отклика будет f(l) = 3.

Функция отклика фирмы получается из задачи максимизации прибыли по l:

осторожных, поэтому является и седлом.

3) Равновесие по Штакельбергу (StE) (лидер – профсоюз). Профсоюз знает функцию отклика фирмы, и подставляя ее в свою целевую функцию, максимизирует

ν = wg(w) − 2g(w)2 = 1/w − 2/w4.

Очевидно, максимум достигается при уровне зарплаты 2, чему соответствует уровень занятости g(2) = 1/4.

4) Парето-оптимум (P). Целевые функции участников квазилинейны по деньгам, поэтому Парето-оптимум можно найти как максимум суммы целевых функций. Эта

сумма не зависит от величины заработной платы, поэтому количество нанятых

√

во всех точках Парето-оптимума должно быть одинаковым: ˆl = 1/ 3 16. Зарплата – любая из интервала 0 ≤ w ≤ 3. Очевидно, что ни одно из перечисленных некооперативных равновесий не является Парето-оптимальным.

5) ßäðî (C). Точки ядра не должны блокироваться ни одной коалицией: ни коалицией из обоих участников (т.е. должны принадлежать слабой Парето-границе), ни коалицией из одного участника (в качестве индивидуально достижимых выигрышей берем гарантированные минимаксные выигрыши ). Т.о. ядро состоит из точек (l, w) äëÿ

q

которых выполняется: l = ˆl, ν = wˆl −2ˆl2 ≥ ν(w, 0) = 0 è π = 2 ˆl −wˆl ≥ π(3, 1/9) = 1/3.

2Классические (совершенные) рынки

Перечислим наиболее важные черты, по которым рынок называют совершенным или классическим:

1)Отсутствие экстерналий: цели и физически допустимые множества каждого участника не зависят от поведения других участников.

2)Совершенство конкуренции: каждый участник считает себя не влияющим на цены (достаточно малым) и принимает их в каждый момент как заданные.

3)"Costless trade": влияние издержек сделок, налогов, и прочих видов "рыночного трения" несущественно, торговля свободна.

4)Совершенство информации: информация о ценах, свойствах товаров, допустимых множествах полна и определенна, выполнение заключенных сделок безусловно (нет неопределенности).

Совершенные или почти совершенные рынки редки, однако их анализ выявляет некоторые эффекты, общие для всех рынков, и предваряет анализ несовершенных.

Âтеоремах благосостояния мы покажем, что совершенный рынок как механизм согласования интересов приводит участников к Парето -оптимальным исходам. В дальнейшем мы рассмотрим отдельно каждый из типов рыночных несовершенств 1)–4) и связанные с несовершенствами отклонения равновесий от Паретооптимальности, то есть так называемые "ЖЙБУЛП ТЩОЛБ" в ситуациях 1) экстерналий и общественных благ; 2) монополий и олигополий; 3) налогов и издержек сделок; 4) неопределенности, несовершенства информации.

10

2.1Модели рынка. Равновесие.

Совершенная экономика (рынок) общего вида9 моделируется как обобщенная некооперативная игра заданная параметрами

ãäå I, XI , uI имеют тот же смысл, что и в главе о теории игр, а прочие параметры вводятся ниже.

Далее I := {1, ..., m} – множество потребителей, J := {1, ..., n} – множество производителей (фирм), K := {1, ..., l} – множество товаров (благ). Для описания состояния экономики используются следующие переменные: xki – потребление i-м потребителем k-го блага (k K), yjk – производство j-м производителем k-го блага (отрицательные компоненты соответствуют затратам), pk – цена k-го блага. Константа wik означает начальный (до торговли) запас блага k у потребителя i.

Модель потребителя. Предпочтения потребителя i I описываются его потребительской функцией (функцией полезности) ui(.), зависящей, в классическом случае, только от собственного потребления xi = {xki }k K. Поведение потребителя моделируется как решение задачи максимизации функции полезности по xi при ограниче- ниях. А именно, потребление xi должно принадлежать потребительскому множеству Xi IRl ("физическое" ограничение, часто понимаемое просто как неотрицательность потребления: Xi = IR+l ).10

Кроме того, выбор потребителя ограничен величиной его бюджета:

k K pkxki ≤ βi(.). Здесь βi(.) – функция дохода (бюджета) потребителя. Способ формирования дохода зависит от конкретного варианта экономики, например для экономики обмена βi(p, wi) = pwi. Предполагается, что собственность wi и цены определяются экзогенно. Другими словами, потребитель считает, что не влияет на цены и свою исходную (до торговли) собственность, принимая их как данные. Поэтому пока будем считать, что доходы заданы константой βi(.) = βi. Результат решения задачи потребителя, т.е. одно или множество его оптимальных решений – определяют отображение (т.е. многозначную функцию) УРТПУБ Xi(p, βi). Она является "функцией отклика" на данные цены и доходы.

