Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

Общие подходы при рассмотрении указанных систем такие же, как и при анализе описанных выше СМО. С конкретными формулами для расчета показа­ телей эффективности СМО с ограниченной очередью и СМО с ограниченным временем ожидания читатель может ознакомиться в специальной литературе по теории массового обслуживания.

4.8.ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ

Все, кто терпеливо и настойчиво стремились овладеть изложенным в на­ стоящей главе и в главе 3 материалом, познакомились с большим количеством самых разнообразных оптимизационных моделей и методов их анализа. Эти модели ориентированы на то, чтобы анализ организационно-управленческих си­ туаций отличался более высоким качеством по сравнению с анализом, основан­ ным на чистой интуиции или на опыте.

Вместе с тем, на практике нередко возникают задачи управления, решение которых с помощью изложенных математических моделей не в полной мере от­ вечает существу поставленной проблемы. Это относится к ситуациям, когда от­ сутствует достоверная информация относительно изменения во времени суще­ ственных параметров модели, в особенности, когда в той или иной степени не­ определенны все компоненты модели.

Итак, несмотря на то, что математическое программирование и вероятност­ ное (стохастическое) моделирование имеют широкий диапазон применения, при рассмотрении многих важных задач управления (например, формирование ин­ вестиционной политики при перспективном планировании, выбор средств об­ служивания при текущем планировании) возникает необходимость обращаться к совершенно иным методам анализа, которыми являются методы создания и ис­ пользования имитационных моделей.

Имитационная математическая модель - это алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Хотя методы имитационного моделирования не слишком элегантны, они, вместе с тем, являются гибкими и мощными в при­ менении. Имитационные модели шаг за шагом воспроизводят процесс функцио­ нирования систем, в том числе и систем, включающих ряд стохастических пере­ менных. Используя выборочные данные, можно моделировать поведение сис­ темы. Если имитационное моделирование применяется в течение достаточно длительного периода, появляется возможность создавать модели с периодиче­ ским циклом или рассчитывать математические ожидания для определенных параметров. Имитационное моделирование может помочь при составлении про­ гнозов относительно поведения системы в будущем.

Среди различных методов, используемых в имитационном моделировании, достаточно широко известен метод Монте-Карло. При использовании этого ме­ тода всем переменным задачи присваиваются дискретные значения, даже если

на самом деле эти переменные являются непрерывными. Переменная времени, например, может подразделяться на интервалы в минутах, часах или днях в за­ висимости от моделируемой системы. Затем рассчитываются вероятности каж­ дого значения, а в отборе значений переменных используются случайные числа. С помощью описанной процедуры генерируются значения переменных, которые являются основой для построения имитационной модели.

Как было показано во всех разделах данной книги, именно широкое исполь­ зование информационных технологий позволяет эффективно использовать ме­ тоды математического моделирования в разнообразных задачах управления. В области же имитационного моделирования использование компьютеров стано­ вится особенно важным, так как значимую и обоснованную информацию из ими­ тационной модели можно получить только после проведения расчетов для раз­ личных случайных чисел. По сути, использование компьютеров представляет собой концептуальную основу имитационного моделирования, именно поэтому зачастую эти методы именуют "машинным имитированием".

Принципы построения дискретных имитационных моделей

Шаги практической реализации имитационного метода рассмотрим на осно­ ве моделирования конкретной практической задачи.

Представим, что при исследовании рынка клиент фирмы, проводящей раз­ личные социологические исследования, пытается выявить оценку общественно­ го мнения по интересующему его вопросу. Клиент желает знать, какова продол­ жительность такого исследования и его стоимость. Первый этап заключается в организации выборочного обследования и разработке анкеты. Вторым этапом является сбор исходных данных. Предположим, что подготовлена соответст­ вующая анкета и разработан план проведения выборочного обследования. Пусть фирмой принято решение, что сбор информации будет проводиться ин­ тервьюерами путем опроса прохожих на улицах крупного города. Длительность проведения обследования и соответствующие затраты зависят от того, сколько времени понадобится интервьюеру для сбора исходных данных. Каким образом ответственная за проведение обследования фирма может оценить, сколько времени потребуется для его проведения? Ясно, что описанная задача плохо формализуется в силу того, что все аспекты изучаемой проблемы содержат не­ определенности. Именно здесь уместно использовать имитационную модель.

