Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

критерия эффективности является задачей первостепенной важности. Незнание или недостаточно точное знание критерия эффективности есть прямое следст­ вие недостаточно четкого понимания цели операции или недостаточной изучен­ ности процесса ее протекания. Это незнание может лишить какого-либо смысла само проведение операции.

3.4.4.СВЕРТЫВАНИЕ КРИТЕРИЕВ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ

ЗАДАЧАХ

Реально редко удается представить единственный критерий операции. Та­ кая ситуация, как правило, отражает нечеткое понимание исследователем своих целей при постановке задачи. Следствием таких неопределенных ситуаций час­ то являются модели операции, в которых нет единого критерия эффективности. Вместо этого появляется вектор-функция параметров, состоящая обычно из всех или части фазовых координат. Очевидно, что каждую составляющую век­ тора W(x,y) следует увеличивать (или уменьшать), но остается неясным, какие именно комбинации значений составляющих вектора следует предпочитать дру­ гим, когда нет возможности (а чаще всего это именно так) увеличивать или уменьшать их одновременно.

В реальных задачах проектирования, как правило, преследуется не одна, а несколько целей, и поэтому практически всегда возникает задача объединения операций. Так, например, проектировщик желает, чтобы его бизнес-проект (например, проектируемое предприятие) обеспечивал максимальную прибыль, имел минимальные капиталовложения, максимальную технологичность, мини­ мальные энергетические затраты и т.п. Зачастую эти частные критерии противо­ речивы, и изменение управляющих переменных, приводящее к желательному увеличению одного из критериев, приводит к нежелательному увеличению (или уменьшению) другого частного критерия. Ставится задача, как же составить единый критерий? Рассмотрим ряд способов объединения (свертывания) крите­ риев, т.е. функций Wc = F(Wj), которые наиболее часто фигурируют в практике исследования операций.

1.Суммирование или «экономический» способ соединения, когда це­

лью объединенной операции является максимизация суммарного крите­ рия типа

Wc = SXJWJ = h\Ni+ X,2W2+ X3W3+ ... + X,SWS -> max

Коэффициенты Xt называются весовыми коэффициентами или просто «весами» критериев. Величина этого коэффициента соответствует важности то­ го или иного критерия: чем важнее увеличение данного частного критерия, тем больше должна быть величина весового коэффициента. Положительный знак весового коэффициента соответствует критериям, которые следует увеличивать, а для частных критериев, которые минимизируются, могут быть приняты отрица­ тельные значения весовых коэффициентов.

При таком способе объединения критериев всегда остается проблемой вы­ бор величин весовых коэффициентов. Здесь зачастую нет достаточно обосно­ ванных решений, и поэтому, хотя именно этот способ применяется чаще всего, следует серьезно подходить к проблеме назначения этих коэффициентов.

Частным случаем приведенной свертки критериев является критерий в виде дроби, в числителе которой стоят те величины, увеличение которых желатель­ но, а в знаменателе - те, увеличение которых нежелательно. Например, в чис­ лителе - критерий, соответствующий комфортности спроектированного жилья, а в знаменателе - стоимость здания. Главным пороком таких «составных» крите­ риев является то, что здесь в принципе недостаток в одном критерии может быть скомпенсирован за счет другого; скажем, недостаточная комфортность жи­ лья за счет стоимости здания. Критерии подобного типа, как указывает Е.Вентцель, напоминает в шутку предложенный Л.Н.Толстым «критерий для оценки человека», в виде дроби. В числителе дроби стоят действительные дос­ тоинства человека, а в знаменателе - его мнение о себе. Несостоятельность та­ кого критерия очевидна, так как по нему человек, почти не имеющий достоинств, но совсем не обладающий самомнением, будет иметь бесконечно большую ценность.