Запишем модель спроса потребителя формально:

Оптимальные выборы потребителя во многих случаях удобно характеризовать при помощи теоремы Куна–Таккера (это вариант теоремы Лагранжа для ограничений – неравенств).

Прямая теорема Куна–Таккера 11 (необходимое условие оптимальности) в диф-

9Эта ключевая для современной теории рынков модель объясняет действие "невидимой руки рынка заставляющей "эгоистические интересы" участников работать на общее благо. Ее развитие принадлежит: A.Smith-1776, D.Rickardo-1817, L.Walras-1874,1883 , K.Arrow & G.Debreu-1953.

10В более общем случае, блага, которые создают потребители (например, труд) и потребляют в качестве производственных факторов фирмы представлены отрицательными компонентами вектора потребления xi Xi.

11Точную формулировку можно найти у Маленво или в любом учебнике по мат.программированию.

Двусторонняя теорема Куна–Таккера без условий дифференцируемости (необходимое и достаточное

11

и выполнено некоторое условие регулярности, например, что градиенты активных ограничений линейно независимы в x¯, то найдутся неотрицательные числа λr(r = 1, ..., rˆ) – множители Лагранжа – такие, что производные Лагранжиана L(λ, x) := φ(x) + Pr λrψr(x) по x равны нулю, причем если множитель λr строго положителен, то соответствующее ограничение выполнено как равенство (активно), а если r-е ограничение неактивно: ψr(x) > 0, то соответствующий множитель λr равен нулю (условие дополняющей нежесткости).

Обратная теорема Куна–Таккера (достаточное условие оптимальности) при условиях вогнутости всех функций φ(.), ψk(.) утверждает, что если в допустимой точ- ке x¯ нашлись множители Лагранжа удовлетворяющие требованиям прямой теоремы (условиям первого порядка), то точка x¯ оптимальна.

Для характеристики с помощью теоремы Куна–Таккера спроса участника i I используем два условия.

Предположение 1 (чщрхлм). Множество Xi выпукло, а целевая функция ui(.) вогнута (т.е. ui(tx + (1 − t)y) ≥ tui(x) + (1 − t)ui(y) äëÿ t [0, 1], x, y), либо может быть превращена в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием.

Поясним; поскольку монотонное преобразование целевой функции не влияет на выбор оптимальных точек (не изменяет форму линий уровня), то, например, функция u(x, y) = xy и ее логорифм v(x, y) = ln(u(x, y)) = ln(x)+ln(y) эквивалентны в оптимизации, хотя первая не вогнута, а вторая вогнута и допускает поэтому применение теоремы К-Т. Следовательно, допускает его и первая, "приводимая к вогнутой". Чтобы исключить у функции свойство "приводимости к вогнутой" достаточно проверить отсутствие ее квазивогнутости. Квазивогнутость связана только с линиями уровня ф-ции u(.), и озна- чает, что для любой точки xˇi множество лучших чем xˇi точек {xi Xi| ui(xi) ≥ ui(ˇxi)} выпукло (эквивалентное определение квазивогнутости: [ui(tx + (1 − t)y) ≥ min{ui(x), ui(y)} для x, y, t [0, 1] ]). Квазивогнутость следует из вогнутости, поэтому неквазивогнутая функция не приводима к вогнутой монотонным преобразованием. Обратное не всегда верно, но среди решаемых в курсе примеров (кроме специально сконструированных) Вы не встретите квазивогнутую функцию не приводимую к вогнутой.

Предположение 2 (çòáä). Точка индивидуальнорационального выбора потребителя x¯i (называемая иногда индивидуальным равновесием потребителя) внутренняя (x¯i int(Xi)), причем в ней существует и больше нуля градиент grad ui(¯xi) ≥6= 0.

