Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

4.7.МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Впрактике управления часто приходится сталкиваться с системами, пред­ назначенными для многоразового использования при решении однотипных за­ дач. Возникающие при этом процессы получили название процессов обслужи­ вания, а системы, в которых осуществляются эти процессы, называются сис­ темами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем являются телефонные сети, ремонтные мастерские, вычислительные комплексы, билет­ ные кассы, магазины, парикмахерские и т.п.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц (приборов, пунктов, станций), которые называют каналами обслуживания. По числу каналов СМО подразделяются на одноканальные и многоканальные.

Заявки поступают в СМО обычно не регулярно, а случайно, образуя так на­ зываемый случайный поток заявок (требований). Обслуживание заявок в общем случае также продолжается какое-то случайное время. Случайный ха­ рактер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что СМО оказы­ вается загруженной неравномерно: в какие-то периоды 'времени скапливается очень большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо поки­ дают СМО необслуженными), в другие же периоды СМО работает с недогрузкой или простаивает.

Математические модели массового обслуживания связывают заданные ус­ ловия работы СМО (число каналов, их производительность, характер потока заявок и т.п.) с показателями эффективности СМО, описывающими ее способ­ ность справляться с потоком заявок. В качестве показателей эффективности СМО используются: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; веро­ ятность отказа в обслуживании без ожидания; вероятность того, что число зая­ вок в очереди превысит определенной значение и другие. Здесь средние вели­ чины понимаются как математические ожидания соответствующих случайных величин.

СМО делят на два основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует. В СМО с ожиданием заявка при занятых каналах не уходит, а ста­ новится в очередь на обслуживание. СМО с ожиданием подразделяются на раз­ ные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной длиной очереди, с ограниченным временем ожидания и т.п.

В понимании СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, оп­ ределяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распреде­ ления их между свободными каналами. Обслуживание заявки может быть орга­ низовано по принципу "первая пришла - первая обслужена", "последняя пришла - первая обслужена" (например, при извлечении изделий из склада, когда по­ следние оказываются более доступными) или обслуживание с приоритетом (когда в первую очередь обслуживаются наиболее важные заявки).

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс, в котором

4.7.1. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматри­ вать:

А - абсолютная пропускная способность СМО, то есть среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительная пропускная способность СМО, то есть средняя доля заявок, обслуживаемых системой, в общем числе пришедших;

Ротк - вероятность отказа, то есть такого события, что заявка покинет СМО необслуженной;

кср - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Одноканальная система с отказами

Пусть имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивно­ стью X. Будем предполагать, что все потоки событий, переводящие СМО из со­ стояния в состояние, являются простейшими. К ним относится и поток обслужи­ вании, то есть поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым кана­ лом. Если среднее время обслуживания составляет tcp, то обратная ей величина ц = 1/ tcp представляет собой интенсивность потока обслуживании.

Система СМО имеет два состояния: S0 - канал свободен, Si - канал занят.

в состоянии S0, Pi - вероятность того, что сис­ тема находится в состоянии S-|. Эти вероятности, по сути, выражают среднее относительное время пребывания системы в состояниях S0 и Si, то есть опре­ деляют, соответственно, относительную пропускную способность Q и вероят­ ность отказа Ротк-

Для предельного, стационарного режима работы СМО эти вероятности со­ стояний (и соответствующие им показатели эффективности СМО) для одноканальной системы с отказами могут быть определены по формулам

Абсолютную пропускную способность находим, умножив Q на интенсивность потока отказов

Пример. Заявки на телефонные переговоры в офисе фирмы поступают с интен­ сивностью А, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону tcp = 2 мин. Определим показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии в офисе одного телефонного номера.

Имеем А = 90 (1/час), ц = 1/tcp = 0,5 (1/мин) = 30 (1/час). В соответствии с формулами (4.35) относительная пропускная способность СМО Q =30/(90+30) = = 0,25, то есть в среднем только 25% поступающих заявок осуществят перегово­ ры по телефону. Соответственно, вероятность отказа в обслуживании составит Ротк = 0,75. Абсолютная пропускная способность СМО по (4.36) А = 90x0,25 = =22,5, то есть в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного номера телефона СМО будет плохо справляться с потоком заявок.

Многоканальная система с отказами

Пусть СМО имеет п каналов, на которые поступает поток заявок с интенсив­ ностью А. Поток обслуживании для каждого канала имеет интенсивность ц. Сис­ тема имеет следующие состояния (они нумеруются по числу заявок, находя­ щихся в системе): S0, Si, S2 Sk, ... , Sn, где Sk - состояние системы, когда в ней находится к заявок, то есть занято к каналов. Граф этих состояний пред­ ставлен на рис.4.16.

