/ 4. Какими из свойств (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) обладает отношение R, заданное на R2++ :

(e)(x1, x2) R (y1, y2) min{x1 + x2, y1 + y2} > 0;

(f)(x1, x2) R (y1, y2) min{x1, x2} > min{y1, y2}?

Вслучае, если отношение обладает свойством, предоставьте формальное доказательство, если

же не обладает, то приведите пример, показывающий это.

/ 5. Отношение лексикографического упорядочения, заданное на R2++ , определяется следую-

щим образом:

x RL y (x1 > y1 или (x1 = y1 и x2 > y2)).

Каким свойствам (полнота, рефлексивность, иррефлексивность, симметричность, асимметричность, транзитивность, отрицательная транзитивность) удовлетворяет данное отношение?

/6. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству рефлексивности, ни свойству иррефлексивности.

/7. Приведите пример бинарного отношения, не удовлетворяющего ни свойству симметричности, ни свойству асимметричности.

/8. Покажите, что каждое асимметричное бинарное отношение является иррефлексивным.

/9. Приведите пример симметричного, но не рефлексивного бинарного отношения.

/10. Объясните, почему каждое полное бинарное отношение является рефлексивным.

/11. Несложно понять, что для любых высказываний A и B выполнено следующее логическое правило: (A B) (B A). Используя этот факт, докажите, что отношение R является отрицательно транзитивным тогда и только тогда, когда для всех x, y, z X выполнено x R y (x R z или z R y).

/12. Не прибегая к исчислению высказываний (т. е. рассуждениям вида (A B) (B A)), докажите, что для любого бинарного отношения R свойство

x, y, z X : x R y (x R z или z R y)

эквивалентно свойству отрицательной транзитивности.

2.3Неоклассические предпочтения

Вэкономической теории предпочтения потребителя — единственная его характеристика, которая принимается во внимание при объяснении его поведения. Поэтому в дальнейшем в теории потребления мы отождествляем потребителя с его предпочтениями12.

Предпочтения потребителя в неоклассической традиции представляются (описываются) тройкой бинарных отношений, заданных на множестве допустимых альтернатив X :

1 Строгое отношения предпочтения . Тот факт, что данный потребитель предпочитает альтернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x лучше, чем альтернатива y, будет обозначаться как x y;

1 Нестрогое отношение предпочтения <. Тот факт, что потребитель нестрого предпочитает

альтернативу x альтернативе y или, другими словами, альтернатива x для него не хуже, чем альтернатива y, будет обозначаться как x < y;

12Судя по всему, строгое аксиоматическое описание концепции предпочтений впервые появилось в работе R. Frisch: Sur un probl`eme d’´economie pure, Norsk Matematisk Forenings Skrifter, Serie 1 16 (1926): 1–40??

1Отношение безразличия (эквивалентности) . Тот факт, что потребитель безразличен между альтернативами x и y или, другими словами, альтернатива x для него эквивалентна альтернативе y, будет обозначаться как x y.

Определение 3:

Тройка бинарных отношений h, <, i соответствует неоклассическим предпочтениям, если она обладает следующими свойствами:

?строгое отношение предпочтения является асимметричным (если x лучше y, то y не может быть лучше x) и отрицательно транзитивным (если неверно, что x лучше y, и неверно, что y лучше z, то неверно, что x лучше z);

?нестрогое отношение предпочтения < является полным (для двух наборов, x и y, либо x не хуже y, либо y не хуже x) и транзитивным (если x не хуже y, и y не хуже z, то x не хуже z);

?отношение безразличия рефлексивно (если x эквивалентен y, то y эквивалентен x), симметрично (любой набор эквивалентен сам себе) и транзитивно (если x эквивалентен y, и y эквивалентен z, то x эквивалентен z);

?отношения связаны между собой следующим образом:

(или, что эквивалентно, x y тогда и только тогда, когда неверно, что y < x)

Предположение о том, что потребитель является рациональным или, другими словами, упорядочивает альтернативы (потребительские наборы) на основе неоклассических предпочтений, является традиционным для экономической теории, и мы будем в дальнейшем всюду следовать этой традиции (если не противоположное не оговорено особо).