Тогда ограничения xi Xi несущественны (тем самым единственное ограничение - бюджетное, и выполнено условие регулярности), и функция Лагранжа для задачи

условие оптимальности) при условиях вогнутости максимизируемой функции и вогнутости функций ограничений ψk(x), а также наличия "внутренней" допустимой точки (т.е. точки xˆ где все ограничения выполнены как строгие неравенства - "условие Слейтера") утверждает, что допустимая точка x¯ является оптимумом тогда и т.т., когда она максимизирует без ограничений Лагранжиан с некоторыми (λ1, ..., λm) ≥ 0, и выполнены условия дополняющей нежесткости.

12

Делением подобных соотношений (не равных нулю) исключив νi, получим дифференциальную характеристику спроса x¯i при любых фиксированных ценах p (т.е. индивидуальное равновесие потребителя при данных ценах):

Заметим, что если хоть одна производная u˙ki = 0, òî öåíà pk = 0, иначе получаем противоречие с гипотезой внутреннего положения точки x¯i.

Отношение u˙ki /u˙si называют РТЕДЕМШОПК ОПТНПК ЪБНЕЭЕОЙС (в потреблении) блага k на благо s. Таким образом, в индивидуальнорациональной внутренней точке

(равновесии потребителя) предельные нормы замещения благ равны отношению цен соответствующих благ.

Это одно из условий первого порядка, т.е. необходимых условий максимума. Поскольку grad ui ≥6= 0 и условие x X несущественно, то бюджетное огр. существенно, тогда из условий дополняющей нежесткости (dL(x¯i, νi)/dνi = 0) получаем другое условие первого порядка:

Условия первого порядка (11), (12) задают систему уравнений, любое решение x¯ которой при условии (чщрхлм) по обратной теореме К-Т является индивидуальнора- циональным выбором (равновесием) потребителя при данных ценах. Тем самым, (11), (12) задают функцию спроса. Итак, имеем

Замечание 2.1.1 Если при условиях (çòáä), (чщрхлм) в задаче (9) пара x¯i Xi, λ ≥ 0) удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12), то точка x¯ есть равновесие потребителя при данных ценах и доходе; и обратно: всякое внутреннее равновесие потребителя удовлетворяет условиям первого порядка (11), (12).

Для невнутренних точек сходные соотношения задающие спрос читатель может вывести сам, тоже пользуясь теоремой К-Т.

Модель производителя. При выборе объемов производства yj = {yjk}k K каждая фирма j J ограничена своим ФЕИОПМПЗЙЮЕУЛЙН НОПЦЕУФЧПН Yj IRl. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) РТПЙЪЧПДУФ- ЧЕООЩИ ЖХОЛГЙК fj(yj): Yj := {yj IRl| fj(yj) ≥ 0}. Другое удобное представление (когда производится только один товар h) – в виде явной производственной функции yjh ≤ gj(yj−h), ãäå yj−h := (yjk)k6=h – затраты (со знаком минус) всех других благ, необходимые для производства блага h. Чтобы привести этот случай к общему представлению Y через функции, достаточно записать fj(yj) = −yjh + gj(yj−h) ≥ 0.

Âкачестве целевой функции "классического" производителя берется его прибыль

π= pyj = Pk K pkyjk. В ситуации совершенной конкуренции производитель, как и потребитель, предполагает, что не может влиять на цены. Результатом решения зада-

чи производителя – максимизации прибыли при технологических ограничениях – является (возможно, многозначная) ЖХОЛГЙС РТЕДМПЦЕОЙС Yj(.):

13

Решение этой задачи также можно характеризовать при помощи теоремы КунаТаккера. Используем два предположения.

Предположение 3 (чщрхлм). Множества Yj, j выпуклы и заданы вогнутыми производственными функциями в виде fj(yj) ≥ 0, j .

Предположение 4 (çòáä). В проверяемой на индивидульную рациональность или на оптимум точке yj существует и не равен нулю градиент grad fj(yj) 6= 0.

