Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

В р-картах долю бракованных изделий в выборке размера п принято обо­ значать через р. Эта величина определяется соотношением

р = г/п,

где г - число бракованных изделий в выборке; п - число изделий в выборке. Число бракованных изделий г в выборке размером в п изделий, полученной случайным образом из достаточно большой генеральной совокупности, имеет биномиальное распределение, если вероятность р того, что изделие окажется бракованным, является константой. При этом вероятность того, что в выборке размера п окажется г дефектных изделий, как было показано ранее, определя­ ется зависимостью

Так как р = r/n, p также имеет биномиальное распределение.

Стандартная ошибка распределения р равна (стандартное отклонение доли ус­ пехов)

Поскольку расчет параметров биномиального распределения достаточно трудоемок, для упрощения расчетов его часто аппроксимируют либо распреде­ лением Пуассона, либо нормальным распределением. При этом обычно руково­ дствуются такими правилами:

В процессе аппроксимации используется распределение Пуассона, если п>30, р < 0,1 и пр < 5. Нормальное распределение используют как аппроксими­ рующее, если п>30, 0,1 < р < 0,9, пр > 5 и nq > 5.

При использовании любого из указанных распределений в процессе аппрок­ симации построение контрольной карты типа р аналогично построению описан­ ной ранее контрольной карты среднего. При аппроксимации нормальным рас­ пределением процедура значительно упрощается и выглядит так:

Центральная линия: она строится на уровне доли бракованных изделий в условиях контролируемого технологического процесса р, оцененной по выбо­ рочным значениям в течение достаточно длительного промежутка времени.

Предупреждающие границы: р ± 2(pq/n)0,5 - в условиях контролируемого тех­ нологического процесса значение р окажется за пределами этих границ в од­ ном случае из 40.

Границы регулирования: р ± 3(pq/n)0'5 - в условиях контролируемого техноло-

гического процесса значение р окажется за пределами этих границ в одном

случае из 1000.

Построенную по этому алгоритму контрольную карту можно интерпретиро­ вать точно так же, как и контрольную карту среднего. Если для аппроксимации использовалось нормальное распределение, значения нижней предупреждаю­ щей границы и нижней границы регулирования могут оказаться отрицательными. Поскольку в данном случае отрицательные значения недопустимы, можно в этом случае либо не принимать во внимание нижние границы карты, либо про­ вести аппроксимацию заново с использованием распределения Пуассона.

Пример. Компания производит кофейные чашки. В течение времени, когда было точно известно, что технологический процесс находится под контролем, было проведено 25 выборок по 100 единиц в каждой. Оборудование было налажено соответствующим образом, использовалось сырье допустимого качества, на­ блюдение за ходом процесса осуществлял опытный оператор. Был проведен контроль качества изделий в каждой выборке. В таблице приведены данные об обнаруженных бракованных изделиях.

Нужно построить контрольную карту качественного признака.

Общее число бракованных изделий в 25 выборках равно 123, следователь­ но, оценка доли бракованных изделий в генеральной совокупности составит:

р =123/(25x100) = 0,049

Хотя значение р достаточно мало, и пр=4,9, то есть меньше 5, прибегнем

к аппроксимации нормальным распределением и определим положение границ на контрольной карте.

Центральная линия: 0,049.

Предупреждающие границы: 0,049 ± 2[0,049х(1-0,049)/100]0,5 = 0,049 + 0,043, то есть 0,006 и 0,092.

Границы регулирования: 0,049 ± 3[0,049х(1-0,049)/100]0,5 = 0,049 ± 0,065, то есть-0,016 и 0,114.

Нижняя граница регулирования отрицательная, поэтому ее либо не наносят на карту, либо полагают равной нулю.

Следует отметить, что подробное описание контрольных карт, по сути, представляет собой изложение методики контроля качества в любом производ­ стве. Что касается собственно контрольных карт, то в условиях современных развитых информационных технологий, разумеется, нецелесообразно использо­ вать ручную технологию заполнения таких или им подобных карт. Изложенные же принципы контроля качества достаточно легко реализуются на базе компью­ терных технологий в рамках единой информационной системы управления каче­ ством. Современные средства автоматизации позволяют организовать такую систему с автоматизированным режимом проведения необходимых выборок и, тем более, соответствующих расчетов и оценки результатов технологического контроля с визуализацией и даже звуковым сопровождением (мультимедийный режим) вплоть до оснащения этими средствами не только рабочего места лица, принимающего решение, но и оператора технологического процесса.

