Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

Аналогично могут быть составлены ограничения по каждому виду продук­ ции. Математическая модель и содержательная интерпретация полученной двойственной задачи приведены в правой части представленной выше таблицы.

Рассмотрим формально две задачи (1 и 2) линейного программирования, представленные в таблице, абстрагируясь от содержательной интерпретации параметров, входящих в их модели. Обе задачи обладают следующими свойст­ вами:

• В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум.

•Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются

свободными членами системы ограничений в другой.

•В задаче максимизации все ограничения-неравенства имеют знак "<", а в за­ даче минимизации все неравенства вида ">".

•Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих за­ дач являются транспонированными по отношению друг к другу, то есть

•Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с чис­ лом переменных в другой задаче.

•Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Две задачи 1 и 2 линейного программирования, обладающие указанными свой­ ствами, называются симметричными взаимно двойственными задачами.

3.6.МОДЕЛИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Рассмотренные ранее модели линейного программирования предполагали, что управляющие переменные - объемы выпуска продукции - представляют со­ бой непрерывные параметры. Вместе с тем, существует большое число задач управления, в которых управляющие переменные по самому смыслу решаемой проблемы могут быть только целыми числами. Примерами могут служить зада­ чи, связанные с определением численности трудовых ресурсов (число рабо­ тающих должно выражаться целым числом), решение задач об оптимальном распределении единиц подвижного состава на транспортных маршрутах города (на маршруте не может находиться, скажем, 3,5 трамвая), оптимизация распре­ деления станочного парка между цехами предприятия и т.п. Такого рода задачи

должны формулироваться как задачи целочисленного программирования. Сле­ дует заметить, что зачастую такого рода задачи на практике решают как обыч­ ные, с непрерывными параметрами, поскольку используемые методы оптимиза­ ции в таком случае гораздо более просты. Однако, несмотря на эффективность такого подхода, в ряде ситуаций он может привести к существенным ошибкам, поскольку полученное таким способом решение может даже оказаться недопус­ тимым.

Рассмотрим модель оптимизации (3.13) из раздела 3.5

c-\Xi + с2 х2 + С3Х3 + . . . + cnxn -> max aiiXi +312X2 + Я13Х3 + . . . + ain xn < bi

831X1 +832X2 + 833X3 + . . . + Ззпхп < Ьз

amiXi +атгХ2 + атзХз + . . . + amnxn < bm

Xj > о а = i^i)

Если наряду с ограничениями задачи (3.19) потребовать, чтобы все пере­ менные Xj (j = l7n) были целыми, то задача становится задачей целочисленно­ го линейного программирования.

одна из них не целочисленна. Предположим, что допустимая область сужена до выпуклого многогранника допустимых целочисленных точек внутри допустимой области. На рис.3.6 часть этого выпуклого многогранника изображена в плоско­ сти переменных Хк, X* в виде заштрихованной области OEFGH, которую можно рассматривать как область допустимых решений некоторой другой задачи ли­ нейного программирования. Действительно, если к задаче линейного програм-

(4), получим допустимую область расширенной задачи. Эта область на рис.3.7 представлена многоугольником OKNM. В данном случае отсеченное прямой (4) целочисленное решение - точка N(4,6) и является оптимальным решением це­ лочисленной задачи. Таким образом, решение поставленной задачи: Z* = 24,2 при x-i* = 4, х2* = 6, то есть максимальную производительность 24,2 тонн ком­ бикорма за смену можно достичь приобретением 4 машин малой производи­ тельности и 6 машин большой производительности. При этом, поскольку огра­ ничение (1) оказалось неактивным, останется незанятой часть помещения пло­ щадью 60 - (12 + 30) = 18 кв.м.

Следует заметить, что если использовать оптимальное решение нецело­ численной задачи - (4/3, 8) и округлить (как это часто делается на практике) до ближайшей допустимой точки, то мы получили бы Xi* =1, х2 =8. При этих значе­ ниях х величина производительности Z = 23,6, что, как .видим, не является луч­ шим решением.

3.7. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ

Сетевые оптимизационные модели, обычно являющиеся частными случая­ ми моделей линейного программирования, имеют две важные особенности. Вопервых, часто они относятся к задачам распределения продукции, следователь­ но, имеют экономический смысл для многих фирм, располагающих несколькими предприятиями и хранящих запасы продукции на складах, размещенных в раз­ личных пунктах. Во-вторых, математическая структура сетей идентична структу-

ре других операционных моделей, на первый взгляд не имеющих с ними ничего общего.