Функция Лагранжа для соответствующей задачи (13) равна L = pyj + µjfj(yj), ãäå µj – множитель Лагранжа для технологического ограничения. При условии p 6= 0 в точке максимума y¯j выполняется dL(y¯j)/dyjk = 0, откуда pk = f˙jk(y¯j)µj ( k K) (здесь и далее f˙jk – производная по товару k в точке y¯j). Рассматривая товары с ненулевыми ценами, заметим что µj 6= 0, и исключив µj, получим дифференциальную характеристику точки равновесия производителя y¯j:

Отношение f˙jk1 /f˙jk2 называют технологической предельной нормой замещения блага k1 на благо k2. Итак, в точке индивидуальнорационального выбора (в "равно-

весии") производителя технологические предельные нормы замещения благ равны отношению соответствующих цен.

Для производственной функции типа fj(yj) = gj(yj) − yjh предельная норма замещения производимого блага h на другое (возможно, затрачиваемое) благо (k) равна −1/g˙jk (в этом виде ее называют также предельной производительностью блага k), и аналогичное соотношение принимает вид −1/g˙jk = ph/pk.

Дополнительное условие первого порядка есть fj(¯yj) = 0. Как и ранее, предположение (чщрхлм) гарантирует, что необходимые условия являются достаточными.

Часто производственное множество для фирмы, производящей один товар (h), удобно описать в терминах ЖХОЛГЙЙ ЙЪДЕТЦЕЛ c(.). Это подразумевает максимизацию

ренциальную характеристику оптимума однопродуктовой фирмы в терминах функ-

РТПЙЪЧПДУФЧБ ФПЧБТБ h ТБЧОЩ ЕЗП ГЕОЕ.

Теперь модели отдельных подсистем (участников) объединим в различные модели рынка (экономики) в целом, называемые иногда моделями общего равновесия (general equilibrium models).

Будем рассматривать следующие типы экономик.

1. Экономика распределения. В экономике распределения производство отсутству-

ет. Имеются общие, нераспределенные, начальные запасы благ w IRl . Можно счи-

Σ +

тать их производственным множеством состоящим из одной точки Y := {y¯} := {w }.

Σ

Бюджетные множества задаются фиксированными денежными доходами βi(.) = di ≥

14

0. Общее потребление в экономике не может превышать суммарный начальный запас

áëàã: Pi I xi ≤ y¯ = w (материальный баланс).

Σ

Представить себе экономику распределения можно следующим образом. Прово-

дится аукцион l делимых товаров, суммарные запасы которых w находятся у аукци-

Σ

онщика. Каждый участник i I имеет намерение полностью потратить свой запас di денег (или ваучеров) на товары. Участники заявляют спрос и предложение, аукционщик отвечает ценами, они заявляют новый спрос (не обмениваясь, пока не наступит равновесие) и т.д. Об аукционщике (или естественной закономерности, которая выполняет его функции) предполагается, что он в момент t повышает с некоторой заданной скоростью реакции текущую цену pk(t) товара k {1, ..., l}, спрос на который оказывается выше предложения, и наоборот, понижает цены избыточных товаров.

Этот процесс называют "нащупыванием" равновесия рынка (фр. tatonement). Если он завершается стационарной точкой p¯ 12 (это возможно лишь когда спрос окажется равен предложению), то этот исход естественно называть равновесием. Нами это понятие вводится ниже без связи с процессом поиска, просто как состояние рынка, где спрос согласован с предложением.

2. Экономика обмена. Здесь также нет производства. Каждый потребитель обладает фиксированными индивидуальными начальными запасами товаров wi IR+l , и этими товарами потребители обмениваются на рынке. Бюджет потребителя задается функцией βi(p) = pwi. Выполняется материальный баланс

Pi I xi ≤ Pi I wi

Представить экономику обмена можно в двух вариантах, обе ситуации описываются той же моделью. (Вариант I) Та же ситуация аукциона, но начальные запасы товаров wi (в том числе деньги, их не обязательно тратить) исходно распределены между участниками, которые обмениваются сообщениями о желаемом при каждых ценах спросе, аукционщик (или естественная закономерность) меняющий цены лишь помогает участникам договориться, меняя цены в процессе tatonnement. Фактический обмен товарами происходит лишь после установления цен равновесия.

(Вариант II) Это неизменная по технологиям (технологии учтены в допустимых множествах Xi участников) и потребностям экономика, где каждый день у каждого участника i I возобновляются (например, труд, земля, капитал) начальные запасы wi; если он их сегодня не продаст и не потребит, они не накапливаются (вчерашний день труда не продашь сегодня). Процесс tatonnement направляется естественной закономерностью. Равновесие (оно может и не установиться) понимается как стационарные (изо дня в день) цены и объемы продаж.