4.4.2.СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПРИЕМОЧНЫЙ КОНТРОЛЬ КАЧЕСТВА

Помимо контроля технологических процессов внутри компании, система управления качеством предполагает проверку качества продукции, закупаемой у внешних поставщиков, чтобы определить, удовлетворяет ли она стандартам, оговоренным в соглашении. Это является важным моментом, так как закупаемая у поставщиков продукция (сырье, комплектующие) может в значительной мере определять уровень качества выпускаемых компанией изделий. Аналогичным образом клиенты компании могут потребовать, чтобы перед отправкой им про­ дукции была произведена ее проверка. Такие проверки качества входящих и ис­ ходящих потоков продукции и составляют две области применения выборки при приемочном контроле качества. Эта процедура представляет собой итоговую проверку и замыкает в единую систему все мероприятия по контролю качества, которые имели место в ходе технологического процесса.

Когда на одном из этих этапов осуществляется проверка продукции, нужно сформулировать правила', которыми следует руководствоваться в случае обна­ ружения бракованных изделий. Количество бракованных изделий в выборке по­ зволяет сделать вывод о доле брака в партии продукции в целом. Таким обра­ зом, соответствующие правила касаются решений, которые следует принять по поводу партии продукции, если в выборке обнаружено определенное число бра­ кованных изделий. Возможна, например, следующая схема одноэтапной вы­

борки.

1.Производится случайная выборка из партии продукции объемом в 15 единиц, затем проверяется каждое изделие в выборке.

2. Если в выборке не было ни одного или обнаружено одно бракованное изделие, предполагается, что все изделия в партии имеют приемлемый уровень качества. Партия продукции принимается.

234 Часть 1. Новые принципы работы

З.Если в выборке было обнаружено два или более бракованных изделий, пред­ полагается, что качество всей партии продукции ниже допустимого уровня. Пар­ тия продукции отклоняется.

При необходимости можно использовать схему, предполагающую двухэтапную выборку. Например:

1. Производится случайная выборка из партии продукции объемом в 15 единиц, затем проверяется каждое изделие в выборке.

2.Если в выборке не было ни одного бракованного изделия, предполагается, что все изделия имеют приемлемый уровень качества, и партия продукции прини­ мается.

З.Если в выборке было обнаружено одно или два бракованных изделия, произ­ водится вторая выборка объемом в 20 единиц, затем проверяется каждое изде­ лие в этой выборке:

а) если во второй выборке обнаружено не более одного бракованного изде­ лия, осуществляется приемка партии продукции;

б) если во второй выборке обнаружено более одного бракованного изделия, то отказываются от приемки всей партии продукции.

4. Если в первой выборке обнаружено три или более бракованных изделий, предполагается, что качество всей продукции ниже допустимого уровня, и при­ нимается решение об отказе от приемки партии продукции.

Этот вид схемы выборочного приемочного контроля качества основан на биномиальном распределении вероятностей. При этом большинство расчетов сложны, однако среди функций программы Microsoft Excel имеется функция биномиального распределения, позволяющая при заданных параметрах выбор­ ки (интересующее нас число успешных испытаний, объем выборки п, вероят­ ность р успеха, логическое выражение, соответствующее поставленной задаче) определить вероятность наличия в партии определенного числа бракованных изделий.

При осуществлении входного контроля поставляемой партии продукции от внешнего поставщика случайным образом производится выборка, и попавшие в нее изделия подвергаются проверке. Система проверки характеризуется тремя параметрами - удельным весом бракованных изделий р, объемом выборки п и максимально допустимым числом бракованных изделий в выборке с. Схема вы­ борки определяется параметрами п и с. Если, например; п =12, а с = 1 -это оз­ начает, что из партии продукции производится выборка 12 изделий, а приемка партии имеет место, если в выборке не было ни одного или было обнаружено одно бракованное изделие. Если же число бракованных изделий равно двум или более, то от партии продукции отказываются.

