Методы микроэкономического анализа

Введение

Данное пособие написано в качестве вспомогательного учебного материала к курсу "Методы экономического анализа который изучается студентами 4-го курса экономического факультета Новосибирского государственного университета. Этот курс ориентирован прежде всего на изучение разделов микроэкономической теории, объединенных под общим названием "фиаско рынка". Поскольку он завершает подготовку студентов первой ступени, то в нем учтены особенности преподавания теоретических дисциплин на экономическом факультете НГУ. Так, по необходимости обсуждаются также традиционные разделы микроэкономики, не нашедшие должного места в предшествующих курсах (в частности, принятие решений в условиях неопределенности), владение которыми необходимо для освоения основного материала курса.

Учитывая хорошую математическую подготовку студентов, авторы сочли возможным уделять достаточно большое внимание формально -логическим основам теории. Материал по уровню сложности соответствует примерно известным и популярным учебникам:

H. Varian. Microeconomic Analysis.

D. Krebs. A Course in Microeconomic Theory.

Методическая разработка может использоваться и как пособие для семинарских занятий по соответствующим разделам продвинутых курсов "Микроэкономики "Экономики общественного сектора "Финансовой экономики

Разделы 1,2 пособия являются вводными (базовыми); первый из них вводит необходимые понятия теории игр, второй раздел рассматривает модели совершенного рынка. Последующие разделы посвящены причинам и способам исправления отклонений рынка от Парето - эффективности по следующим направлениям: 1) экстерналии и общественные блага; 2) монополии и олигополии; 3) налоги и издержки сделок; 4) несовершенство информации.

Основная литература:

•Э.Мулен : Теория игр (с примерами из математической экономики).- М., Мир, 1985.

•Э.Маленво : Лекции по микроэкономическому анализу.- М., Наука, 1985.

•Э.Дж.Долан, Д.Е.Линдсей : Рынок; микроэкономическая модель.- Спб.,"Автокомп 1992.

1

Содержание

3.1Проблема экстерналий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2Модель экономики с экстерналиями и теоремы неэффективности . . . . 23

4.1Экономика с общественными благами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2Равновесие (псевдоравновесие) Линдала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3Равновесие с финансированием общественного блага

по добровольной подписке (равновесие без координации) . . . . . . . . . 35

4.4Равновесие с долевым финансированием и голосованием . . . . . . . . . . 38

4.5Процедура Гровса-Кларка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.6 Блага коллективного пользования – рыночное решение . . . . . . . . . . 43

5.1Простая монополия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2Дискриминирующая монополия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3Причины сохранения монополий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4Олигополии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.1Налог на рынке одного товара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2Налог и поведение потребителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.1Предпочтения потребителя в условиях неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.2Индивидуальное равновесие условиях неопределенности . . . . . . . . . . 60

7.3Задача инвестирования (выбора портфеля) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.4Рынки с неопределенностью и риском . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

8.1Неблагоприятный отбор и моральный риск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

8.2Задача выбора оптимального контракта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2

1 Некоторые понятия теории игр

Под понятие игры 1 подходит любая ситуация с целеполагающими (т.е. оптимизирующими) субъектами (ХЮБУФОЙЛБНЙ). В частности, любая оптимизационная задача - это игра с одним участником.

Описание структуры конкретной игры обычно содержит три блока: 1)допустимые множества ходов или стратегий участников; 2)цели; 3)тип поведения участников, зависящий от их информированности и др., описываемый "концепцией решения" игры. По этим трем заданным параметрам ситуации желательно уметь определять множество возможных исходов, то есть "решение".

допустимые множества

цели исход (решение) игры (1)

тип поведения

Для формального анализа игру обычно записывают в одной из форм: ТБЪЧЕТОХФПК (детальное описание возможных ходов), ИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛПК (описываются значения выигрышей каждой коалиции, для анализа кооперативных игр) или УФТБФЕЗЙЮЕУЛПК (ОПТНБМШОПК). Последний вариант, изучаемый далее, означает, что игра есть

G := hI, (Xi)I , (ui)I i , ãäå

I := {1, ..., m} — множество участников i,

X := (Xi)I := Qi Xi — допустимое множество стратегий участников,

u := (ui)I = (ui)i I — набор целевых функций участников (каждая целевая функция ui : Xi 7→IR зависит, вообще говоря, от всех (xj)j I ).

