dp| ∂R∂x xdp, соответствующей эффекту дохода. В частности, если благо нормальное в том смысле, что > 0, то эффект дохода будет положительным, и, как следствие, будет выполнен (локально) закон спроса.

Для приведенного разложения на эффект дохода и эффект замены можно предложить аналог в случае, когда изменения цен не являются бесконечно малыми. Пусть, как и выше, x0 — оптимальное решение задачи потребителя при ценах p0 и доходе R = p0x0 , и цены становятся равными p1 . Тогда разложение на эффект дохода и эффект замены при компенсирующем изменении дохода по Слуцкому будет иметь следующий вид:

x = x1 − x0 = [x1 − x(p1, p1x0)] + [x(p1, p1x0) − x0].

Первое слагаемое соответствует эффекту дохода (изменению дохода с R = p0x0 до p1x0 ), а второе слагаемое — эффекту замены. Аналогично, с использованием компенсирующего изменения дохода по Хиксу получим следующее разложение:

x = [x1 − x(p1, e(p1, x0))] + [x(p1, e(p1, x0)) − x0].

Заметим, что еще два подобных разложения можно получить, поменяв в приведенных формулах местами p0 и p1 (и, соответственно, x0 и x1 ). Таким образом, имеем четыре различных естественных разложения на эффект дохода и эффект замены. Очевидно, что в пределе, при малых приращениях, эти четыре разложения становятся идентичными.

3.3.2Оценка изменения благосостояния.

В этом разделе мы приведем оценки изменения благосостояния потребителя при изменении ситуации, в которой он осуществляет выбор, т.е. изменении цен p и доходов R.

Перед экономистами часто стоит задача оценить изменения в благосостоянии потребителей при проведении мероприятий экономической политики. Рассмотрим две ситуации (до проведения мероприятий экономической политики и после). В первой их них потребитель сталкивается с ценами p0 и доходом R0 , во второй — с ценами p1 и доходом R1 . Поскольку рассматривается только выбор на классических бюджетных множествах, то здесь можно использовать введенное ранее понятие непрямой функции полезности v(p, R). В то время как обычная функция полезности u(x) соответствует оценке потребителем потребительских наборов x, непрямая функция полезности соответствует оценке потребителем самих ситуаций выбора. Если v(p0, R0) < v(p1, R1), то вторая ситуация более благоприятна для потребителя, а если v(p0, R0) > v(p1, R1), то менее благоприятна.

Вообще говоря, мы можем говорить лишь о направлении изменения благосостояния, а не оценивать его величину. И, тем не менее, при расчетах издержек и выгод мероприятий экономической политики пытаются получить количественные оценки таких изменений. При этом используются так называемая непрямая денежная функция полезности.

Определение 34:

Непрямая денежная функция полезности µ(q; p, R) — это доход, который требуется, чтобы при ценах q потребитель мог бы иметь тот же уровень полезности, что и при ценах p, располагая доходом R, т. е. µ(q; p, R) = e(q, x(p, R)).

Другими словами, денежная непрямая полезность µ(q; p, R) определяется как непрямая функция полезности для функции расходов e(q, x), рассматриваемой как функция полезности. Опишем, как ее можно использовать и какие проблемы при этом возникают.

Непрямая денежная функция полезности определяется на основе некоторого (произвольного) «эталонного» вектора цен q > 0. Оценка изменения благосостояния при этом будет равна

µ(q) = µ(q, p1, R1) − µ(q, p0, R0) = e(q, x(p1, R1)) − e(q, x(p0, R0)) = e(q, x1) − e(q, x0),

где x0 — спрос потребителя в исходном состоянии, а x1 — спрос потребителя в новом состоянии. Значение µ(q), вообще говоря, может быть различным для разных векторов q и поэтому, соответствующие оценки изменения благосостояния содержат элемент субъективизма. Исключением являются квазилинейные предпочтения (предпочтения, которые можно описать квазилинейной функцией полезности).