Совершенно необязательно, чтобы объем выборки представлял собой оп­ ределенный процент от размера всей партии продукции, однако важнейшим ус­ ловием является принцип случайности выборки, что обеспечивает репрезента­ тивность партии продукции.

Выбор численных значений п и с зависит от доли бракованных изделий в партии продукции, которую допускает клиент. Например, заказчик намерен осу­ ществлять приемку любой партии продукции, число бракованных изделий в ко-

изводитель и потребитель должны заключить соглашение по следующим вопро­ сам:

1.Допустимый уровень качества.

2.Риск производителя а, то есть вероятность того, что применение данной схе­ мы ошибочно приведет к отказу от приемки партии продукции, в которой удель­ ный вес бракованных изделий равен AQL - партии, которую потребитель мог бы принять.

3.Допустимый процент бракованных изделий в партии.

4.Риск потребителя р, то есть вероятность того, что применение данной схемы ошибочно приведет к приемке партии продукции, удельный вес брака в которой равен LTPD - партии, от приемки которой потребитель бы отказался.

Для любых заданных значений объема выборки п и максимально допусти­ мого числа бракованных изделий в выборке с можно построить кривую опера­ тивной характеристики, используя биномиальное распределение. Для любых заданных значений AQL и LTPD можно найти соответствующие вероятности а и р. Гораздо сложнее построить кривую, если значения а и р заданы априорно.

Пример. Получим данные для построения кривой оперативной характеристики и произведем оценку двух следующих схем выборочного контроля:

Схема А: Объем выборки п = 8, с = 1, то есть осуществляется приемка пар­ тий продукции, если число бракованных изделий в выборке не больше одного включительно.

Схема В: Объем выборки п = 16, с = 2, то есть осуществляется приемка партий продукции, если число бракованных изделий в выборке не больше двух включительно.

Оценим, какая из схем будет предпочтительнее, если производитель и по­ требитель приходят к соглашению о том, что AQL равен 5%, производитель со-

гласен на риск 0,05 и если LTPD составляет 25%, а риск, к которому готов по­ требитель, -также 0,005.

Рассмотрим значения доли бракованных изделий в партии р от 0,05 до 0,40, двигаясь с шагом 0,05, и определим, с использованием функций программы Mi­ crosoft Excel по расчету биномиального распределения, вероятности приемки партии продукции с заданной долей бракованных изделий р при применении схемы А (п = 8, с = 1). Данные, полученные в результате расчетов, представле­ ны в виде таблицы Microsoft Excel.

Приведенная таблица содержит данные для построения кривой оператив­ ной характеристики по схеме выборочного контроля А. По оси абсцисс графика следует отложить координаты первого столбца таблицы (р), а по оси ординат - данные последнего столбца таблицы - Р(г<1), то есть вероятность приемки пар­ тии при заданном р.

Аналогично, для схемы В (п = 16, с = 2) путем,.расчетов в Microsoft Excel

Данные этой таблицы могут быть использованы для построения кривой опе­ ративной характеристики для выборочного контроля по схеме В. При этом по оси ординат откладываются данные последнего столбца таблицы - Р(г<2), то есть вероятность приемки партии продукции с использованием схемы В.

Из данных таблиц следует, что вероятность отказа от удовлетворительной партии продукции для AQL = 0,05 (риск производителя) составляет:

Схема А:

Р(ошибочного отказа от приемки пригодной партии продукции) = 1 - 0,943 = 0,057

Схема В:

Р(ошибочного отказа от приемки пригодной партии продукции) = 1 — 0,957 = 0,043

Тогда в обеих схемах риск производителя составляет приблизительно 0,05.

Для LTPD = 0,25 (достаточно высокое значение) вероятность приемки пар­ тии продукции по данным приведенных выше таблиц составит:

Схема А:

Р(ошибочной приемки непригодной партии продукции) = 0,367

Схема В:

Р(ошибочной приемки непригодной партии продукции) = 0,197

Вобеих схемах риск потребителя очень велик и значительно превышает ожидаемый потребителем уровень 0,05. Обе схемы поэтому неприемлемы для потребителя, мнение которого в процессе выработки соглашения является бо­ лее весомым. Должна быть разработана другая схема выборочных испытаний. Читателю предоставляется возможность самостоятельно показать, что прием­ лемой является комбинация п = 28 и с = 3.

