Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

ния f(x) = 0.

Рассмотрим наиболее эффективные из итерационных методов решения не­ линейных уравнений.

Метод половинного деления

Часто этот метод называют методом дихотомии.

Пусть дано уравнение f(x) = 0. Функция f(x) непрерывна на отрезке (а, Ь), и f(a)* f(b) < 0, то есть на концах интервала функция имеет разные знаки, что сви­ детельствует о наличии в пределах интервала, по крайней мере, одного корня уравнения.

Алгоритм метода дихотомии

1. Делим отрезок (а, Ь) пополам и определяем Х т = (а+Ь)/2. Если f(xm) = 0, то Х т = (а+Ь)/2 - корень уравнения, и решение завершено. Если это не так, пе­ реходим к пункту 2 алгоритма.

2. Выбираем тот из отрезков (а, х т ) или (х т Ь,), на концах которого функция f(x) имеет разные знаки.

3.Новый уменьшенный интервал (a-i,bi) вновь делим пополам xm = (ai+bi)/2

ивыбираем ту половину, на концах которой функция f(x) имеет противополож­ ные знаки.

4.При заданной точности вычислений 8 деление пополам продолжаем до тех пор, пока на k-том шаге итераций длина полученного отрезка не станет меньше 2е, то есть

(bk - ak) < 2s.

В этом случае середина последнего k-того отрезка дает значение корня с тре­ буемой точностью

х* = (ak + bk)/2

Этот метод является достаточно простым и требует вычисления лишь зна­ чений функции f(x).

Рассмотрим пример:

Решить уравнение f(x) = 0; f(x) = х4 + 2х3 - х - 1 с точностью е = 0,001. Пусть мы отделили корень на отрезке (0, 1). Далее, в соответствии с приведен­ ным алгоритмом, производим итерации, уменьшающие длину интервала. Эти вычисления удобно производить, используя программный комплекс Microsoft Excel. Результаты выполненных таким образом вычислений для десяти итера­ ций представлены ниже в виде таблицы Microsoft Excel.

Можно видеть, что на десятой итерации длина отрезка (b-а) меньше удво­ енной заданной точности. При этом решением с заданной точностью является середина полученного отрезка, то есть х* = 0,8667 (это значение отмечено в таблице закрашенной клеткой).

Метод Ньютона

Этот метод называют также методом касательных. Суть его состоит в следующем. Пусть требуется решить уравнение f(x) = 0.. Функция имеет на кон­ цах интервала разные знаки, таким образом, на отрезке (а, Ь) имеется хотя бы один корень уравнения. Пусть график функции f(x) на отрезке (а, Ь) имеет вид, представленный на рис. 5.3.

Замечание. Использование метода Ньютона предполагает выполнение следующих требований к функции f(x) и ее производным: на отрезке (а,Ь) функ­ ция непрерывна, а ее первая и вторая производные непрерывны и имеют на (а,Ь) постоянные знаки.

определяет второе приближение Хг. По­ вторение этой процедуры позволяет получить последовательность значений х3, х4, и т.д., сходящихся к значению корня уравнения х* .

Математически описанную процедуру можно представить следующим обра­ зом. Уравнение касательной к кривой у = f(x) можно записать так

y = f ( x k ) x

Тогда для любого k-того приближения можно записать

y - f ( x k ) = f ( x k ) ( x - x k ) ,

а для первого приближения (касательная в точке Ь) получим

y - f ( b ) = f ( b ) ( x - b )

Точку пересечения этой касательной с осью х - точку Xi - можно получить, по­ ложив у = 0. При этом первое приближение получим в виде

X, = b - f (b)/f (b)

Тогда на очередном шаге итерации любое следующее (к+1)-е приближение можно через предыдущее к-е приближение получить в виде

Хк+1 = Хк - f (Xk)/f '(Хк)

Полученная зависимость позволяет построить алгоритм метода Ньютона. При этом важным является вопрос о сходимости вычислительной процедуры. Так, если провести касательную не из точки х = Ь, а из точки х = а (рис.5.3 - пунктирная линия), то легко увидеть, что касательная в этом случае пересечется с осью х за пределами рассматриваемого интервала, и, таким образом, процесс

поиска будет расходящимся. Для обеспечения сходимости вычислительной

процедуры метода Ньютона в качестве исходной точки поиска необходи­ мо выбирать тот конец интервала (а,Ь), где функция f(x) имеет тот же знак, что и ее вторая производная f "(*)•

Алгоритм метода Ньютона

Пусть известен отрезок (а,Ь), отделяющий корень уравнения f(x) = 0, и за­ дано число Б > 0 -точность вычислений. Пусть также f'(х) и f "(х) непрерывны и имеют постоянные знаки на (а,Ь).

1.Определяем знак f "(x).

2.В качестве начального приближения выбираем конец отрезка (а или Ь), где функция f(x) имеет тот же знак, что и f "(х).

3.Определяем первое приближение

вале положительна. Таким образом, в качестве начального приближения следу­ ет выбрать координату правого конца интервала (х = 1), где и функция f(x) > 0 (f(1) = 1, f(0) = -1). Далее следуем в соответствии с изложенным алгоритмом, ис­ пользуя для вычислений, как и ранее, Microsoft Excel. Результаты выполнен­ ных таким образом вычислений для четырех итераций представлены ниже.

точных ее значений. Такая задача часто может возникать при обработке данных, получаемых при изучении какой-либо проектной задачи, в частности, при анали­ зе маркетинговых исследований.

Интерполяцию применяют, главным образом, тогда, когда относительно функции известны только ее дискретные значения, а необходимо вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция).