Возможно также более общее — ПВПВЭЕООПЕ представление игр в нормальной форме (оно соответствует общему Вальрасовскому равновесию и мы далее обращаемся к нему только в соответствующем разделе) Оно предполагает, что текущее допустимое множество стратегий Bi(xj6=i) Xi каждого участника может зависеть от текущих действий xj6=i других участников. В этом случае игра есть

G := hI, (Xi)I , (Bi)I , (ui)I i ,

где УПУФПСОЙЕ игры есть x X.

Найти ТЕЫЕОЙЕ игры означает указать множество ее исходов (состояний, от которых участники не станут переходить к другим состояниям). Решений может и не быть: иногда игра не останавливается. В зависимости от конкретной гипотезы, которую мы примем о характере поведения и информации участников, мы можем прогнозировать разные типы решений. Мы будем изучать следующие решения игр в нормальной форме 2:

Будем обозначать через x−i := (xj)j I\{i} набор стратегий всех игроков кроме i, и аналогично индексировать множества и функции.

Введем понятия сравнения стратегий. Естественно считать, что одна стратегия игрока "доминирует" другую, то есть заведомо "лучше" чем другая его стратегия

– когда первая стратегия при любых действиях других игроков не хуже второй стратегии и по крайней мере для одного варианта действий других строго лучше (приносит больший выигрыш). Формально:

1Пособие: Э.Мулен 2Полезно знать, что бывает еще несколько типов кооперативных и некооперативных решений,

кроме упоминаемых в данном пособии.

3

Определение 1.0.1 Стратегия xi Xi игрока i ДПНЙОЙТХЕФ стратегию yi Xi, åñëè

x−i X−i ui(xi, x−i) ≥ ui(yi, x−i),

x−i X−i ui(xi, x−i) > ui(yi, x−i),

ãäå −i := I \ {i}, X−i := (Xj)j6=i.

Если две стратегии xi, yi доставляют одинаковые выигрыши ui(xi, x−i) = ui(yi, x−i) при любых действиях партнеров x−i, òî îíè ЬЛЧЙЧБМЕОФОЩ, если же из пары стратегий ни одна не доминирует другую и они не эквивалентны, то они ОЕУТБЧОЙНЩ.

Понятие доминирования позволяет разбить Xi на классы:

Определение 1.0.2 Стратегия xi Xi игрока i называется ДПНЙОЙТХАЭЕК стратегией (среди его стратегий) если она доминирует любую другую либо эквивалентна ей:

yi Xi, x−i X−i ui(xi, x−i) ≥ ui(yi, x−i).

Множество всех доминирующих стратегий игрока i обозначается IDi. Множество всех ОЕДПНЙОЙТХЕНЩИ (ни одной другой стратегией) стратегий игрока i обозначается Di.

Определение 1.0.3 Множество ТБЧОПЧЕУЙК Ч ДПНЙОЙТХАЭЙИ УФТБФЕЗЙСИ åñòü

IDE := Qi I IDi.

Если доминирующее равновесие существует, то оно – самый естественный исход некооперативной игры. Однако игры часто не имеют равновесия в доминирующих стратегиях. В этом случае возникает проблема выбора типа равновесия, который бы наилучшим образом подходил к моделируемой ситуации, мы рассмотрим типы NE, MME, SE, StE.

Нэшевское равновесие довольно часто существует и родственно равновесию в доминирующих стратегиях: IDE "глобально стационарно а Нэшевское равновесие - по крайней мере "локально стационарно".

4

Определение 1.0.4 Множество ТБЧОПЧЕУЙК РП оЬЫХ (нэшевских равновесий) есть

NE := {x X| ui(xi, x−i) = max ui(yi, x−i) ) (i I)}.

yi Xi

Не изучаемое здесь, но популярное, понятие PNE (обычно называемое просто "Perfect Equilibrium") задается для игр в развернутой форме с деревом последовательности ходов. Это понятие означает, что исход x P NE является Нэшевским равновесием не только во всей игре, но и во всех подыграх (ветвях дерева).