В случае квазилинейности предпочтений все меры благосостояния эквивалентны с точностью до постоянного множителя, а в случае, когда цена последнего блага равна единице (единица «квазилинейного» блага является единицей измерения, numeraire), они совпадают. Покажем это, вычислив µ(q) для квазилинейной функции полезности u(x1, . . . , xl) = s(x1, . . . , xl−1) + xl в предположении, что pl = 1. Вспомним, что в этом случае непрямая функция полезности имеет вид

l−1

X

v(p−l, 1, R) = s(x1(p−l), . . . , xl−1(p−l)) + R − pixi(p−l).

i=1

Пользуясь соотношениями двойственности, получаем, что функция расходов в случае квазилинейных предпочтений??, как мы видели выше, имеет вид e(p, x) = u(x) − s(x−l(p−l)) + p−lx−l(p−l). По определению непрямой денежной функции полезности µ(q, p, R) = e(q, x(p, R)), поэтому

µ(q, p, R) = v(p, R) − s(x−l(q−l)) + q−lx−l(q−l).

Как видим, при любом фиксированном векторе цен q непрямая денежная функция полезности совпадает с точностью до константы (зависящей от q) с той непрямой функцией полезности, которая определяется естественной для квазилинейных предпочтений нормировкой. Отсюда по определению µ(q) имеем

µ(q) = µ(q, p1, R1) − µ(q, p0, R0) = v(p1, R1) − v(p0, R0).

В общем случае, когда значение µ(q) зависит от выбора q, естественными кандидатами на роль вектора цен q представляются p0 и p1 (соответственно, цены в исходной ситуации, до изменений, и цены после изменений). В первом случае получим меру изменения благосостояния, называемую эквивалентным изменением дохода (EV ), а во втором — меру изменения благосостояния, называемую компенсирующим изменением дохода (CV ).

Определение 35:

Эквивалентное изменение дохода (эквивалентная вариация) — это такое приращение исходного дохода, которое обеспечивает в исходного ценах тот же уровень благосостояния, что и после изменений:

x(p0, R0 + EV (p0, R0, p1, R1)) x(p1, R1).

Несложно убедиться, что

EV (p0, R0, p1, R1) = e(p0, x1) − R0 = µ(p0).

Действительно, доход, достаточный для того, чтобы при ценах p0 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации после изменений (т. е. при ценах p1 и доходе R1 ), по определению непрямой денежной функции полезности равен µ(p0, p1, R1) = e(p0, x1). Поэтому требуемое изменение дохода по сравнению с исходным доходом R0 равно

e(p0, x1) − R0 = e(p0, x1) − e(p0, x0) = µ(p0, p1, R1) − µ(p0, p0, R0) = µ(p0),

где мы воспользовались тем, что если x0 — спрос потребителя при ценах p0 , то e(p0, x0) = R0 .

соответственно. Найдем эквивалентную вариацию, отвечающую изменению цен от p0 = (2, 1) до p1 = (1, 2) при условии, что доход оставался неизменным и был равен R. Непрямая денежная функция полезности для данного потребителя будет иметь вид

µ(q, p, R) = q1q2(p2 + a2p1)R. p2p1(q2 + a2q1)

Таким образом,

p0p0(p1 + a2p1)

EV (p0, R, p1, R) = µ(p0, p1, R) − R = 1 2 2 1 R − R.

p12p11(p02 + a2p01)

Определение 36:

Компенсирующее изменение дохода (компенсирующая вариация) — это такое уменьшение дохода в новой ситуации, которое позволяет в новых ценах достигнуть уровень полезности

исходной ситуации:

x(p0, R0) x(p1, R1 − CV (p0, R0, p1, R1)).

По определению денежной непрямой функции полезности доход, достаточный для того, чтобы при ценах p1 обеспечить данному потребителю такой же уровень полезности, как и в ситуации до изменений (т. е. при ценах p0 и доходе R0 ), равен µ(p1, p0, R0) = e(p1, x0). Кроме того, µ(p1, p1, R1) = e(p1, x1) = R1 . Поэтому компенсирующая вариация равна изменению денежной непрямой функции полезности при q = p1 :

CV (p0, R0, p1, R1) = e(p1, x0) − R1 = µ(p1),

Отметим, что введенное понятие компенсирующей вариации — это то же самое изменение дохода, с которым мы сталкивались при рассмотрении закона спроса (см. ???).

