одно равновесие Вальраса. Тогда будут существовать равновесия Раднера8, такие что в одних состояний мира потребление соответствует одному из равновесий Вальраса элементарной экономики, а в других — другому равновесию Вальраса. Но такие равновесия не будут Парето-оптимальными по указанной выше причине.

8.4.1Задачи

/ 427. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Sun, Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состоянии мира S у 1-го потребителя — ω1S = (0, 0), у 2-го потребителя — ω2S = (3, 6), а в состоянии мира R у 1-го потребителя — ω1R = (5, 1), у 2-го потребителя — ω2R = (1, 2). Предположим, что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с элементарными функциями полезности

u1 = −1/x1a − 1/x1b, u2 = x2a + 4x2b

Предположим, что вероятность состояния мира S равна 2/3, а вероятность состояния мира

R— 2/3.

(1)Покажите формально, что состояние x1S = (2, 1), x1R = (2, 1), x2S = (1, 5), x2R = (4, 2), pa = (1, 2), pb = (4, 8) является равновесием Эрроу — Дебре.

(2)Как на основе равновесия Эрроу — Дебре сконструировать равновесие Раднера?

/ 428. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Good, Bad) и двумя (физическими) благами (Apples, Cucumbers) запасы которых в состоянии мира G у 1-го потребителя — ω1G = (4, 4), у 2-го потребителя — ω2G = (2, 2), а в состоянии мира B — ω1B = (1, 1) и ω2B = (5, 5) соответственно. Предположим, что предпочтения потребителей описываются функцией полезности Неймана — Моргенштерна с элементарной функцией полезности вида

ui = ln xia + ln xic.

Предположим, что вероятность состояния мира G равна 2/3, а вероятность состояния B —

2/3.

(1)Покажите формально, что состояние x1 = (3, 3, 3, 3), x2 = (3, 3, 3, 3), pG = (2, 2), pB = (1, 1), является равновесием Эрроу — Дебре.

(2)Как на основе равновесия Эрроу — Дебре сконструировать равновесие Раднера?

/ 429. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира (Sun, Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состоянии мира S у 1-го потребителя — ω1S = (3, 3/2), у 2-го потребителя — ω2S = (3, 3/2), а в состоянии мира R у 1-го потребителя — ω1R = (3, 3/2), у 2-го потребителя — ω2R = (3, 3/2). Предположим, что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с элементарными функциями полезности

8Такие равновесия получили название равновесий солнечных пятен (англ. sunspot equilibrium). См. статью

D.Cass and K. Shell: Do Sunspots Matter?, Journal of Political Economy 91 (1983): 193–227.