Так как π(p) — однородная первой степени функция и y(p) — ее градиент, то по закону Эйлера

π(p) = py(p).

Поскольку py(p) = π(p), то в точке y(p) при данных ценах p величина py(p) всегда не меньше, чем py в любой точке y Yπ . Если мы докажем, что при любых ценах p > 0 точка y(p) принадлежит множеству Yπ = { y | p0y 6 π(p0) p0 > 0 }, то тем самым мы докажем, что π(p) есть функция прибыли, соответствующая технологическому множеству Yπ .

То есть нам требуется показать, что p0y(p) 6 π(p0) p, p0 > 0.

График всякой выпуклой непрерывно дифференцируемой функция ψ(r) лежит выше своей касательной, т. е. выполняется соотношение:

ψ(r0) > ψ(r) + rψ(r)(r0 − r).

Так как π(p) — выпуклая непрерывно дифференцируемая функция, то

π(p0) > π(p) + rπ(p)(p0 − p).

Поскольку rπ(p) = y(p) и py(p) = π(p), получаем требуемое для доказательства утверждения соотношение

4.3.1Задачи

/212. Известно, что при ценах (1, 2) производитель выбрал вектор выпуска (1, −1), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (−1, 1). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?

/213. Известно, что при ценах (3, 2) производитель выбрал вектор выпуска (2, −1), а при ценах (2, 3) — вектор выпуска (1, −2). Совместимо ли это с максимизацией прибыли?

/214. Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (−4, 3), при ценах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, −4). Можно ли гарантировать, что вектор выпуска (−1, 2) не принадлежит множеству допустимых технологий?

/215. Известно, что при ценах (1, 4) производитель выбрал вектор выпуска (−4, 3), при ценах (1, 1) — вектор выпуска (0, 0), а при ценах (2, 1) — вектор выпуска (3, −4). Можно ли гарантировать, что вектор выпуска (−9, 4) не принадлежит множеству допустимых технологий?

/216. Сформулируйте аксиому выявленных предпочтений для модели производителя. Докажите, что если технологическое множество описывается строго вогнутой производственной функцией, то выбор производителя удовлетворяет аксиоме выявленных предпочтений.

/ 217. Покажите, что выполняется соотношение po yo − w r > 0.

/218. Известно, что спрос потребителя удовлетворяет закону спроса только в случае благ, не являющихся товарами Гиффена, а спрос на факторы производства удовлетворяет закону спроса всегда. Какие особенности моделей рационального поведения производителя и потребителя предопределяют такие особенности их поведения?

/219. Пусть функция прибыли производителя имеет вид

π(p) = p1(ln p1 − 1) + p2. p2

Проверьте, что эта функция удовлетворяет свойствам функции прибыли. Восстановите по функции прибыли соответствующее ей технологическое множество.