3. Экономики общего вида и Эрроу-Дебре. Экономика общего вида включает как производство, так и потребление. Потребители владеют фиксированными начальными запасами товаров wi, и долями γij в прибылях фирм. Бюджеты потребителей задаются функциями

βi(p, y) = pwi + Pj J γijpyj + di,

ãäå γij [0, 1] – фиксированные коэффициенты участия потребителя i в прибылях фирм j J, а di – фиксированные "дополнительные" денежные доходы; вариант когда di = 0 (i I) называют моделью Эрроу-Дебре. Потребление не превышает суммы начальных запасов и произведенной продукции:

Pi I x¯i ≤ Pi I wi + Pj J y¯j.

Интерпретация равновесия такая же, как в варианте II модели обмена.

Таким образом, задавая различный вид βi(.), мы задали три частных модели, от-

12Такую точку А.Смит и Д.Рикардо называли естественной ценой или стоимостью.

15

ражающих различные варианты распределения исходной собственности, и общую модель (заметим, возможны и иные варианты функций доходов βi(.) – при учете налогов, и др).

Дадим определение общего рыночного равновесия для общей модели экономики, определение подходит и для экономик Эрроу-Дебре, распределения и обмена, с очевидными упрощениями.

Определение 2.1.1 чБМШТБУПЧУЛПЕ ТБЧОПЧЕУЙЕ (Вальрасовское полуравновесие)13 есть такой набор (¯p, x,¯ y¯), что выполняются условия:

1) индивидуальная рациональность решений (¯x, y¯) при ценах p,¯ ò.å.

Множество Вальрасовских равновесий обозначим W E(d, w, γ).

Если в состоянии (¯x, y¯) баланс (16) выполнен как равенство, то набор (¯p, x,¯ y¯) назовем УФТПЗЙН чБМШТБУПЧУЛЙН ТБЧОПЧЕУЙЕН, обозначив W E=(d, w, γ) соответствующее множество.

К равновесиям общей модели мы будем применять обозначение W E(d, w, γ), указывая таким образом параметры распределения собственности, к равновесиям экономики "распределения" – W E(d), "обмена" – W E(w), Эрроу-Дебре – W E(w, γ).

Определение 2.1.2 юБУФОПЕ (ЮБУФЙЮОПЕ) ТБЧОПЧЕУЙЕ (Partial Equilibrium) для рынка одного из товаров k при ценах p¯ есть набор (¯x, y¯), такой, что выполнено условие индивидуальной рациональности (15) и баланс (16) по этому товару k (прочие балансы не учитываются), множество соответствующих частных равновесий обозначим

P Ek(¯p). 14

Сопоставляя концепции W E и NE, отметим, что если исходные данные рынка hI, X, u, J, Y, d, w, γi естественным образом записать как обобщенную игру в нормальной форме G (включив аукционщика регулирующего цены в число участников), то ее Нэшевские равновесия совпадут с Вальрасовскими. Таким образом W E есть NE в обобщенной игре специального вида.

Доказательство теорем существования W E, вложения W E C и обратного вложения, верного для бесконечно большого числа участников, выходит за пределы данного курса 15. Укажем лишь, что важными условиями существования являются выпуклость допустимых множеств и квазивогнутость целевых функций, иначе спрос

13Его также называют ПВЭЕЕ ТЩОПЮОПЕ ТБЧОПЧЕУЙЕ (General equilibrium), отличая от "частного" или "частичного" равновесия на рынке только одного из товаров (Partial equilibrium).

14Строго говоря, называть "частное" р-е равновесием трудно, т.к. балансы прочих благ могут не выполняться, но такова традиция.

15Это изучалось на 2 курсе в лекциях "Математическая экономика см. также Экланд.

16

может допускать скачки и равновесие не только не устанавливаться, но и не существовать. Теоремы же устойчивости (сходимости к равновесию) процесса tatonnement (см. Маленво, гл.5, стр.149), описываемого диф. уравнением

–требуют еще дополнительных условий кроме квазивогнутости.

Равновесие может быть не единственным, однако, за исключением вырожденных

случаев, равновесий обычно конечное, притом нечетное число (более точно, см. напр. Экланд). Это можно понять из геометрии функций спроса; а также из раздела по вычислению равновесий.