Почему критерий в виде дроби - это частный случай «экономического» свертывания критериев? Представим объединенный критерий в виде дроби, где различные частные критерии возведены в некоторые выбранные степени, соот­ ветствующие «важности» критериев:

Wc = ( W / 1 * W2X2 * ...)/(\Л/,^ * W i + / i + 1 * ...)

Теперь прологарифмируем дробь

IgWc = A., W-, + Я.2W2 + .... + A.|W| + Xi*, Wi+1 = И\,Ч\1,

Как видим, получили критерий в виде суммы.

Однако указанный недостаток такой свертки критериев не означает, что этим способом нельзя пользоваться. Такого рода критерии могут быть с успехом использованы, если на частные критерии накладываются соответствующие ог­ раничения, не позволяющие какому-то отдельному частному критерию стать меньше (или больше) предельно допустимого значения.

2.Способ перехода к цели первого типа путем разбиения векторов на удовлетворительные и неудовлетворительные.

Удовлетворительными объявляются только векторы {Wj}, для которых

При этом критерий объединенной операции имеет, естественно, вид

Этот вариант объединения может применяться даже при s = 1 и означает тогда замену цели - увеличение критерия на цель - достижение неравенства W > W0. Обычно затруднительно дать убедительные доводы в пользу того или иного вектора W0 , и поэтому при применении такого способа объединения особенно подчеркивается необходимость использования принципа свободы выбора кри­ терия заказчиком (оперирующей стороной).

3.Метод последовательных уступок

Предположим, что критерии расположены в порядке убывающей важности: сначала основной (главный) критерий W, затем другие, второстепенные - К1, К2, КЗ Для простоты будем считать, что каждый из них максимизируется (заметим, что, если требуется минимизировать критерий, достаточно изменить его знак).

Процедура нахождения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала ищем решение, обращающее в максимум показатель эффективности W. Затем назначается, более или менее произвольно, «уступка» Л\Л/ в этом по­ казателе, которую мы согласны допустить, чтобы обратить в максимум следую­ щий критерий (например, мы согласны на теплотрассе вместо 10% потерь иметь 12%, если этой ценой можно обратить в максимум число жилых зданий, обслу­ живаемых этой теплотрассой). Далее налагаем на показатель эффективности условие, чтобы он был не меньше

Wmax-AW , и при этом ограничении находим решение, обращающее в максимум критерий К1. Снова назначаем «уступку» АК1 в критерии К1, за счет чего обра­

удобен тем, что мы всегда видим, ценой какой уступки в одном критерии приоб­ ретаем выигрыш в другом.

Отметим, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незна­ чительных уступок, может оказаться существенной, так как в районе максимума обычно эффективность решения меняется очень слабо.

Вопрос о методах свертывания критериев тесно соприкасается и даже яв­ ляется частью более общей постановки вопроса о методах объединения опера­ ций или, что то же самое, вопроса о методах разбиения операции на более мел­ кие.

При формировании единого критерия объединенной операции можно пред­ ставить себе две различные ситуации.

1. Суммарный критерий объединенной операции имеет вид Wc = F(Wi, W2, ..., W8),

где Wj - значения критерия для j-ro составляющей операции, т.е. критерий сум­ марной операции есть функция только критериев частных операций.

2. Суммарный критерий может быть представлен только как функция фазовых координат новой операции, но не сводится к функции частных критериев. В этом случае операция не имеет ничего общего по своей цели с частными критериями и, значит, является новой операцией, только базирую­ щейся на активных средствах прежних частных операций.

Чтобы понять эти две различные ситуации, представим, что при проектиро­ вании какого-либо микрорайона решаются ряд задач:

прокладка транспортных маршрутов, где в качестве критерия выбрано мини­ мальное время нахождения пассажиров в пути; проектирование сетей теплоснабжения, где критерием является минимум теп­ ловых потерь на трассе;

проектирование жилой застройки, где в качестве критерия выбран максимум числа поселяемых жителей; проектирование торговых центров, где критерием выбран максимум пропускной способности магазинов и т.д.