Предположения о свойствах неоклассических предпочтения тесно связаны с понятиями

рациональности потребителя, непротиворечивости вкусов, их внутренней состоятельности. Предпочтения h, <, i удовлетворяют всем свойствам, которым, исходя из экономической и житейской интуиции, должны удовлетворять предпочтения рационального потребителя.

Заметим, что если верны соотношения (P1) и (P3), то нестрогое отношение предпочтения однозначно определяет строгое отношение и отношение безразличия. Значит, его свойства однозначно определяют свойства двух других отношений. Аналогично, если верны соотношения (P1) и (P2), то строгое отношение предпочтения однозначно определяет нестрогое отношение и отношение безразличия. Поэтому возникает вопрос о непротиворечивости всех перечисленных требований к неоклассическим предпочтениям, а также об их избыточности13.

Приведем предварительно некоторые факты относительно взаимосвязей свойств бинарных отношений, на которые будет опираться проверка непротиворечивости определения неоклассических предпочтений.

Теорема 2:

(1)Пусть отношения и < связаны соотношением (P1). Тогда

(a)асимметричность эквивалентна полноте <;

(b)отрицательная транзитивность эквивалентна транзитивности <.

13Очевидно, что требования к отдельным бинарным отношениям, составляющим предпочтения, непротиворечивы. Например, отношение < = X × X будет полным и транзитивным, т.е. некоторое полное транзитивное бинарное отношение всегда существует.

(2)Пусть отношения и связаны соотношением (P2). Тогда

(a)симметрично;

(b)если отрицательно транзитивно, то транзитивно;

(c)если асимметрично, то рефлексивно.

(3)Пусть отношения < и связаны соотношением (P3). Тогда

(a)симметрично;

(b)если < транзитивно, то транзитивно;

(c) если < полно, то рефлексивно.

Доказательство: (1a) Полноту отношения < можно переформулировать следующим эквивалентным образом: если не выполнено x < y, то y < x. Поскольку и < связаны соотношением (P1), то следующие два свойства эквивалентны:

(x < y) y < x и x y (y x).

Первое означает полноту <, а второе — асимметричность .

(1b) Очевидно, что поскольку и < связаны соотношением (P1), то отрицательная транзитивность отношения

( (x z) и (z y)) (x y)

эквивалентна транзитивности отношения <:

(z < x и y < z) y < x.

(2a) Согласно (P2) как x y, так и y x определяются одинаковым образом — как

(2c) Из асимметричности следует, что x x неверно. Поэтому из (P2) следует x x. Пункт (3) доказывается так же, как пункт (2).

На основе доказанного утверждения легко установить совместность требований в определении неоклассических предпочтений. Другими словами, верно следующее утверждение.

Теорема 3:

(i)Пусть отношение («строгое отношение предпочтения») асимметрично и отрицательно транзитивно, отношение < определяется на основе предположения (P1), отношение

определяется на основе предположения (P2). Тогда < полно и транзитивно, рефлексивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P3).

(ii)Пусть отношение < («нестрогое отношение предпочтения») полно и транзитивно, отношение определяется на основе предположения (P1), отношение определяется на основе предположения (P3). Тогда асимметрично и отрицательно транзитивно,

рефлексивно, симметрично и транзитивно, и выполнено предположение (P2).

Это утверждение показывает также, что совокупность требований к неоклассическим предпочтениям является избыточной, поскольку, например, строгое отношения предпочтения и его свойства полностью определяют два других отношения предпочтения и их свойства. Поэтому для полного описания неоклассических предпочтений достаточно описать либо соответствующее строгое, либо нестрогое отношение предпочтения (либо то, что из промежуточных курсов

микроэкономики известно как карта кривых безразличия). Существуют две устоявшиеся традиции построения теории поведения потребителя, различающиеся способом описания предпочтений индивидуума. Первая берет за основу описание строгого отношения предпочтения (как асимметричного и отрицательно транзитивного отношения предпочтения). Вторая же традиция исходит из нестрогого отношения предпочтения, которое по исходным предположениям удовлетворяет свойствам полноты и транзитивности. Обе эти традиции приводят к одним и тем же неоклассическим предпочтениям, если строгое и нестрогое отношения предпочтения строятся на основе друг друга вышеуказанным способом, т. е. x < y (y x).