Постановка задачи. На от­ резке (а,Ь) заданы п+1 точек х0, Xi, x2l. . ., х„, которые называются

узлами интерполяции, и значе­ ния некоторой не заданной анали­ тически функции f(x) в этих точках:

f(x0) = уо; f(xi) = y - i ; . . . ; f(xn) = у„- На рис.5.4 эта задача графически

показана для пяти точек (п=4). Требуется построить функцию

F(x), называемую интерполи­ рующей функцией, которая при­ надлежит к известному классу

функций и принимает в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), то есть F(xo) = Уо; F(x-i) = У1 ; • • •! F(xn) = yn- В такой постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать полином Рп(х) степени не выше п, удовлетворяющий усло­ виям совпадения значений Рп(х) и f(x) в узлах интерполяции, то есть Рп(хо) = уо; Pn(x-i) = yi ; . . .; Рп(х„) = уп- Доказано, что существует только один многочлен Рп(х) степени не выше п, удовлетворяющий всем перечисленным условиям. Этот многочлен называется интерполяционным многочленом. Рассмотрим некоторые, часто используемые интерполяционные многочлены.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция представлена в виде таблицы. Для удобства предположим,

Теперь запишем искомый многочлен в виде

Pn(x) = 2 L „ ( x , x i ) y i = L„(x, х0)Уо+ Ln(x, xi)yi +. . . + Ц(х, хп)уп

Полученное выражение и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.

Положим п = 1, то есть имеем два узла интерполяции: Хо и Xi (рис.5.5). Запишем для этого случая интерполяционный многочлен Лагранжа

Pi(x) = Ц(х, х0)уо+ Ц(х, Xi)yi =

Полученный многочлен является интерполяци­ онным многочленом Лагранжа первой степени.

Рассмотрим пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, имеющей в узлах х0 = 0, х^ = 1/6, х2 = 1/2 соответствующие значения Уо = 0, yi = 1/2, у2 = 1. Так как имеем три узла интерполяции, получим интерпо­ ляционный многочлен Лагранжа второй степени.

Р2(х) = L2(x, х0)уо+ Ц(х, х^у, + L2(x, x2)y2 =

Подставив в последнее выражение значения Хо = 0, хч = 1/6, х2 = 1/2, а так­ же уо = 0, yi = 1/2, у2 = 1 и произведя простейшие преобразования, получим ис­ комый интерполяционный многочлен Лагранжа Рг(х) = 3,5х - Зх2.

Достоинством интерполяционного многочлена Лагранжа является то, что он может быть вычислен для любых узлов интерполяции, в том числе и не равно­ отстоящих друг от друга. В то же время, его недостатком является необходи­ мость пересчета всех коэффициентов многочлена при добавлении хотя бы од­ ного нового узла интерполяции.

Интерполяционный многочлен Ньютона

Указанного выше недостатка лишен интерполяционный многочлен Ньютона, однако этот метод требует наличия равноотстоящих узлов интерполяции.

Пусть заданы узлы интерполяции с шагом h:

х0; Xi = хо + h; х0 = х2 + 2h; . . . ; xn = x0+ nh.

Рассмотрим многочлен степени п, записанный в виде

Pn(x) = q0+qi(x- xo) +q2(x- x0)(x- Xi) +...+ qk(x- x0)(x- х,)...(х- х м ) +

+...+ qn(x- х0)(х- Х!)...(х- xn-i)

Определим его коэффициенты q0, q-i,. . ., q„ так, чтобы в узлах интерполя­ ции совпадали значения Р„(х) и f(x). Для этого последовательно подставляем в

где A ^ ^ A y t - A y o , Ayi = y 2 - y i

11 A^v

= У ° + S - j ^ " ( x - x o ) ( x - x , ) - ( x - x k _ , ) -

Получение интерполяционных зависимостей важно в ситуациях, когда для определения значения функции приходится производить сложные вычисления, например, решение дифференциальных уравнений или даже систем диффе­ ренциальных уравнений. В таких случаях при построении операционных мате­ матических моделей возникают проблемы, связанные с тем, что на каждом шаге итерации оптимизационного процесса необходимо решать такие системы диф­ ференциальных уравнений. Это усложняет итерационный процесс и в ряде слу­ чаев может приводить к непреодолимым трудностям. Преодоление этих трудно­ стей возможно при построении вторичных моделей (алгоритмов), которые представляют собой "замещающие" функции, надежно описывающие поведение искомой функции на исследуемом интервале по набору ее вычисленных значе­ ний. Эту задачу и могут решить интерполяционные многочлены, в частности, представленные выше.

Вместе с тем, применение описанных интерполяционных многочленов при наличии большого числа узловых точек приводит к высокой степени получаемых многочленов, что не всегда удобно при использовании их в качестве вторичных моделей. Кроме того, интерполяция на больших отрезках, то есть с относитель­ но большим количеством узловых точек, имеет дополнительные трудности. С одной стороны, при больших расстояниях между узловыми точками точность очень мала, а с другой стороны, интерполяционные многочлены высокого по­ рядка на концах отрезка значительно колеблются (осциллируют), что сущест­ венно искажает поведение функции.

В таких случаях эффективным может оказаться следующий приближенный метод построения интерполяционных функций (вторичных моделей). Рас­ сматриваемый метод - оригинальная разработка автора этой книги - позволяет провести интерполяцию с любой наперед заданной точностью. Изложим сущ­ ность и алгоритм метода.

Пусть на некотором отрезке неизвестная функция представлена таблично.