Иными словами, Нэшевское равновесие - точка из которой ни одному игроку нет смысла уходить (он либо ничего от этого не приобретает, либо теряет). Подразумевается, что каждый игрок знает текущий выбор партнеров и ведет себя близоруко - не учитывает, что партнеры могут изменить свой выбор когда он изменит свой. Эта возможность приводит иногда к несуществованию стационарных точек (NE), тогда естественно пользоваться следующей вероятностной концепцией решения (исхода) игры.

P

Ч УНЕЫБООЩИ УФТБФЕЗЙСИ NEm есть множество наборов (¯µi)I , таких, что ни один игрок не может меняя смешанную стратегию улучшить матожидание своего выигрыша, при неизменных стратегиях партнеров; то есть

X

µ¯1 arg max u1(x)(µ1(x1) · µ¯2(x2) · ... · µ¯n(xn)).

µ1 x XI

Для случая когда (осторожные) игроки не обладают информацией о целях партнеров и о том, какие стратегии выбирают другие, подходит следующая концепция.

Определение 1.0.6 Множество ПУФПТПЦОЩИ èëè НБЛУЙНЙООЩИ ТЕЫЕОЙК åñòü

Поясним: в осторожном решении (равновесием его называть не совсем точно) игроки ожидают от партнеров самого худшего для себя. Это кажется правдоподобным поведением при неизвестности целей партнеров и однократном розыгрыше; а также и в ситуации антагонистической игры.

Определение 1.0.7 Множество УЕДМПЧЩИ ФПЮЕЛ åñòü Sad := MME ∩ NE. Это те Нэшевские (осторожные) равновесия, где худшие предположения сбываются.

Определение 1.0.8 бОФБЗПОЙУФЙЮЕУЛПК называют игру с нулевой (или, что то же, постоянной) суммой выигрышей, т.е. такую, что Pi I ui(x) = 0, x X. Для антагонистической игры двух лиц ÃÅÎÁ ÉÇÒÙ µ0 есть полезность первого игрока в седловой точке Sad, òî åñòü

3Обычно имеют в виду повторяющуюся игру.

5

Есть виды равновесий в которых подразумевается, что игроки более дальновидны и информированы. В том числе в "сложном равновесии" считается, что они знают цели друг друга, последовательно отбрасывают доминируемые стратегии и ожидают того же от других.

Определение 1.0.9 Определим последовательность игр G1, G2, ..., Gt, ..., задавая каждый раз множество всех стратегий новой игры как прошлое множество недоминируемых стратегий: Xt+1 := Dt (t = 1, 2, ...) (предполагается что все игроки отбрасывают доминируемые стратегии одновременно). Множество УМБВЩИ УМПЦОЩИ ТБЧОПЧЕУЙК èãðû G1 есть стационарное множество этой последовательности:

каждый игрок имеет только эквивалентные стратегии в финальной игре Gtˆ.

В равновесии по Штакельбергу (Stackelberg) первый игрок (лидер) ориентируется на индивидуально - оптимальные ответы партнеров зная их предпочтения, а остальные (ведомые) играют, как в NE, близоруко.

Определение 1.0.10 Считая 1-го игрока лидером, обозначим множество Нэшевскирациональных откликов его партнеров на его стратегию x1 через

Равновесие Штакельберга может возникать, например, когда один из игроков (лидер) делает свой выбор раньше других ("ведомых") и знает их цели. Концепция StEO1 предполагает доброжелательность партнеров к лидеру при выборе из эквивалентных для себя вариантов (из NR), а StEP1 — недоброжелательность; если же выбор "ведомых" однозначен, то разницы между StEO и StEP нет.

В последующем мы используем также понятия некоторых кооперативных решений.