4.5.КОМПРОМИССНЫЕ РЕШЕНИЯ

ИОЦЕНКА РИСКА

Впроцессе принятия решения после определения цели лицо, принимающее решение, должно располагать информацией о возможных вариантах решения проблемы и возможных исходах каждого решения. При принятии решения на основе количественных оценок эти этапы важны как в очень сложных случаях, так и в очень простых. Но в любом случае выбор "лучшего варианта" зависит от обстоятельств и точки зрения лица, принимающего решения. То есть обычно в условиях неопределенности решение является результатом применения как ко­ личественного, так и субъективного подходов. Но и субъективный подход дол­ жен основываться не на спонтанных решениях руководителя, а строиться на оп­ ределенных правилах, позволяющих осмысленно пользоваться и субъективны­ ми оценками в зависимости от целей, которые преследует принимаемое реше­ ние, и от отношения к риску того, кто принимает решение. Чтобы яснее предста­ вить себе такие ситуации, рассмотрим пример.

Пример. Отдел маркетинга компании "Вист" предоставил своему руководству данные об ожидаемом объеме сбыта программных продуктов при трех вариан­ тах цены

Постоянные затраты составляют 40000 долларов в год, переменные - 4,00 доллара на единицу.

Необходимо принять решение, заключающее в назначении оптимальной цены. Заметим, что имеется лишь три варианта цены, то есть только три воз­ можных решения. Чтобы облегчить расчеты, для каждого из вариантов по три исхода - различные объемы продаж. На практике таких вариантов реально мо­ жет быть значительно больше.

Для каждого исхода рассчитаем доход. В данном случае доход - это годо­

Для того чтобы объяснить, какие трудности возникают в результате неопре­ деленности, будем использовать данные из этой таблицы. Можно представить убедительные аргументы, которые приведут нас к одному из трех возможных решений. Наибольшая прибыль для наиболее вероятного объема продаж со­ ставляет 57600 долл. Эта цифра будет получена, если назначить цену в 8,80 долл. Однако цена 8,60 долл. предпочтительнее для компании, так как наибо­ лее вероятная прибыль составляет примерно ту же величину, в то время как прибыль двух остальных исходов выше, чем для цены 8,80 долл. Однако, если мы примем во внимание постоянные расходы, то цена 8,00 долл. - единствен­ ная, при которой "Вист" не терпит убытков, так как низкая прибыль здесь не меньше, чем постоянные расходы - 40000 долл.

Таким образом, для любого из трех решений существуют свои аргументы, и то, какое будет принято решение, зависит, в частности, от отношения к риску ли­ ца, принимающего решение. Осторожный менеджер предпочтет цену 8,00 долл. двум другим: возможные прибыли меньше, но и потери сведены к минимуму.

Как выбрать оптимальную стратегию при этом? Одним из определяющих факторов в таких задачах является внешняя среда или природа, которая может находиться в одном из состояний Si, S2 Sk которые неизвестны лицу, при­ нимающему решению (наблюдателю). Итак, математическую модель задачи в условиях неопределенности можно сформулировать следующим образом.

Имеется некоторая матрица L размерностью mxn

Каждый элемент матрицы fy можно рассматривать как полезность результа­ та Oj при использовании стратегии х,.

В зависимости от состояния среды результат Oj достигается с вероятностью

p(Oj/Xi, Sk ).

Рассмотрим в связи с этим возможные правила принятия решений в каждом конкретном случае.

Принимающий решение сам выбирает, каким правилом ему воспользоваться, потому что для каждого случая применимо какое-то определенное правило. Эти правила делятся на две группы:

•правила принятия решений без использования численных значений ве­ роятностей исходов;

•правила принятия решений с использованием численных значений веро­ ятностей исходов.

4.5.1.ПРАВИЛА ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ

ЧИСЛЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ИСХОДОВ

Рассмотрим частный случай предложенной выше модели задачи в условиях неопределенности. Предположим, что каждому возможному состоянию среды соответствует один возможный исход

p(Oj/Sk) = 5jk,

где 8jk = 1, если j = k и 8jk = 0, если j Ф k.