Рис.4.16

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состоя­ ния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью А. Интенсивность же потока обслуживании, переводящих систему из любого правого состояния в со­ седнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Дей­ ствительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние ST (ОДИН канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2ц. Аналогично суммарный поток обслуживании, перево­ дящий СМО из состояния S3 (три канала заняты) в S2, будет иметь интенсив­ ность Зц., то есть может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

Введем величину р = А/ц - приведенную интенсивность потока заявок

или интенсивность нагрузки канала. Эта величина выражает среднее число

заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Вероятно­ сти, что система находится в соответствующем состоянии, выражаются через интенсивность нагрузки следующими зависимостями

Формулы (4.37) и (4.38) для предельных вероятностей получили название формул Эрланга в честь датского инженера и математика, основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п кана­ лов системы будут заняты, то есть

Относительная пропускная способность - вероятность того, что заявка бу­ дет обслужена

Абсолютная пропускная способность вычисляется так:

Среднее число занятых каналов кср есть математическое ожидание числа занятых каналов и может быть определено с использованием вероятностей (4.37), (4.38). Однако кср можно найти проще, если учесть, что абсолютная про­ пускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока об­ служенных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем ц заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов

Пример. Для условий описанной выше задачи о загрузке единственной теле­ фонной линии в офисе фирмы определим оптимальное число номеров в офисе, если условием оптимальности считать удовлетворение в среднем не менее 90 заявок на переговоры из каждых 100.

Напомним, что интенсивность потока обслуживания (как обратная величина средней продолжительности обслуживания - среднего времени одного теле­ фонного разговора) ц = 1/tcp = 0,5 (1/мин) = 30 (1/час). Тогда интенсивность на­ грузки канала по формуле р = А7ц = 90/30 = 3, то есть за время среднего (по продолжительности) телефонного разговора поступает в среднем 3 заявки на переговоры. Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номе-

ров) п = 2, 3, 4, . . . и определим по формулам (4.37), (4.40), (4.41) для получае­ мой n-канальной СМО характеристики обслуживания. Рассчитанные значения характеристик СМО сведем в помещенную ниже таблицу.

По условию оптимальности Q > 0,9, следовательно, в офисе фирмы необ­ ходимо установить 5 телефонных номеров (в этом случае Q = 0,9). При этом в час будут обслуживаться в среднем 80 заявок (А=80,1), а среднее число занятых телефонных номеров (каналов) по формуле (4.42) кср = 80,1/30 = 2,67.

4.7.2. СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

СОЖИДАНИЕМ (ОЧЕРЕДЬЮ)

Вкачестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже из­ вестных показателей - абсолютной А и относительной Q пропускной способно­

сти, вероятности отказа Р0Тк, среднего числа занятых каналов кср (для многока­ нальной системы) будем рассматривать также следующие характеристики: 1_сист

-среднее число заявок в системе; Тсист - среднее время пребывания заявки в системе; 1_оч - среднее число заявок в очереди (длина очереди); Точ - среднее время пребывания заявки в очереди; Рзан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала). Рассмотрим различные типы СМО с ожиданием.

Одноканальная система с неограниченной очередью

На практике нередко" встречаются одноканальные СМО с неограниченной очередью (например, бензиновая заправочная станция с одной работающей за­ правочной колонкой).

Рассмотрим одноканальную СМО с очередью, на которую не наложены ни­ какие ограничения (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). Поток зая­ вок, поступающих в СМО, имеет интенсивность А., а поток обслуживании - ин­ тенсивность ц. Система может находиться в одном из состояний S0, S-), S2, . . . , Sk, по числу заявок, находящихся в СМО: So - канал свободен; Si - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет; S2 - канал занят, одна заявка в очереди; . . .

Sk - канал занят, (к-1) заявок в очереди и т.д. Граф состояний СМО представлен на рис.4.17.

Доказано, что если р < 1, то есть среднее число приходящих заявок меньше

среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные веро­ ятности существуют. Если р > 1, очередь растет до бесконечности.