Можно представить себе объединенную операцию - проектирование микро­ района в целом с единым критерием - минимальные суммарные затраты на строительство. При этом единый критерий представляет собой некоторую функ­ цию перечисленных критериев задач, так как очевидно от них зависит.

В качестве фазовых координат задачи, или, иначе говоря, ее параметров, могут выступать застраиваемая площадь, объемы расходуемых строительных материалов, типы и количество используемой строительной техники, расход то­ плива, электроэнергии и т.п.

Если же на этой же территории решено строить стартовую площадку косми­ ческих кораблей, где в качестве единого критерия также выбрана минимальная стоимость строительства, то этот критерий никак не связан с частными крите­ риями, рассмотренными ранее, так как новая операция не имеет ничего общего по своим целям с предыдущей, хотя также использует в качестве фазовых ко­ ординат площадь застройки, объемы строительных материалов, строительную технику и т.п.

Естественно поэтому, что под объединением операций и получением ком­ плексного, единого критерия следует понимать только первый случай.

3.5.УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Основной формой деятельности любого предприятия является произ­ водство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов: труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рацио­ нального распределения. Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продук-

ции каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовле­ творение определенной цели администрации. Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения. Перемен­ ные решения - это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.

3.5.1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ

ПРОИЗВОДСТВОМ

Вобщем случае цель администрации состоит в определении наиболее эффективного метода такого распределения ресурсов по соответствующим пе­ ременным, которое оптимизирует некоторый результат функционирования сис­ темы.

Таким образом, постановка задачи управления высшего уровня (первого ли­ ца предприятия) может быть сформулирована так: при сложившейся номенкла­ туре выпускаемой продукции определить оптимальные объемы выпуска каждого вида продукции за определенный период, обеспечивающие при ограниченных ресурсах максимальную суммарную прибыль предприятия.

Такая задача эффективно решается с использованием математического моделирования в среде информационных технологий.

Вобщем виде такая задача математически формулируется следующим об­

разом

Здесь:

F(x) - целевая функция, выражающая главную цель данной задачи - максими­ зировать прибыль. Таким образом, F(x) представляет собой математическое выражение, описывающее прибыль через управляющие переменные х. Переменные же х = (х1: х2, . . . хп) - это искомые объемы выпуска соответст­ вующего вида продукции;

bj = (b-|, Ьг, . . . ,bm) -величины соответствующих ресурсов предприятия;

9j(x) = (gi(x) , дг(х) , . . . , Э т М ) - текущие суммарные расходы ресурсов предприятия при фиксированных объемах выпуска каждого вида продукции. Эти расходы не должны превышать величин соответствующих ресурсов, которыми располагает предприятие.

При известных расчетных величинах прибыли на единицу объема выпуска каждого вида продукции целевая функция F(x), отражающая величину суммар­ ной прибыли предприятия по всем видам продукции в зависимости от объемов

146 Часть 1. Новые принципы работы

где с-1 , с2, с3 , . . ., сп - удельные (рассчитанные на единицу объема выпуска) величины прибыли по каждому виду продукции;

п - количество видов выпускаемой продукции (номенклатура).

Система ограничений по ресурсам может быть записана следующим обра­

расходы соответствующих ресурсов на единицу объема выпуска каждого вида продукции. Система ограничений (3.12) должна быть дополнена требованиями неотрицательности всех х, так как объемы выпуска по смыслу задачи не могут выражаться отрицательными числами

Таким образом, математическая модель оптимизации объемов выпуска

Математическая модель (3.13) предполагает неограниченные потребности рынка на все виды продукции (не ограничены объемы выпуска сверху) и отсутст­ вие обязательных поставок (не ограничены объемы выпуска снизу). Если же за­ просы рынка (возможность сбыта) по каким-либо (или по каждому) видам про­ дукции ограничены, а также имеются ограничения снизу в виде обязательных объемов выпуска по заключенным договорам или в связи с внутренними по­ требностями (данная продукция как сырье или материалы используется в собст­ венном производстве), то математическая модель должна быть дополнена со­ ответствующей группой ограничений по минимальным и максимальным объе­ мам поставок по каждому виду продукции. Такие ограничения имеют вид

издержек (затрат производства) при сохранении установленного суммарного уровня прибыли (или выручки) A min.