Необходимо провести анализ ситуации. Интервьюеру придется останавли­ вать прохожих, спрашивать об их желании или нежелании дать интервью и в случае, если они согласны, задать им соответствующие вопросы. Переменными

вданной ситуации являются следующие величины:

1.Интервьюеру придется ожидать прохожего, которого можно остановить. Сле­ довательно, нам необходимо знать величину интервала между последова­ тельными моментами появления прохожих Тп.

2.Желание прохожего дать интервью.

3.Продолжительность интервью.

Если нам удастся сгенерировать информацию, отражающую процесс оста­ новки прохожего и его возможное интервьюирование, то мы сможем построить имитационную модель для данной проблемы и оценить время, требующееся для того, чтобы набрать необходимое число интервью. Причем данные должны отражать стандартные характеристики переменных, которые были идентифици­ рованы выше. Каждая из этих переменных является стохастической, то есть подверженной неопределенности. Наиболее простой способ состоит в сборе оп­ ределенных данных через проведение испытаний.

Если в качестве испытания выбрать поток из 100 прохожих, то можно за­ фиксировать временные интервалы между их последовательным появлением, желание или нежелание быть проинтервьюированным и, если дадут согласие, продолжительность интервью. Степень точности этих данных зависит от специ­ фики проблемы. В данном случае совершенно неважно, чтобы время было за­ фиксировано с высокой степенью точности. Кстати, именно на этой стадии при­ нимается решение о том, какие дискретные значения времени следует исполь­ зовать. Например, между последовательным появлением двух прохожих прохо­ дит приблизительно 1 мин., а каждое интервью занимает примерно 2 мин.

После того, как собраны данные для потока из 100 похожих, для каждой пе­ ременной можно построить распределение частот и рассчитать соответствую­ щие значения вероятностей. Предположим, что по результатам испытания были зафиксированы следующие данные:

Из общего числа опрошенных 75 человек,выразили желание дать интервью. Следовательно, вероятность того, что некоторый прохожий будет согласен на интервью, можно оценить как 0,75. Данные испытаний по продолжительности интервью помещены в следующую таблицу

лица случайных чисел заключает в себе цифры от 0 до 9, выбранные случай­ ным образом. Эти числа используются для того, чтобы множеству значений пе­ ременной поставить в соответствие множество случайных чисел (например, 0-9, 00-99). Случайные числа ставятся в соответствие значениям переменной про­ порционально значениям вероятностей.

Таким образом, из указанных таблиц (в среде информационных технологий используются не таблицы, а компьютерный генератор случайных чисел) выби-

рается случайное число, и переменной присваивается соответствующее значе­ ние. Так как в данной задаче значения вероятностей указаны с точностью до двух десятичных знаков, мы будем пользоваться случайными числами, содер­ жащими две цифры. Распределение случайных чисел 00-99 для построения модели интервалов между моментами появления прохожих показано в следую­ щей таблице

Если, например, выбирается случайное число 03, то оно принадлежит про­ межутку (00-24) и характеризует интервал между появлениями прохожих Тп в ноль минут. Случайное число 47 принадлежит промежутку (25-59) и соответст­ вует Тп в одну минуту. Используя последовательные случайные числа, сгенери­ рованные компьютером, с помощью приведенных выше данных можно поста­ вить в соответствие каждому прохожему интервал его появления около интер­ вьюера. Полученные значения Тп можно накапливать, начиная с нулевого зна­ чения, и в результате моделировать время появления каждого прохожего. Это моделирование можно осуществлять на компьютере, когда каждое следующее сгенерированное случайное число моделирует интервал появления каждого следующего прохожего. Таким образом, мы получаем компьютерную модель для этой переменной рассматриваемой задачи.

Как и в предыдущем случае, ставим в соответствие случайные числа веро­ ятностям согласия или несогласия прохожего дать интервью. Это распределе­ ние случайных чисел показано в следующей таблице.

Чтобы установить, согласится ли моделируемый прохожий дать интервью, выбираем случайное число и, в соответствии со значением этого числа, опреде­ ляем исход интересующего нас события (согласие или несогласие). Пусть, на­ пример, выбрано число 35. Оно находится в промежутке (00-74), значит, данный прохожий согласен дать интервью. Если следующее случайное число равно 64, то, поскольку оно принадлежит тому же промежутку, следующий прохожий также

даст согласие на интервью. Таким образом, генерируя случайные числа, мы в этой ситуации моделируем переменную нашей задачи, позволяющую опреде­ лить при каждом обращении к генератору случайных чисел, даст прохожий ин­ тервью или нет.