Традиционная неоклассическая парадигма исходит из положения, что (вкусы, оценки) потребителя являются основой его поведения (осуществляемого им выбора). Для построения теории поведения потребителя, таким образом, нам необходимо удобное для последующего анализа описание этих предпочтений. Хотя может быть предложено несколько возможных описаний, следует иметь в виду, что каждое из них является лишь способом представления одного и того же объекта — предпочтений (вкусов, оценок) данного потребителя. Проверка того, насколько такое описание адекватно, является целью эмпирического анализа. Теория, постулируя те или иные свойства таких описаний, должна приводить к верифицируемым (хотя бы потенциально) прогнозам относительно поведения. Эмпирическая оценка этих гипотез на их соответствие реально наблюдаемому поведению позволяет, в свою очередь, установить, насколько такое описание адекватно, что и является целью эмпирического анализа. Для нас важно только то, что конструкция, с помощью которой моделируются предпочтения, мыслима и непротиворечива.

Заметим, что определить нестрогое отношение предпочтения можно и следующим альтернативным способом, который представляется не менее естественным:

x < y (x y или x y).

В случае неоклассических предпочтений такое альтернативное определение приводит к тому же отношению (как показывает приведенное ниже утверждение) При отказе от предположения, что предпочтения являются неоклассическими, мы получаем два альтернативных описания одного и того же предпочтения (и, соответственно, различные теории поведения, построенные на основе таких описаний).

Укажем теперь другие свойства неоклассических предпочтений, которые не отражены в Определении 3.

Теорема 4:

Пусть h, <, i — неоклассические предпочтения на X . Тогда они обладают следующими свойствами:

(1)Строгое отношение предпочтения транзитивно (если x лучше y, и y лучше z, то x лучше z) и иррефлексивно (набор не может быть лучше самого себя).

(2)Нестрогое отношение предпочтения < рефлексивно (любой набор не хуже самого себя)

иотрицательно транзитивно.

(3)Для любых x, y X выполняется ровно одно из следующих трех соотношений: x y, или y x, или x y.

(4)Для x, y X соотношение x < y выполняется тогда и только тогда, когда x y или x y.

(5)Для x, y X соотношение x y выполняется тогда и только тогда, когда x < y, но y < x неверно.

(6)Для x, y, z X выполнено

(a)(x y и y z) x z;

(b)(x y и y z) x z;

(c)(x < y и y z) x < z;

(d) (x y и y < z) x < z;

(e) (x < y и y z) x z;

(f) (x y и y < z) x z.

Доказательство: Докажем только некоторые из перечисленных свойств. Остальные свойства оставляются читателю в качестве упражнения.

(1) Покажем транзитивность . Предположим противное. Пусть существуют x, y, z X такие, что x y, y z, но при этом (x z). Из асимметричности отношения из y z следует (z y). Из (x z) и (z y) по свойству отрицательной транзитивности следует, что (x y). Противоречие.

Иррефлексивность следует из асимметричности.

(3)Из асимметричности следует, что соотношения x y и y x не могут выполняться одновременно. Свойство (P2) означает, что как x y, так и y x одновременно могут быть неверными если и только если x y. Сопоставляя эти факты, убеждаемся в истинности доказываемого.

(4)Из доказанного в пункте (3) следует, что x y или x y выполнены тогда и только тогда, когда не выполнено (y x). Но согласно (P1) (y x) эквивалентно x < y.

(6а) Пусть x y и y z. Согласно (P2) из y z следует, что (z y). Предположим противное, т. е. что (x z). Тогда из (x z) и (z y) по свойству отрицательной транзитивности строгого отношения предпочтения имеем (x y). Пришли к противоречию.

