14.3. Картель и сговор |
530 |
14.2.3Приложение
??? В мат. приложении
14.2.4Задачи
/588. Две фирмы, конкурируя на рынке, выбирают объемы производства. Известно, что для этих фирм равновесный объем производства в модели Курно совпадает с равновесным объемом производства в модели Штакельберга. Каков наклон кривых отклика в этой общей точке равновесия? Пояснить графически с использованием кривых отклика и кривых равной прибыли.
/589. Рассмотрим отрасль с двумя фирмами. Пусть обратная функция спроса имеет вид
p(Y ) = Y1 ,
и обе фирмы имеют постоянные предельные издержки cj (0 < cj < 1). При каких условиях равновесие в модели Штакельберга совпадает с равновесием в модели Курно? Изобразите эту ситуацию на диаграмме (в том числе поведение функций отклика).
/590. Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки равные 2. Предполагается, что они конкурируют как в модели Штакельберга. Спрос в отрасли задан обратной функцией спроса P (Y ) = 16 − 0,5Y . Сколько суммарной прибыли они бы выиграли, если бы сумели объединиться в картель?
/591. Рассмотрим дуополию, в которой у 1-й фирмы предельные издержки нулевые, а функ-
ция издержек 2-й фирмы равна
c2(y) = αy2,
где α > 0 — параметр. Обратная функция спроса в отрасли равна
P (Y ) = 1 − Y.
Покажите, что при α → ∞ равновесие Курно сходится к равновесию Штакельберга в том
смысле, что
y1S(α) → 1, y2S(α) → 1. y1C(α) y2C(α)
/592. Докажите Теорему 139 (с. 525), воспользовавшись указаниями, приведенными в тексте.
/593. Докажите, что прибыль ведомого в модели Штакельберга при прочих равных условиях выше, чем в модели Курно, в случае возрастающей функции отклика и ниже в случае убывающей функции отклика.
/594. Два олигополиста продают свою продукцию на рынках близких благ, выбирая объемы производства. Их обратные функции спроса равны p1 = 2 − y1 + y2 и p2 = 3 − y2 + y1 , а предельные издержки равны 1 и 2 соответственно. Найти равновесие при одновременном и при последовательном выборе объемов производства.
14.3Картель и сговор
В этом параграфе мы сравним результаты некооперативного поведения фирм в отрасли в соответствии с моделью Курно с результатами кооперативного поведения. Как известно, если количество фирм в отрасли мало, то они могут заключить между собой соглашение с целью ослабления конкуренции и увеличения прибыли. Мы начнем с анализа, который показывает, что у фирм, конкурирующих по Курно, есть потенциал для взаимовыгодного соглашения, а затем перейдем рассмотрению двух вариантов таких соглашений.
y
y
14.3. Картель и сговор |
533 |
суммарный выпуск во всех точках переговорного множества ниже, чем в равновесии Курно: если через точку равновесия Курно провести прямую y1 + y2 = y1 + y2 , то переговорное множество будет лежать ниже этой прямой. Следующее утверждение формализует эту идею.
Теорема 141:
Пусть при сговоре все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yˇj > 0 j , и обратная функция спроса убывает. Тогда суммарный выпуск при сговоре не превышает суммарный выпуск в соответствующем равновесии Курно:
ˇ
Y 6 Y ,
а равновесная цена при сговоре не меньше цены в соответствующем равновесии Курно:
ˇ p(Y ) > p(Y ).
Доказательство: По определению сговора, прибыль каждого участника не ниже, чем в равновесии Курно:
ˇ − −
p(Y )ˇyj cj(ˇyj) > p(Y )yj cj(yj )
С другой стороны, при выборе yj = yj участник j должен получить не меньшую прибыль,
чем при выборе yj = yˇj , если суммарный выпуск остальных такой же, как в равновесии Курно
(Y−j ):
p(Y )yj − cj(yj ) > p(Y−j + yˇ)ˇyj − cj(ˇyj).
Суммируя эти неравенства, получим
|
p(Yˇ )ˇyj > p(Y j + yˇ)ˇyj. |
|
|
− |
|
Мы предположили, что yˇj > 0, поэтому |
|
|
|
p(Yˇ ) > p(Y j + yˇ). |
|
|
− |
|
Из убывания функции спроса Yˇ j |
6 Y j . Это неравенство верно для всех j . Суммируя эти |
|
− |
− |
|
неравенства и деля на n − 1, получаем Yˇ 6 Y . |
||
Дифференциальная характеристика точки сговора может быть получена из задачи поиска Парето-оптимума без перераспределения прибыли23. Точка yˇ1, . . . , yˇn > 0 Парето-оптимальна, если для любого j она является решением задачи
Πj(y1, . . . , yn) → max
Πi(y1, . . . , yn) > Πi(ˇy1, . . . , yˇn), i 6= j, y1, . . . , yn > 0.
По теореме Куна — Таккера24 для внутреннего решения yˇ1, . . . , yˇn > 0 существуют множители Лагранжа λ1, . . . , λn > 0, причем λj = 1, такие что выполнены условия первого порядка:
n
X ∂Πi
i=1 λi ∂yk (ˇy1, . . . , yˇn) = 0 k.
23Условие, что каждый участник получает прибыль не меньшую, чем в равновесии Курно здесь не учитывается.
24Если функции прибыли вогнуты, и выпуск yˇj > 0 то возможно уменьшить его, увеличив тем самым прибыль прочих участников. Это означает, что выполнено условие Слейтера и теорема Куна — Таккера применима.