Пример 23 (продолжение Примера 22):

Рассмотрим соотношение между этими мерами изменения благосостояния в простом случае, когда изменяется только цена одного блага (случай, который интересует нас при анализе последствий налогообложения): R0 = R1 = R, p01 > p11 , p0−1 = p1−1 = p−1 . Очевидно, что потребитель при таком изменении не может ухудшить своего положения, поскольку множество доступных ему потребительских наборов расширяется: v(p0, R) 6 v(p1, R). Введем следующие упрощенные обозначения:

EV = EV (p0, R0, p1, R1), CV = CV (p0, R0, p1, R1), x0 = x(p0, R), x1 = x(p1, R).

Кроме того, поскольку в данном случае меняется только цена первого блага, с целью упрощения записи не будем в дальнейшем указывать остальные цены p−1 и доход R в качестве аргументов функций.

Рис. 3.8 предлагает графическую иллюстрацию для эквивалентной и компенсирующей вариаций в случае двух благ, когда цена второго блага равна единице (p02 = p12 = 1).

Проинтегрировав тождество ∂e(p,x) = h1(p, x) (лемма Шепарда для теории потребления)

∂p1

по цене первого блага от p11 до p01 , получим

Z p0

p11

1 h1(t, x)dt = e(p01, x) − e(p11, x).

Эквивалентную и компенсирующую вариации можно представить в аналогичном виде (как уменьшение значения функции расходов для одной и той же кривой безразличия при падении цены первого блага с p01 до p11 , см. Рис. 3.8):

EV = e(p01, x1) − R = e(p01, x1) − e(p11, x1),

CV = R − e(p11, x0) = e(p01, x0) − e(p11, x0).

Таким образом,

Как известно?? из курсов микроэкономики начального и промежуточного уровня, изменение потребительского излишка вычисляется по формуле

Из того, что p01 > p11 следует, что в данном случае все три величины неотрицательны (они положительны, если спрос строго положителен):

EV > 0, CV > 0, CS > 0.

Если эффект дохода неотрицателен (рассматриваемое благо — нормальное), то

h1(t, x0) 6 x1(t) 6 h1(t, x1) при p11 6 t 6 p01.

Докажем эти неравенства формально. Спрос потребителя на первое благо, если его цена равна t (где p11 6 t 6 p01 ) и доходе R равен x1(t) = x1(t, R). Пусть теперь доход потребителя стал равен e(t, x0). Несложно заметить, что доход потребителя уменьшился на

Найдем также изменение потребительского излишка. Для этого требуется проинтегрировать

Можно заметить, что изменение потребительского излишка можно представить через эквивалентную и компенсирующую вариации следующим образом:

При малых t верно приближение ln(1 + t) ≈ t, поэтому при малых изменениях цены все три измерителя изменения благосостояния примерно равны. Кроме того, ln(1 + t) < t при t 6= 0,

В случае квазилинейных предпочтений (при достаточно большом доходе) отсутствует эффект дохода для товара, который входит нелинейно. В этом случае записанные выше неравенства, связывающие маршаллианский и хиксианский спрос, выполняются как равенства и,

следовательно,

EV (p0, p1) = CS(p0, p1) = CV (p0, p1).

Геометрически эта ситуация означает что все три кривые спроса, изображенные на диаграмме, совпадают; следовательно, совпадают и три рассмотренные меры благосостояния.

Вообще говоря, полезности разных потребителей не сравнимы друг с другом, и их бессмысленно складывать. Однако на основе денежных мер изменения благосостояния можно получать некоторые оценки мероприятий экономической политики.

Предположим, что существуют n потребителей с функциями полезности ui(xi) и доходами Ri . Пусть цены изменились с p0 до p1 . Пусть, кроме того, в результате этого изменения цен суммарная величина компенсирующей вариации положительна, т. е.

Мы можем выбрать Ri0 так, что Ri0 > ei(p1, xi(p0, Ri)) (достаточно взять Ri0 = ei(p1, xi(p0, Ri)) + CVΣ/n). Покажем, что в этом случае vi(p1, Ri0) > vi(p0, Ri) i.

Воспользовавшись возрастанием непрямой функции полезности по доходу и свойством двойственности между vi(·, ·) и ei(·, ·), получим

vi(p1, Ri0) > vi(p1, ei(p1, xi(p0, Ri))) = vi(p0, Ri).