7.7.1Задачи

/411. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности типа Неймана — Моргенштерна с квадратичной элементарной функцией полезности. Он обладает некоторым богатством ω и может формировать портфель из активов со следующими характеристиками (ожидаемая доходность, среднеквадратическое отклонение доходности): (r0, σ0) = (1, 0) (безрисковый актив с возможностью кредита), (¯r1, σ1) = (0,9, 0,1), (¯r2, σ2) = (1,1, 0,2). Рискованные активы жестко отрицательно коррелированы (с коэффициентом −1). Что можно сказать о структуре рисковой части оптимального портфеля? Поясните словами и графически.

/412. В модели Марковица инвестор со строгим неприятием риска выбирает какую долю капитала оставить в безрисковой форме с доходностью r0 а сколько вложить в рискованные активы (акции) двух типов со средними доходностями r¯1 > r0 , r¯2 > r0 . Могут ли какие-либо условия на коэффициент корреляции ρ и (или) доходности гарантировать, что

(A)все три актива войдут в портфель;

(B)только первый из рискованных активов войдет в портфель;

(C)только два рискованных актива войдут в портфель?

/413. Пусть в модели Марковица инвестор, обладающий капиталом 1 млн. долл. делает

выбор между тремя активами: один безрисковый с доходностью r0 = 1,1, а другие два — с доходностями r¯1 = 1,2 и r¯2 = 1,5 соответственно и дисперсиями доходностей σ12 = σ22 = 1. Известно, что инвестор выбрал портфель, характеризующейся доходностью rP = 1,27 и дисперсией доходности σP2 = 0,17. Доходность рискованной части его портфеля равна rR =

1,44.

(1) Найдите суммы, вложенные инвестором в каждый из активов.

(2) Найдите дисперсию доходности рискованной части портфеля этого инвестора.

(3) Найдите коэффициент корреляции доходностей двух рискованных активов.

/414. В модели Марковица инвестор сталкивается с двумя рискованными активами с характеристиками σ12 = 4, r¯1 = 2, σ22 = 1, r¯2 = 11/2, где σk2 — дисперсия доходности k-го актива, а r¯k — ожидаемая доходность, и с одним безрисковым активом с доходностью r0 = 1. Известно, что инвестор выбрал такой портфель, что его рискованная часть имеет характеристики σR2 = 8/3, r¯R = 12/3, а сам оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность r¯P = 12/3. Найдите дисперсию доходности оптимального портфеля. Найдите доли активов в оптимальном портфеле. Найдите величину корреляции между доходностями двух рискован-

ных активов.

/415. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,6. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (σ1, r¯1) = (2, 1,2) и облигации с параметрами (σ2, r¯2) = (1, 1,4), причем они некоррелированы. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в рисковой (рыночной) части портфеля инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

/416. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,7. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (σ1, r¯1) = (1, 0,8) и облигации с параметрами (σ2, r¯2) = (1, 1,4), причем они отрицательно коррелированы с коэффициентом −1. Будет ли строго возрастать или убывать доля облигаций в портфеле инвестора по мере роста доходности безрискового актива от r0 = 1 до r0 = 2?

(A)Нарисовать ее приблизительный график и объяснить ход рассуждений, можно с помощью графиков.

(B)Вывести функциональную зависимость.

/417. В модели Марковица — Тобина полезность инвестора насыщается при доходности равной 1,8. Имеются два вида активов: акции с параметрами риск-доходность (σ1, r¯1) = (2, 1, 4)