Поскольку по определению p¯ = c02(¯y2), то

Π02(¯p) = y¯2.

Таким образом, при y¯2 > 0 выполнено Π02(¯p) > 0.

Мы не задаемся здесь достаточно сложным вопросом об условиях существования равновесия. Однако ясно, что если в ценовой конкуренции и существует равновесие, то продажи не осуществляются по ценам, равным предельным издержкам. Таким образом, анализ показывает, что как только мы изменяем предположение об одинаковости и постоянстве предельных издержек, то получаем, что вывод модели Бертрана неверен.

14.4.3Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)

Наиболее простой динамический вариант модели Бертрана — две фирмы с постоянными и одинаковыми предельными издержками c, участвующие в ценовой конкуренции в течение (бесконечного) числа периодов времени. Каждая фирма максимизирует приведенную прибыль,

∞

Πj = X δt−1 · Πjt, t=1

где Πjt — прибыль фирмы i в период t, а δ — дисконтирующий множитель.

В этой динамической игре Бертрана стратегия фирмы j определяет цену pjt , которую

взимает фирма в период t как функцию от всей «предыстории» ценовой конкуренции Ht−1 =

{p¯1τ , p¯2τ }tτ−=11 .

Общий интерес представляют стратегии следующего вида

p¯jτ =

pM, если p¯iτ = p¯M для всех i, τ, 1 6 τ 6 t − 1c в противном случае

где pM — монопольная цена. Согласно этой стратегии каждая фирма в период 1 назначает монопольную цену за свою продукцию. Затем, в каждый последующий период она назначает цену pM , если во все предыдущие периоды обе фирмы назначали цену pM , и цену, равную ее предельным издержкам, в противном случае. Заметим, что если обе фирмы, используют указанные стратегии, то в результате они взимают в каждый период монопольно высокие цены pM .

Можно рассматривать назначение монопольной цены как неявное соглашение между олигополистами. В этих терминах каждая из фирм придерживается соглашения, если в предшествующие периоды обе фирмы не нарушали его, и нарушает соглашение, если другая фирма (или она сама) в прошлом нарушила соглашение.

При некоторых предположениях о дисконтирующих множителях указанные стратегии составляют равновесие. Заметим, что этот результат верен только для бесконечной игры. В бесконечной игре единственным равновесием будет такой набор стратегий, согласно которому каждая фирма в каждом из периодов назначает цену на уровне предельных издержек. Таким образом, в конечной игре описанный Бертраном исход реализуется в каждом из периодов. Действительно, используя обратную индукцию, рассмотрим последний период. Поскольку выигрыши в нем не зависят от действий игроков в предыдущие периоды, то фактически соответствующая игра представляет собой обычную модель Бертрана. Продолжая эти рассуждения, мы получим равновесие Бертрана в каждом из периодов.

Теорема 146:

Пусть функция спроса является непрерывной и строго убывает Указанные выше стратегии составляют совершенное в подыграх равновесие рассматриваемой динамической модели Бертрана тогда и только тогда, когда δ > 1/2.