2.2Парето-оптимальные состояния экономики и теоремы благосостояния,

дифференциальная характеристика оптимума

Везде в дальнейшем мы будем рассматривать только "физически" возможные состояния экономики, т.е. такие, для которых xi Xi i I, yj Yj j J и выполнены материальные балансы (16).

Определение 2.2.1 рБТЕФП-ПРФЙНХНПН экономики называется такое возможное состояние (ˆx, yˆ), что не существует альтернативного возможного состояния (x, y), дающего лучший вектор полезностей (ui(xi))i I ≥6= (ui(xˆi))i I .

Парето-оптимальность означает, что нельзя найти рБТЕФП-ХМХЮЫЕОЙС, т.е. повысить благосостояние одного потребителя, не уменьшая благосостояния других.

Замечание 2.2.1 Для того, чтобы точка (ˆx, yˆ), была Парето-оптимальной в экономике общего вида, необходимо и достаточно, чтобы она являлась для любого i0 {1, ..., m}) решением оптимизационной задачи вида

В справедливости замечания легко убедится прямо по определению.

Предполагается, что читатель знаком с доказательством теоремы W E P, и обратной к ней, для экономики обмена (для непрерывных строго монотонных функций полезности и потребительских множеств Xi = IR+l ). Теперь займемся случаем с производством.

Убедимся, что если рынок совершенен, то 1) равновесные планы потребления и производства Парето -оптимальны (невозможно "фиаско рынка"), и 2) обратно: любого Парето -оптимума можно достичь используя рыночный (ценовой) механизм, и не прибегая к другим средствам достижения согласованного состояния (типа переговоров, правил голосования, государственного регулирования производства и потребления и проч.); все Парето-оптимальные состояния достижимы различными распределениями исходной собственности.

17

Предположение 5 (оеобущэ1): Для каждого участника i I целевая функция ui локально ненасыщаема на потребительском множестве Xi, то есть для любой точки xi Xi и любой ее окрестности V (xi) найдется альтернативная допустимая точка x˜i V (xi) ∩ Xi : u(˜xi) > u(xi)).

В частности, для локальной ненасыщаемости достаточно, чтобы в каждой точке xi ô-ÿ ui строго возрастала хотя бы по одному неотрицательному направлению xi IR+l (отсюда название "ненасыщаемость"), а потребительское множество Xi всюду было неограничено сверху в смысе Xi = Xi + IR+l .

Теорема 2 (ôâ1 äëÿ W E(d, ω, γ)). Пусть (¯p, x,¯ y¯) — Вальрасовское равновесие совершенного рынка общего вида, и выполнено предположение (оеобущэ1), тогда (¯x, y¯) – Парето-оптимально. Т.е.:

Докажем 1-ю и 2-ю теоремы благосостояния для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения, проводимые по той же схеме.

Äîê-âî ôâ1 äëÿ W E(d). Предположим противное: есть другое допустимое состояние (ˆx, yˆ), лучшее в смысле Парето, то есть такое, что u(ˆx) ≥6= u(¯x). Обозначим t I того участника, для кого состояние xˆ строго лучше: ut(ˆx) > ut(¯x).

1) Покажем, что лучший набор дороже, чем нужно, чтобы удовлетворять бюджетному ограничению (6), т.е. p¯xˆt > dt. Действительно, в противном случае точка xˆt принадлежала бы бюджетному множеству потребителя: xˆt Bt(¯p, d) – в задаче (15), но она предпочтительнее для него чем x¯t, следовательно x¯t не могло бы быть им выбрано, что противоречит равновесности x¯. Итак p¯xˆt > dt.

Аналогично для прочих участников p¯xˆi ≥ di (i I). Действительно, в противном случае в соответствии с условием (оеобущэ1) альтернативный удовлетворяющий ограничениям набор xˆi Xi, pxˆi ≤ di, такой, что ui(ˆxi) > ui(ˆxi), что противоречило бы, опять, равновесности x¯i.

