Замечание: Следствием этой теоремы является то, что непрерывность, монотонность и вогнутость функции полезности (непрерывность, монотонность и выпуклость предпочтений) нельзя опровергнуть на основе конечного набора данных о выборе потребителя на бюджетных множествах.

Замечание: То, что теорема Африата основана на конструировании «хорошей» функции полезности, ни в коем случае не означает, что данные нельзя рационализовать какой-то другой функцией, не обладающей указанными свойствами.

3.B.3 Задачи

/162. Индивидуум при ценах (4, 6) выбирает набор (6, 6), а при ценах (6, 3) он выбирает набор (10, 0). Удовлетворяют ли эти наблюдения аксиоме выявленных предпочтений?

/163. При ценах (1, 4) выбор потребителя был (2, 3). Какой из следующих наборов выявленно лучше, чем этот набор: (a) (5, 2), (b) (8, 1), (c) (15, 0)?

/164. При ценах (2, 1) выбор потребителя был (2, 2). Какой из следующих наборов выявленно лучше, чем этот набор: (a) (1, 5), (b) (5, 0), (c) (0, 5)?

/165. Совместимы ли с моделью рационального поведения с локально ненасыщаемой функцией полезности следующие наблюдения за рыночным поведением потребителя:

x(10, 10, 10) = (10, 10, 10); x(10, 1, 2) = (9, 25, 15/2); x(1, 1, 10) = (15, 5, 9)

(т. е. спрос при ценах (10, 10, 10) равен соответственно (10, 10, 10) и т. д.).

/ 166. Рациональный потребитель в базовом периоде при ценах pb выбрал объем потребления xb , а в периоде t при ценах pt выбрал объем потребления xt . Индексы физического объема потребления Пааше и Ласпейреса по определению равны

ptxt pbxt

Pq = ptxb , Lq = pbxb .

Какой из наборов xt, xb лучше для потребителя (a) если Pq > 1, (b) если Lq > 1?

/ 167. Индексы цен Пааше и Ласпейреса по определению равны

ptxt ptxb

Pp = pbxt , Lp = pbxb .

Пусть M — отношение потребительских расходов в период t к потребительским расходам в

/ 168. Имеются следующие наблюдения за выбором потребителя: x1 = (5, 3), p1 = (1, 4), x2 = (2, 2), p2 = (1, 3), x3 = (2, 5), p3 = (3, 1).

(a)Продемонстрируйте, что эти наблюдения удовлетворяют обобщенной аксиоме выявленных предпочтений.

(b)Предложите функцию полезности, рационализующую эти наблюдения.

/169. Пусть при одних и тех же ценах p потребитель выбирал разные наборы x1, . . . , xn .

(a)Объясните, почему эти наблюдения не могут не удовлетворять обобщенной аксиоме выявленных предпочтений.

(b)Предложите простую функцию полезности, рационализующую такие наблюдения.

Приложение 3.C Интегрируемость функций спроса: восстановление предпочтений

Пусть в нашем распоряжении имеется система функций спроса x(p, R) потребителя (например, оцененная эконометрическими методами). Можно поставить перед собой две близкие, но несколько разные по смыслу задачи. Во-первых, можно по спросу восстанавливать функцию полезности (если предполагается, что такая функция у потребителя есть). Во-вторых, можно пытаться по спросу сконструировать ее (если не предполагается, что такая функция у потребителя есть), т. е. рационализовать наблюдаемый спрос некоторой функцией полезности. При решении этой второй задачи желательно уметь определять, возможно ли в принципе ее решить (если потребитель ведет себя непоследовательно, то, значит, в основе его поведения не может лежать функция полезности).

Традиционные подходы к решению данных задач опираются на то, что решение задачи потребителя характеризуются некоторыми соотношениями, которые можно рассматривать как дифференциальные уравнения. Решая эти дифференциальные уравнения (что, как правило, связано с вычислением интеграла), можно получить непосредственно функцию полезности, либо тесно связанные с ней функции. Поэтому в микроэкономике в этом контексте принято говорить об интегрировании и интегрируемости.

Ясно, что задача восстановления функции полезности не имеет однозначного решения, поскольку существует бесконечно много функций полезности, соответствующих одним и тем же предпочтениям. Поэтому речь может идти только о восстановлении такой функции полезности, которая чем-то уникальна. Если известно (или берется в качестве предположения), что предпочтения принадлежат некоторому классу, то, возможно, для этого класса предпочтений существует некоторая уникальная нормировка. Классический пример — так называемые квазилинейные предпочтения.

3.C.1 Восстановление квазилинейных предпочтений

Функция полезности вида u(x1, . . . , xl) = s(x1, . . . , xl−1) + xl называется квазилинейной. Очевидно, что две разные квазилинейные функций полезности, соответствующие одним и тем же предпочтениям, должны совпадать с точностью до константы. Таким образом, в данном случае уникальность нормировки определяется самим видом функции. Дополнительно, для нахождения константы, можно потребовать, чтобы выполнялось s(0) = 0.

Выведем сначала характеристики функции спроса. Предположим, что s(·) — строго вогнутая дифференцируемая функция, и выбор потребителя при некоторых ценах и доходе содержит все продукты в положительном количестве, т. е. x(p, R) > 0. Тогда по теореме Куна —

Таккера при некотором положительном λ, верны соотношения ∂s = λpi (i 6= l) и plλ = 1.

∂xi

Будем предполагать без потери общности, что pl = 1. Тогда λ = 1, и ∂s (x1, . . . , xl−1) = pi ,

∂xi

i 6= l. Из этих уравнений следует, что спрос на все блага, кроме последнего, не зависит от дохода:

xi = xi(p1, . . . , pl−1) = xi(p−i), i 6= l.

Кроме того, можно заметить, что эти уравнения, фактически, задают обратные функции спроса вида pi(x−l) для всех благ, кроме l-го /если функция спроса обратима??/.

Эти рассуждения приводят к следующим дифференциальным уравнениям:

Решая их, восстановим функцию s(·).

Другой подход к восстановлению квазилинейной функции полезности состоит в восстановлении соответствующей непрямой функции полезности. При таком подходе тождество Роя

рассматривается как система дифференциальных уравнений.

Учитывая вид функции спроса, получаем, что непрямая функция полезности имеет вид

l−1

X

v(p−l, 1, R) = s(x1(p−k), . . . , xl−1(p−l)) + R − pixi(p−l).

i=1

интегрирования) искомую функцию v(·, ·). Соответствующие интегралы будут равны изменению потребительского излишка как функции цен.

Если предпочтения квазилинейные и сепарабельные, то непрямая функция полезности имеет вид

или

Z +∞

Интеграл в последнем соотношении есть по определению потребительский излишек как функция цены:

Отсюда

Знание непрямой функции полезности и системы функций спроса позволяет нам сопоставить каждому потребительскому набору, который может быть выбран как наилучший при некоторых ценах p и доходе R, значение полезности по следующему правилу: u(x(p, R)) = v(p, R). Однако данное правило задает полезность не всех наборов, а только для наборов из области значений функции спроса. Эту проблему мы еще обсудим ниже в случае функции полезности общего вида.