Важнейшей причиной, обуславливающей выделение сетевых моделей в особую группу, являются особенности их математических характеристик. Ис­ пользуя эти особенности, можно существенно повысить эффективность процес­ са отыскания оптимальных решений задач, которые удается описать на "сетевом языке". В реальных примерах сетевые модели часто содержат тысячи переменных и сотни ограничений, в связи с чем становится актуальным приме­ нение эффективных алгоритмов.

Сетевая структура обладает той особенностью, что во всех ограничениях коэффициенты при управляющих переменных могут принимать одно из двух не­ нулевых значений, а именно +1 или -1 в соответствии с установленным прави­ лом выбора знаков. В тех случаях, когда возможны два значения, одно из них равняется +1, а другое - 1 . При наличии такой структуры задачу можно свести к оптимизации потоков однородной продукции на некоторой сети. Иногда для вы­ явления сетевой структуры той или иной задачи уравнения соответствующей модели необходимо преобразовать.

Сетевые задачи применяют при проектировании больших и сложных сис­ тем, а также при поиске путей их наиболее рационального использования. В первую очередь это связано с тем, что с помощью сетей можно довольно просто построить модель системы.

3.7.1. КЛАССИЧЕСКАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Транспортная задача (или задача прикрепления поставщиков к потребите­ лям), в научной литературе часто называемая транспортной задачей Хитчкока - Купманса, явилась одним из первых примеров оптимизации на линейных сетях и стала типовой для промышленных фирм, имеющих несколько предприятий, складов, рынков сбыта и оптовых баз. Модель применяется главным образом при решении плановых задач. В этом случае стратегические решения сводятся к выбору транспортных маршрутов, по которым продукция различных предпри­ ятий доставляется на несколько складов или в различные конечные пункты на­ значения. Некоторые фирмы считают необходимым ежемесячно пересматри­ вать свои планы распределения продукции, особенно в тех случаях, когда но­ менклатура их заказов существенно изменяется.

Рассмотрим классическую транспортную задачу. В обычной интерпретации этой модели принято считать, что имеется m различных поставщиков (предприятий или пунктов отправления), располагающих некоторыми изделия­ ми, которые они могут отправить п потребителям (в п пунктов назначения, скла­ дов). В частности, предполагается, что предприятие i может отгрузить не более Sj изделий (наличные ресурсы предприятия), а потребителю к требуется не ме­ нее Dk изделий (спрос потребителя). Затраты на перевозку единицы груза из пункта отправления i в пункт назначения к равны cik. Задача заключается в том, чтобы минимизировать транспортные расходы при перевозке готовой продукции

мом, условия (3.23) также можно записать в виде равенств. Таким образом, в транспортной задаче обычно предполагается, что выполняется условие (3.27), а ограничения (3.23) и (3.24) являются равенствами (если только в конкретной за­ даче не предполагается что-либо иное). Отсюда модель транспортной задачи принимает вид

где Si и Dk - положительные целые числа, удовлетворяющие условию (3.27).

В литературе достаточно много внимания уделено описанию различных эффективных алгоритмов решения транспортной задачи традиционным "ручным" способом, в частности, использование наглядных таблиц. Следует от­ метить, что современный уровень развития информационных технологий позво­ ляет избежать этого и заботиться, главным образом, не об эффективности алго­ ритма, а о грамотной постановке задачи и осмысленном анализе полученных результатов.

Применение модели

В математическом выражении модели (3.28) - (3.31) в неявном виде пред­ полагается, что в качестве транспортируемого груза рассматривается только один вид продукции (так называемая однопродуктовая модель). Чем это объяс­ няется? Дело в том, что при удовлетворении требований потребителей в моде­ ли не различаются источники поставок. Весь груз, поступающий в пункт назна­ чения к, считается однородным в смысле удовлетворения ограничения по спро­ су.

Следует обратить особое внимание на допущение об однородности продук­ та, ибо может показаться, что в силу этого допущения модель имеет лишь весь­ ма ограниченную практическую ценность. В самом деле, разве есть фирмы, имеющие несколько промышленных предприятий, которые распределяют между потребителями всего один вид продукции? Иногда такая "многопродуктовая" фирма, владеющая несколькими предприятиями, может разрабатывать отдель­ ные планы перевозок для каждого из основных видов своей продукции. Однако, как правило, экономически выгодно ограничить число предприятий, снабжающих один склад или район сбыта. Поэтому большинство фирм пользуется планами распределения своей продукции, включающими в явном виде всю ее номенкла-

туру. Как можно легко себе представить, требуется немалая изобретательность, чтобы "подогнать" реальную распределительную задачу к условиям классиче­ ской транспортной модели. Отдельные практические подходы такого рода будут рассмотрены в третьей части этой книги. Вместе с тем, следует заметить, что, в случае затруднений с трансформацией исходной задачи в транспортную мо­ дель, целесообразно использовать общую модель линейного программирова­ ния, опираясь на возможности современных программных средств, реализую­ щих эффективные алгоритмы решения оптимизационных задач в общем виде.

