Утверждение 1.0.3 Пусть все Xi компактны а ui непрерывны, тогда 1) D∩MME 6=, P 6= ; 2) множества IDE, MME, NE компактны, NE NEm; 3) åñëè IDE 6= , òî

MME IDE = D = Sad = SE NE ,

Доказательство утверждения (3) элементарно: поскольку доминирующие стратегии заведомо лучше остальных стратегий, то соответствуют и другим некооперативным решениям.

1.1Примеры и способы поиска решений

Приведем пример игры в матричной форме где IDE 6= .

Пример 1.1 "Дилемма заключенных" (R.Luce, H.Raiffa,1957, Мулен).

Двух человек арестовали по подозрению в совершении некоторого преступления. Судья предложил каждому следующую сделку. Если он сознается в преступлении, а другой нет, то сознавшийся получает 1 год наказания, а несознавшийся – 10 лет. Если сознаются оба, то каждый получит по 7 лет. Заключенным известно, что если никто из них не сознается, то оба получат по 3 года.

Игру можно представить с помощью следующей матрицы (Табл.2), в клетках которой слева вверху стоит выигрыш первого заключенного, а справа внизу – второго.

Все рассмотренные нами виды некооперативных равновесий в этой игре совпадают, поскольку у каждого игрока имеется стратегия строго доминирующая все другие

– сознаться. Действительно, худшее, что может получить заключенный, если сознается – 7 лет, если же не сознается, то 10 лет. Поэтому "осторожным" поведением для них будет сознаться. С другой стороны, каждому из них не выгодно изменять этот выбор, поскольку при этом он ухудшил бы свое положение. Поэтому это будет и равновесием по Нэшу. Если первому из заключенных предложили сделать свой выбор первым (он находится в положении лидера), то он, зная, что реакцией второго на любой его выбор будет признание, выберет наилучшее для себя – сознается. То есть равновесие Штакельберга будет там же. Сложное равновесие совпадает с равновесием в доминирующих стратегиях. Любой некооперативный исход выглядит парадоксальнонеудачным: ведь если оба не сознаются, то оба получат меньшее наказание достигнув Парето-оптимумального (u1 = −3, u2 = −3). Но такая неоптимальность довольно типична для всех некооперативных решений в разных играх. Если же участники способны кооперироваться и верят в выполнение соглашения партнером, то достигают ядра (−3, −3), входящего в Парето-оптимум.

8

В подобных ("биматричных") играх с конечными множествами стратегий двух игроков осторожное равновесие практически ищется так: игрок выбирающий строки в каждой строке находит свой гарантированный выигрыш (то есть минимум в строке), а затем в качестве решения принимает строку или строки с максимальным гарантированным выигрышем. Аналогично поступает со столбцами игрок выбирающий столбцы.

Множество W SE ищется последовательным исключением из игры доминируемых строк и столбцов. Множество Нэшевских равновесий ищется перебором всех клеток; равновесия – это клетки из которых ни одному участнику не выгодно уйти путем смены стратегии.

Альтернативно, при нахождении равновесия по Нэшу, особенно в играх с непрерывными стратегиями, можно воспользоваться понятием ЖХОЛГЙЙ ПФЛМЙЛБ.

Отображение (многозначная функция) Fi(.) нэшевскирационального отклика i-го участника на действия партнеров x−i определяется как и ранее в виде:

Fi(x−i) := NRi(x−i) = arg max ui(xi, x−i)

xi Xi

Функция отклика показывает, как реагирует участник на действия партнеров. Тогда можно переформулировать определение NE так:

фПЮЛБ x¯ СЧМСЕФУС ТБЧОПЧЕУЙЕН РП оЬЫХ Ф. Й Ф. Ф., ЛПЗДБ

Здесь равенство – если функции Fi(.) являются однозначными, тогда нэшевское равновесие задается просто системой уравнений и соответственно вычисляется.

Найдем этим путем NE, StE в примере игры с непрерывными стратегиями.

Пример 1.2 (Трудовое соглашение) Рассмотрим игру с двумя участниками – профсоюзом и фирмой. Профсоюз может устанавливать заработную плату (w) при ограничении 0 ≤ w ≤ 3, а фирма – количество нанимаемых работников (l в тыс. чел.) при ограничении 0 ≤ l ≤ 1. Профсоюз максимизирует следующую целевую функцию:

ν(w, l) = wl − 2l2,

ãäå 2l2 – издержки работы для членов профсоюза. Фирма максимизирует свою при-

Найдем некоторые решения в этой игре.

1) Осторожное равновесие (MME). Оно не очень правдоподобно в рассматриваемой ситуации: ведь фирмы и профсоюзы обычно знают ходы друг друга; но найдем MME для примера. Самое худшее, что может сделать фирма с точки зрения профсоюза, – не нанять ни одного работника. При этом профсоюзу все равно, какую зарплату установить. С другой стороны, самое худшее, что может сделать профсоюз с точки зрения фирмы – установить максимальную зарплату. При этом фирма

наймет столько работников, чтобы максимизировать

√

π = 2 l − 3l.

Находим максимум, приравняв производную этой функции по l ê íóëþ:

√

1/ l − 3 = 0.

Таким образом, осторожное равновесие достигается при l = 1/9 è 0 ≤ w ≤ 3. Ïðè ýòîì w = 3 доминирующая стратегия профсоюза, а у фирмы таковых нет.

2) Равновесие по Нэшу (NE). При любом ненулевом количестве нанятых профсоюзу выгодно установить максимальную зарплату (w = 3). Поэтому его функция

9