В этом случае целевая функция математической модели управления имеет вид, по структуре аналогичный формуле (3.11), с той однако разницей, что в этом случае целевая функция представляет собой суммарные издержки произ­

Здесь Сч , с2, с3 , . . ., сп _ удельные (рассчитанные на единицу объема выпуска) величины затрат по каждому виду продукции (то есть величины затрат на еди­ ницу подвижного состава соответствующего маршрута).

В формуле (3.16) a-i , а2, а3 , . . ., ап - удельные (рассчитанные на единицу объ­ ема выпуска) величины прибыли по каждому виду продукции, а левая часть не­ равенства представляет собой суммарную прибыль за заданный промежуток времени при объемах выпуска продукции х = (xi, х2, . . . хп) за этот промежуток времени.

Ограничения по минимальным и максимальным объемам поставок продук­ ции, как и ранее, имеют вид (3.14)

Таким образом, в такой постановке математическая модель верхнего иерархи­ ческого уровня управления имеет вид

" i m i n — Xj < Vjmax

Информационное обеспечение математической модели управления

В качестве исходной информации для решения задачи управления по опти­ мизации объемов выпуска продукции требуется, прежде всего, матрица расхо­ дов ресурсов по каждому виду продукции, то есть коэффициенты ajj системы ог­ раничений (3.12) (здесь j - номер ресурса, i - номер соответствующего вида вы­ пускаемой продукции).

При решении задачи для получения матрицы расходов ресурсов необходи­ мо тщательно проанализировать наличные ресурсы предприятия и определить их расходы на единицу объема выпуска каждого вида продукции.

В качестве вспомогательного материала для анализа ресурсов может быть ис­ пользована приведенная ниже таблица общего представления ресурсов;

Геотермальные

источники Ветер и т.п.

После анализа наличных ресурсов предприятия и расчета удельных расхо­ дов ресурсов по каждому виду продукции составляется соответствующая матри­ ца коэффициентов, в общем виде представленная в виде приведенной ниже таблицы.

Кроме того, для информационного обеспечения указанной математической модели требуется привести данные по предельным значениям ресурсов, кото­ рыми располагает предприятие за определенный (выбранный) промежуток вре­ мени. Эти значения используются как граничные в системе ограничений матема­ тической модели.

Если на основе маркетинговых исследований имеется прогноз требований рынка на период, для которого решается задача оптимизации, то эти данные ис­ пользуются для дополнения системы ограничений, как это было показано выше. Точно так же в качестве входной информации необходимы данные для каждого вида продукции по требуемым величинам объемов поставок в соответствии с заключенными договорами на соответствующий период. Эти данные использу­ ются для записи ограничений снизу на объемы выпуска. Здесь же могут быть уч­ тены данные по потребностям в соответствующей продукции для внутренних нужд предприятия (для продукции, производимой из собственного сырья).

Решение такой задачи позволяет руководителю определить оптимальные объемы выпуска, выявить те виды продукции, выпускать которые в этих услови­ ях нецелесообразно, а, возможно, и сделать вывод об изменении номенклатуры. Приведенная модель позволяет выбрать наиболее подходящую альтернативу заменяемым компонентам номенклатуры.

3.5.2.ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Тео­ рия двойственности весьма полезна при проведении качественных исследова­ ний задач линейного программирования, когда необходимо не только найти оп­ тимальное решение задачи, но и оценить влияние на оптимальное решение из­ менений в параметрах, представляющих собой исходную информацию задачи.