3.8. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

Имеется много данных об успешном использовании моделей линейного программирования в различных задачах управления. Однако анализ моделей линейного программирования может вызвать сомнения в адекватности строго линейных моделей многим реальным ситуациям. Легко может создаться впе­ чатление, что при линейном подходе игнорируются такие явления, как: эффек­ тивность или неэффективность укрупнения операций в многопродуктовых моде­ лях, отсутствие аддитивности объемных показателей при составлении химиче­ ских смесей; влияние объема реализации на цену реализации, а, следователь­ но, на выручку от реализации, то есть имеется множество задач, в которых предположение о линейности целевой функции и ограничений оказывается не­ корректным. В ряде ситуаций удается достаточно эффективно линеаризовать нелинейные компоненты модели. Однако построить хорошее линейное прибли­ жение практически невозможно, если существует широкий диапазон допустимых решений, и мы не имеем представления о характере оптимального решения.

Рассмотрим фирму, находящуюся на начальном этапе разработки модели перспективного планирования в масштабах всей фирмы. Специалистам по управлению известно, что даже опытному бизнесмену трудно дать точный и де­ тальный прогноз оптимальных объемов производства фирмы и распространения ее контроля на рынки сбыта на последующие 5 и более лет. В самом деле, при­ менение администратором математической модели при разработке оптимально­ го плана, в основном, обусловлено именно тем, что он понимает, как легко оши­ биться при использовании-только лишь интуитивных соображений в стремлении оценить влияние различных экономических факторов в последующие периоды. Если затраты производства и выручка от реализации зависят от объема опера­ ционной деятельности нелинейно, то "линеаризованные догадки" могут оказать­ ся недостаточными для надежных ответов.

Хотя применение математического программирования в преобладающем большинстве реальных ситуаций сводится к моделям линейной аппроксимации, а не к нелинейным моделям в явном их виде, значимость нелинейного програм­ мирования и его использования постоянно возрастает. Это обусловлено расту­ щим уровнем потребностей в надежном адекватном моделировании сложных управленческих задач, а также появлением современных программных средств нелинейной оптимизации.

Здесь функции f(xi, х2, . . ., xn), hk(x1, х2, . . . , хп), д^, х2, . . . , хп) (или хотя бы какая-нибудь одна из них) представляют собой действительные нелинейные

функции п действительных переменных.

Естественно, может решаться как задача максимизации целевой функции, так и минимизации, ограничения могут быть как в форме неравенств, содержа­ щих знак "<", так и знак ">" (тем более что математически это легко достигается умножением обеих частей неравенства на -1).

В большинстве случаев нелинейности, которые необходимо отразить в мо­ делях, относятся к одной из двух категорий:

1)эмпирически полученные соотношения, такие, как непропорциональные изменения затрат, выхода продукции, показателей качества;

2)структурно полученные соотношения, к которым относятся постулируе­ мые физические явления, а также выведенные математически или уста­ новленные руководством правила поведения.

Следует заметить, что четкое разграничение этих категорий невозможно, по­ скольку при наличии достаточных данных можно вывести строгое структурное соотношение, лежащее в основе эмпирически наблюдаемого явления.

Примером категории 1) может служить тот случай, когда на предприятии в течение ряда лет прирост выпуска продукции отстает от роста затрат труда, то­ гда как темпы роста количества отходов его обгоняют. Примером 2) является фирма, которая должна оплатить счет за электроэнергию в случае, когда расче­ ты ведутся по нелинейной формуле, учитывающей как среднесуточный расход, так и "пиковую" потребность в энергии (прогрессивная оплата при перерасходе лимитов). В данном случае фирма получает сведения о нелинейном характере затрат из договора о ставках оплаты, заключенного с компанией, обеспечиваю­ щей энергоснабжение (или установленных государственными органами).

Нелинейность включается в модели управления и в других случаях, напри­ мер, в следующих:

1.Приготовление бензиновых смесей. В модели приготовления бензина определенного состава из отдельных фракций, полученных в результате пере­ гонки нефти, обычно имеется нелинейное ограничение на октановое число сме­ си, поскольку эта характеристика качества нелинейно зависит от количества до­ бавляемого к смеси тетраэтила свинца.

2.Управление производственным процессом. В модели производства металлургического завода значение переменной, характеризующеитемпературу

вдоменной печи, может быть описано нелинейной функцией от других перемен­ ных, соответствующих количеству потребляемого тепла и временным показате-