В случае, если функция издержек сепарабельна, излишек производителя можно представить как сумму излишков по l рынкам:

Можно представить излишек производителя на k-м рынке в виде интеграла:

Z yjk

P Sjk = [pk−c0jk(t)]dt − cjk(0).

0

Он равен (с точностью до константы cjk(0)) площади фигуры, образуемой прямой, проходящей через точку (0, pjk) параллельно оси абсцисс, и кривой предельных издержек c0jk(yjk) (кривой предложения). В случае, когда cjk(0) = 0 получаем, что излишек производителя равен

Z yjk

P Sjk = [pk−c0jk(t)]dt.

0

6.4Связь излишков потребителя и производителя с индикатором благосостояния

Предположим, что {(x1, z1), . . . , (xm, zm), (y1, r1), . . . , (yn, rn)} — допустимое состояние экономики, причем (xi, zi) — решение задачи (CQ) i-го потребителя при ценах p и

XX

Тогда

XX

W (x, y) = vi(xi) − cj(yj) =

— суммарный потребительский излишек,

XX

— суммарный излишек производителей.

Другими словами, индикатор благосостояния W (x, y), соответствующий любому равновесию, равен сумме излишков потребителей и производителей.

????Заметим, что если p — равновесный вектор, предпочтения локально ненасыщаемы, то условия

XX

выполнены. Заметим также, что в этом случае состояние экономики Парето-оптимально, и поэтому W (x, y) достигает максимума на множестве допустимых состояний.

В сепарабельной экономике излишки потребителей и производителей представляют собой суммы соответствующих излишков на l рынках:

ll

XX

CS = CSk, P S = P Sk.

k=1 k=1

/ 359. Пусть (x, y) — допустимое состояние квазилинейной экономики, и p > 0 — некоторый вектор цен, причем xi является решением задачи потребителя при ценах p, и

XX

X X ui(xi, zi) = W (x, y) + ωi

i I i I

/ 360. В экономике два блага (l + 1 = 2) и два потребителя, имеющие функции полезности u1 = √x1+z1 и u2 = 2√x2+z2 . Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

/ 361. Решите предыдущую задачу с функциями полезности u1 = −3/x31 + z1 и u2 = −3/x32 + z2 .

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя в каждом из случаев.

/ 363. Пусть предпочтения потребителей представляются квазилинейными сепарабельными функциями полезности. Тогда без потери общности можно считать, что в экономике два блага (l + 1 = 2). Пусть xi(p) — спрос на первое благо i-го потребителя при ценах p, D(p) = P xi(p) — суммарный спрос потребителей на первое благо, и p(x) = D−1(x) — обратная функция спроса. Предположим, что функция p(x) является непрерывной и убывающей при x > 0. Докажите, что если

Z x

v(x) = p(q)dq,

0

то v(x) + z является функцией полезности репрезентативного потребителя.

/ 364. В ситуации предыдущей задачи функция спроса на благо имеет вид

1

D(p) = 4p2 .

Найдите функцию полезности репрезентативного потребителя.

/365. Пусть в экономике имеется 2 блага и цена 2-го блага равна 1. Функция спроса потребителя на 1-е благо является линейной убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной функцией полезности. Найдите эту функцию полезности.

/366. Пусть в экономике имеется l + 1 благо и цена (l + 1)-го блага равна 1. Функция спроса потребителя на каждое из первых l благ является убывающей функцией цены этого блага и не зависит от дохода и цен остальных благ. Покажите, что предпочтения потребителя можно представить квазилинейной сепарабельной функцией полезности. Как найти эту функцию полезности на основе функции спроса?