Определение 1.0.11 Назовем (сильным) НОПЦЕУФЧПН рБТЕФП (рБТЕФП-ПРФЙНХНПН, или "сильной Парето-границей") множество неулучшаемых по Парето точек (исходов), то есть6

P := {xˆ| 6x X : u(x) > u(ˆx)},

(иначе: это множество исходов неблокируемых большой коалицией I при сильном блокировании); УМБВБС рБТЕФП-ЗТБОЙГБ åñòü

W P := {xˆ| 6x X : u(x) u(ˆx)}.

5Рассматривают также сложные равновесия с неодновременным отбрасыванием худших стратегий, а с заданной последовательностью ходов (Мулен, стр.40). Они подобны вводимым ниже равновесиям Штакельберга StE (наши определения StEOi, StEPi не традиционны).

6Для пар векторов > далее означает ≥6=, а — покомпонентно больше.

6

То есть Парето-оптимум — это такое состояние, в котором никто из участников не может увеличить свою целевую функцию без уменьшения целевой функции по крайней мере одного другого участника.

Определение 1.0.12 сДТПН C (обычным, слабым ядром) называется множество состояний неблокируемых никакой коалицией T I, при обычном (слабом) определении блокирования: T ВМПЛЙТХЕФ вариант x X если существует альтернатива x˜i Xi (i T ) такая, что все участники из T выигрывают по сравнению с x, ò.å. uT (˜xT , x−T ) uT (x) — при любых действиях x−T не входящих в коалицию T игроков.7

Перейдем к утверждениям. Из данных определений непосредственно следует

Утверждение 1.0.1 Ядро принадлежит слабой Парето-границе, а сильное ядро — сильной (обычной) Парето-границе:

Cs P , C W P .

Некооперативные решения игр чаще всего оказываются не оптимальными по Парето, как станет ясно из примеров.

Без доказательства (см. Мулен) отметим условия существования и вложений определенных выше множеств.

Теорема 1 (Нэш, 1951) Пусть для всех (i I) âñå Xi компактны и выпуклы, все ui(.) непрерывны и вогнуты по xi, тогда множество NE 6= , компактно.

Следствие 1.1 Åñëè âñå Xi конечны, то множество NEm 6= , компактно.

Доказательство теоремы опирается на теорему о неподвижной точке применяемую к отображению отклика F определяемому ниже в (3).

уЧСЪШ НБФТЙЮОЩИ ЙЗТ У МЙОЕКОЩН РТПЗТБННЙТПЧБОЙЕН Й ОБИПЦДЕОЙЕ NEm. Доказательство Сл.1.1 для антагонистических (матричных) игр двух лиц можно проводить и независимо от теоремы Нэша, через линейное программирование, что дает также способ поиска NEm для этих игр. Для этого задачу 1-го игрока записывают в форме максимизации (неизвестной ему заранее) цены игры µ0 по переменным µ0, µ, ïðè

ограничениях µ ≥ 0, Pn1 µk = 1, µak ≥ µ0 (k = 1, ..., n2), ãäå ak IRni — столбцы мат-

k=1

рицы платежей (akj ) := (u1(xj1, xk2)). Здесь ограничения типа ≥ выражают гипотезу 1-го о неблагоприятном поведении противника (максимин). Легко проверить, что задача противника есть двойственная к описанной задаче. Таким образом симплекс методом можно найти седловую пару в игре Gm, она является и Нэшевской парой. Для случая биматричной игры 2 Ч 2 также легко найти NEm графически, строя функции (или отображения) NRi(x−i) отклика игроков на действия партнеров.

Утверждение 1.0.2 8 1) Åñëè âñå Xi конечны, то W SE 6= . 2) В антагонистической игре двух лиц где все Xi конечны SE Sad, è åñëè SE 6= , òî ó èãðû åñòü öåíà.

7уЙМШОЩН СДТПН Cs называется множество состояний, неблокируемых никакой коалицией при сильном блокировании (что означает uT (˜xT , x−T ) > uT (x) вместо uT (˜xT , x−T ) uT (x) в определении блокирования).

8Более важная ФЕПТЕНБ лХОБ на эту тему касается игр в развернутой форме: из нее, в частности, следует, что в шахматах åñòü SE (оно пока неизвестно).

7