Суммируя полученные неравенства имеем оценку

ii

2)С другой стороны, в точке равновесия бюджетные ограничения (6) выполняются: p¯xˆi ≤ di. Суммируя по i и привлекая оценку (24) имеем

X X X

p¯xˆi > di ≥ p¯x¯i . (25)

i i i

3) Однако точка xˆ предполагалась допустимой, что означает выполнение баланса

Pi xˆi ≤ w . Умножая это векторное неравенство на неотрицательный вектор цен p¯

Σ

и пользуясь условием дополняющей нежесткости (17) (законом Вальраса) получим оценку, противоречащую (25):

XX

Отметим, что для экономики Эрроу-Дебре можно изменить завершение доказательства, исключив пункт 2) и сравнив непосредственно правые части бюджетов

18

Pi βi(.) = Pi(¯pwi + Pj γijp¯y¯j) ≥ Pi(¯pwi + Pj γijp¯yˆj), с тем же результатом (проверяя, что в равновесии бюджеты выполнены как равенства). Однако требуется еще проверка того, что Pj J p¯yˇj ≤ Pj J p¯y¯j, что вытекает из условий равновесия производителей.

Перейдем к доказательству того, что всякую Парето-оптимальную точку можно реализовать как равновесие подбором распределения доходов или собственности.

Предположение 6 (чщрхлм). Äëÿ âñåõ i I множества Xi выпуклы, а функции полезности ui вогнуты,16 ò.å. ui(tx + (1 − t)y) ≥ tui(x) + (1 − t)ui(y) äëÿ t [0, 1] x, y. Производственные множества Yj j выпуклы.

Предположение 7 (çòáä). Проверяемая на оптимальность точка (ˆx, yˆ) внутренняя (т.е. xˆi int(Xi), i I), причем в ней существует градиент grad ui(ˆxi) ≥6= 0, i. Производственные множества представлены производственными функциями в виде Yj := {yj| fj(yj) ≥ 0}, функции дифференцируемы и grad(f(ˆx)) 6= 0.

Введенные упрощающие условия (çòáä) для ТБ2 на самом деле избыточны. Во-первых, дифференцируемость может быть отброшена. Во-вторых, неотрицательность grad ui ≥ 0 вытекает из xˆi int(Xi). В-третьих, это условие на внутренность может быть ослаблено, так что (çòáä) в целом можно заменить таким легким условием: [Пусть K+– множество товаров, по которым целевая функция возрастает в точке xˆ хотя бы у одного участника. Тогда либо 1)найдется участник, для которого Xi IR+l & xˆki > 0 k K+, либо 2)у каждого участника целевые функции строго возрастают по товарам k K+.] ("ресурсная связность"). Читатель может проверить справедливость этого усиления теоремы ТБ2 пользуясь вариантом теоремы К-Т без дифференцируемости.

Докажем теорему только для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения.

Äîê-âî ôâ2 äëÿ W E(d). 1) Как отмечено выше в Замечании 2.2.1, точка xˆ может быть Парето -оптимальной тогда и только тогда, когда она является решением m оптимизационных задач (для s = 1, ..., m) вида (19) переформулируемых для случая экономики распределения так:

2) Для применимости к задаче (27) теоремы Куна-Таккера нужно проверить, что все "активные" ограничения (т.е. выполняющиеся в точке xˆ как равенства) линейно независимы. Это проводится проверкой ранга матрицы градиентов ограничений,

16Как и выше, на самом деле достаточно требовать "приводимость к вогнутости".

19

используя условие (çòáä): выписав структуру матрицы, нужно убедиться что если линейная комбинация ее строк равна нулю, то все коэффициенты нулевые. Мы здесь опускаем эту проверку (см. Маленво).

3) Применив к (27) теорему Куна-Таккера, получим что существуют множители Лагранжа λi ≥ 0, i = 1, .., m для ограничения (28) и множители σk ≥ 0, k = 1, .., l – для условия (22) такие что:

Здесь принято обозначение u˙ki (ˆxi) := ∂ui/∂xki , а также λs := 1. Отсюда, из λs = 1, grad us ≥6= 0 следует что вектор σ ≥6= 0, следовательно все λi > 0 (i I) в этой системе равенств.

4) Возьмем оптимальные оценки товаров σ в качестве цен: p := σ IRl, а в качестве доходов требуемых в теореме — ровно столько сколько требуется для приобретения Парето-оптимального набора: di := pxˆi. Проверим, равновесие ли мы получим.