Как уже упоминалось, еще один способ моделирования предпочтений основан на «карте кривых безразличия». Он эквивалентен моделированию с помощью неоклассических предпочтений, если «карта кривых безразличия» связана с элементарными бинарными отношениями соответствующим образом.

Определение 4:

Для данного набора x X

• множеством безразличия14 будем называть множество наборов, эквивалентных x:

I(x) = { y X y x } ;

• верхним лебеговским множеством будем называть множество наборов, которые не хуже

x:

L+(x) = { y X y < x } ;

• нижним лебеговским множеством будем называть множество наборов, которые не лучше x:

Эти объекты обладают очевидными свойствами:

Теорема 5:

Пусть I(·) и L+(·) заданы на основе неоклассических предпочтений. Тогда для них верно следующее:

14Надеемся, что читатель узнал в этом объекте кривую безразличия, известную ему из вводного курса микроэкономики.

(i)Если I(x), I(y) — два любые множества безразличия, то они либо не имеют общих точек, либо совпадают.

(ii)Если L+(x), L+(y) — два любые верхние лебеговские множества, то либо L+(x)

L+(y), либо L+(y) L+(x).

Если отображение L+(·) ставит в соответствие каждому набору из X некоторое подмножество X , и обладает свойством, указанным во втором пункте данной теореме, то на его основе несложно построить неоклассические предпочтения по следующему правилу: x < y тогда и только тогда, когда x L+(y), задав отношения и в соответствии с (P1) и (P3) (т. е. x y, если y / L+(x) и x y, если x L+(y) и y L+(x)). Такие предпочтения будут неоклассическими, поскольку отношение < будет полным и транзитивным.

Альтернативно, можно рассматривать в качестве исходного строгое отношение предпочтения, заданное на множествах безразличия (обозначим его через ). Разные множества безразличия не пересекаются и в совокупности составляют множество X . При этом любые два множества безразличия, I и I0 , либо находятся в отношении I I0 , либо находятся в отношении I0 I , либо совпадают. Тогда строгое отношение предпочтения на X можно задать следующим образом: x x0 тогда и только тогда, когда I I0 , где x I , x0 I0 .

В целом можно сказать, что подход, основанный на «карте кривых безразличия», является лишь другим изложением обычного неоклассического подхода15.

Как говорилось выше, для описания выбора индивидуума в теории выбора вводятся понятия ситуации выбора и правила выбора, определенного на множестве ситуаций выбора. Ситуация выбора — это некоторое непустое подмножество множества допустимых (физически) альтернатив X , с которым индивидуум сталкивается и из которого он может выбирать.

Определение 5:

Пусть A — множество ситуаций выбора (A 2X ). Правило выбора (функция выбора) C(·) ставит в соответствие каждой ситуации выбора A из A (A 6= ) множество C(A) выбранных альтернатив, каждая из которых является элементом A, т. е. C(A) A.

Для потребителя, имеющего неоклассические предпочтения, соответствующее правило выбора C(A) естественно определить следующим образом:

Определение 6:

Правило выбора задается на основе неоклассических предпочтений h, <, i следующими эквивалентными способами:

1.C(A) = C<(A) = { x y A x < y }.

2.C(A) = C (A) = { x @y A : y x }.

Другими словами, если из A выбрана альтернатива x, то никакая другая альтернатива y из A не может быть лучше x. Т. е.

x C(A) и y A x < y.

или

x C(A) и y x y / A.

Отношения , в некотором смысле можно рассматривать как правила выбора, заданные на парах альтернатив. Подразумевается, что если x y, то соответствующее правило выбора имеет вид C({x, y}) = {x}, а если x y, то правило выбора имеет вид C({x, y}){x, = y}. Неоклассическая теория выбора распространяет это правило выбора на другие ситуации выбора, позволяя тем самым предсказывать выбор в очень многих ситуациях.

15Исторически такой подход, пионером которого был Вильфредо Парето, был как раз первым ординалистским подходом к моделированию предпочтений (см. сноску 17).