Рис.4.17

Так как предельные вероятности существуют лишь при р < 1, то геометрии ческий ряд, записанный в формуле (4.37), сходится к сумме, равной 1/(1—р). Та­ ким образом, вероятность, что система находится в состоянии S0, имеет вид

и с учетом соотношений (4.38) предельные вероятности других состояний запи­ шутся следующим образом

Среднее число заявок в системе 1_сист определяется по формуле математи­ ческого ожидания, которая для р < 1 преобразуется к виду

Пример. В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность по­ тока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна со­ ставляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найдем показатели эффективности работы причала, а также вероят­ ность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Имеем р = АУц. = A.tcp = 0,4x2 = 0,8. Так как р = 0,8 < 1, то очередь на раз­ грузку не может бесконечно возрастать, и предельные вероятности существуют.

Вероятность того, что причал свободен, по (4.43) р0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероят­ ность того, что он занят, Рзан = 1 - 0,2 = 0,8. По формуле (4.44) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (то есть ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны: рЛ =0,8(1-0,8)=0,16; р2=0,82(1-0,8)=0,128; р3 =0,8^(1-0,8) =0,1024.

Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна

Р= Pi + Р2 + Рз = 0,16+0,128+0,1024 = 0,3904

Всоответствии с формулой (4.46), среднее число судов, ожидающих раз­ грузки, 1_оч = 0,82/(1-0,8) = 3,2, а среднее время ожидания разгрузки по формуле (4.48) Точ = 3,2/0,8 = 4 (сутки). Среднее число судов, находящихся у причала, по формуле (4.45) 1_сист = 0,8/(1-0,8) = 4, а среднее время пребывания судна у при­

чала по формуле (4.47) Тсист = 0,8/0,4(1-0,8) = 10 (сутки).

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

СМО с неограниченной очередью, имеющая п каналов, интенсивности пото­ ка заявок А и потока обслуживании ц, может находиться в одном из состояний S0, Si, S2, ... , Sk Sn именуемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 - в системе нет заявок (все каналы свободны); Si - занят один канал, остальные свободны; S2 - заняты два канала, остальные свободны; . . . Sk - занято к кана­ лов, остальные свободны; . . . Sn - заняты все п каналов (очереди нет); Sn+i - заняты все п каналов, в очереди одна заявка; . . . Sn+r - заняты все п каналов, г заявок стоит в очереди и т.д.

Доказано, что для р/п < 1 предельные вероятности существуют, в против­ ном случае (р/п > 1) очередь растет до бесконечности. Формулы для расчета

Пример. В универсаме к кассе для расчета поступает поток покупателей с ин­ тенсивностью X = 18 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания кон­ тролером-кассиром одного покупателя tcp = 2 мин. Определим минимальное ко­ личество контролеров-кассиров пМцН, при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при пмин-

По условию X = 18 (1/час) = 81/60 = 1,35 (1/мин.); р =Х1\х = A,tGp = 1,35-2 = 2,7.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии р/п < 1, то есть при п > р = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров

Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.

Вероятность того, что у кассы отсутствуют покупатели, по формуле (4.49)

р0= (1+2,7+2,72/2!+2,73/3!+2,74/3!(3-2,7)Г1 = 0,025, т.е. 2,5% времени контролерыкассиры будут простаивать. Вероятность того, что в кассе будет очередь, по (4.52) Роч = (2,7 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735. Среднее число покупателей, находя­ щихся в очереди, по (4.54) 1_оч = (2,74/ЗхЗ!(1-2,7/3)2)0,025 = 7,35. Среднее время ожидания в очереди по (4.56) Точ = 7,35/1,35 = 5,44 (мин). Среднее число покупа­ телей у кассы по (4.55) 1_сист = 7,35+2,7 = 10,05. Среднее время нахождения по­ купателей у кассы по (4.57) Тсист = 10,05/1,35 = 7,44 (мин). Среднее число кон­ тролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, по (4.53) кср = 2,7. Ко­ эффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров р/п = 2,7/3 = = 0,9. Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин) = = 81 (1/час), то есть 81 покупатель в час.

Кроме рассмотренных выше СМО с ожиданием, в которых очередь не огра­ ничена, на практике встречаются СМО с ограниченной очередью, отличаю­ щиеся от описанных выше лишь тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т) . Если новая заявка поступает в момент, когда все каналы заняты, она покидает СМО необслуженной, то есть получает отказ.

Встречаются также СМО с ограниченным временем ожидания. Это сис­ темы с так называемыми "нетерпеливыми" заявками. Такие заявки могут уйти из очереди, если время ожидания превышает некоторую величину. В частности, такого рода заявки возникают в различных технологических системах, в систе­ мах оперативного управления, когда срочные сообщения теряют ценность, если они не поступают на обслуживание в течение определенного времени.