Покажем, что xˆ – равновесие потребителей при p, d, т.е. решение задачи (9) при этих ценах и доходах. Бюджетное ограничение (12) выполнено. Взяв νi = 1/λi (используем λi > 0, (30)), заметим, что при ценах p = σ множители Лагранжа νi и точка оптимума xˆi удовлетворяют соотношениям (10). Следовательно при выполнении предположения (çòáä) для точки xˆ выполнены необходимые условия первого порядка. При условиях (чщрхлм), (çòáä) необходимые условия являются и достаточными условия экстремума, итак xˆi Xi(p, di) (i I).

Другое требование определения "равновесия" – полусбалансированность – вытекает из допустимости Парето-оптимальной точки xˆ, а третье требование – закон Вальраса – следует из дополняющей нежесткости условий Куна-Таккера для зада-

Отметим, что для экономики Эрроу-Дебре в доказательстве необходимо еще проверить индивидуальную рациональность плана производства yˆ, а также поделить совокупную собственность (w, γ) так, чтоб индивидуальные доходы βi(w, p, γ) равнялись найденным числам (pxˆi), то есть были точно достаточны для потребления xˆ. Для этого достаточно поделить собственность пропорционально числам θi = (pxˆi/ Pj I pxˆj).

Важно для дальнейших теорем, что из условий типа (30) мы получаем дифференциальную характеристику Парето-оптимальной точки в виде совпадения (в условиях теоремы) предельных норм замещения любых двух товаров k, t для всех участников:

Сутью теорем ТБ1–ТБ2 является то, что эта диф. характеристика оптимума для совершенных рынков совпадает с дифференциальной характеристикой равновесия: поскольку цены для всех одинаковы, то отношение предельных норм замены двух товаров одинаково для всех участников и равно отношению цен.

2.3Вычисление равновесий и Парето-оптимальных состояний, пример

Предположим, в экономике обмена нам известны целевые функции ui начинающих торговлю участников и их начальные запасы wi. Можно ли предсказать, чем закончится обмен?

20

Прежде всего, используя условие (15), по оптимизационным задачам вида (5) нужно построить функции (или отображения) спроса Xi. Если множество Xi выпукло а функция цели строго вогнута, то Xi(p) окажется однозначной функцией. В экономике обмена эта функция однородна степени 0 по ценам p, поэтому цены можно произвольно нормировать, например, приняв p1 = 1, и искать только l − 1 равновесных цен p¯2, ..., p¯l.

Если для каждого продукта k есть желающий его участник i : ∂ui/∂xki > 0, то естественно искать строгое равновесие, то есть такое, где все цена положительны и балансы (16) – равенства. Из балансов и функций спроса получаем систему l уравнений с l неизвестными p1, ..., pl, записываемую в векторной форме так: PI (Xi(p) − wi) = 0.

Эти уравнения окажутся линейно зависимы, поскольку умножая их на вектор цен полу- чим тот же закон Вальраса (17), что и при суммировании по i бюджетов (6), выполняемых как равенства (при ненасыщаемости). Таким образом, можно решать систему любых l − 1 уравнений из набора, определяя l − 1 неизвестных равновесных цен p¯2, ..., p¯l. Равновесные объемы спроса находим затем как x¯ = X(¯p).

Другой (удобный графически) поход к нахождению равновесия, если выполнены соответствующие предположения, состоит в использовании дифференциальной характеристики равновесия и ТБ2 (равновесие должно лежать на Парето-границе). Получаем n Ч (l − 1) уравнений относительно неизвестных (p1, ..., pl), (x1i , ..., xli)I . Добавив к ним n бюджетных ограни- чений, получим ту же (разрешимую) систему уравнений, что и при первом способе. Этот путь особенно выгоден, когда предельная норма замещения на Парето-границе постоянна.

Для экономики распределения и экономики с производством рассуждения аналогичны. Случаи неоднозначности спроса, граничные, и др. требуют дополнительных рассуждений, не слишком сложных.

Пример 2.1 ("Ящик Эджворта"). Рассмотрим экономику обмена, состоящую из двух потребителей и двух благ. Потребители имеют функции полезности типа Кобба -Дугласа:

В равновесии предельная норма замещения для каждого потребителя должна быть равна отношению цен. Учитывая бюджеты и материальные балансы, получим равновесие x1 = (1, 3), x2 = (3, 1), p = (1, 1).

Ядро в этой экономике – это те точки Парето-границы, в которых функция полезности ни одного из участников не ниже, чем в точке начальных запасов. Таким образом, крайние

21