Продолжительность интервью устанавливается аналогично, но с использо­ ванием отличного от двух предыдущих множества случайных чисел. Распреде­ ление интервалов случайных чисел для продолжительности интервью пред­

Теперь все готово к тому, чтобы начать процесс моделирования исследуе­ мой задачи. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не будет получено (смоделировано) 10 интервью. Для каждой переменной выбираются случайные числа, а затем генерируются значения переменных, необходимых для продол­ жения процесса моделирования (время появления прохожего), а также пере­ менных, необходимых для описания поведения системы (согласие дать интер­ вью и его продолжительность).

Ниже приведены данные из таблиц случайных чисел (можно использовать числа, выдаваемые компьютерным генератором случайных чисел), которые по­ могут читателю проследить за ходом процесса моделирования:

03 47 43 73 86 97 74 24 67 62 16 76 62 27 66 12 56 85 99 26 55 59 56

35 64 16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57

Для интервалов появления прохожего выберем случайные числа, например, с начала списка и будем продвигаться вдоль строки. Данный ряд начинается с чисел: 03, 47, 43. Для согласия дать интервью выберем случайные числа второй строки, которая начинается-с чисел: 35, 64, 16. Для продолжительности интер­ вью также выберем числа второй строки, но начнем с конца и будем двигаться справа налево: 57, 29, 34. Предположим, что моделируемый счетчик времени начинается с нулевого момента. Тогда первый прохожий появится в момент времени, равный ( 0 + первый интервал появления прохожего). Предположим также, что каждое следующее интервью может начаться сразу же после оконча­ ния предыдущего.

Данные моделирования процесса проведения 10 интервью одним интер­ вьюером приведены в представленной ниже таблице. Как показывают данные этой таблицы, отражающие результаты имитационного моделирования, воспро­ изводящего изучаемую проблему, десятое интервью завершится через 36 мин. после начала процедуры. Использование иного множества случайных чисел, ее-

тественно, приведет к другому результату. Если потребуется определить время, необходимое для десяти интервью, мы должны будем сделать по имитационной модели расчеты для большего числа интервью - например, для 100 или 200. И только после этого можно будет рассчитать среднее время, требуемое для за­ вершения 10 интервью.

10 интервью набрано

Одна из проблем, возникающих при построении имитационных моделей, со­ стоит в том, что необходимо точно знать, какого рода информацию следует со­ бирать, чтобы процесс моделирования можно было продолжить. В данной си­ туации небольшой размерности задачи имеется возможность идентифицировать каждый шаг и при необходимости вернуться на предыдущий этап, если возникла необходимость в дополнительной информации. В общем же случае, особенно в задачах большой размерности, очень важно, чтобы решение о том, какие дан­ ные необходимы, и о способах их сбора и представления было принято на на­ чальном этапе исследования.

Сбор данных преследует две основные цели. Во-первых, их можно исполь­ зовать при проверке того обстоятельства, что модель функционирует именно

так, как и предполагалось при ее составлении. Эта процедура является состав­ ной частью обоснования модели. Так, в нашем примере, по данным исходного распределения, математическое ожидание продолжительности интервью соста­ вит:

М (продолжительность интервью) = 2x0,4 + 4x0,45 + 6x0,15 = 3,5 мин.

По данным нашей небольшой имитационной модели на проведение 10 оп­ росов интервьюер затрачивает 28 мин., таким образом, среднее значение про­ должительности одного интервью составляет 2,8 мин., что несколько меньше, чем предполагалось изначально. Для выборки такого небольшого размера эта вариация неудивительна. Однако, если бы мы получили эти же результаты для первых 100 интервью, это означало бы, что модель является некорректной и требует тщательной проверки.

Во-вторых, данные можно использовать для получения некоторой инфор­ мации непосредственно из модели. Например, сколько времени потребуется, чтобы получить 10 интервью? - 36 мин. Какую часть времени интервьюер без­ действует? - 8 мин. из 36. Сколько человек прошло мимо интервьюера, пока он получал 10 интервью? - 19: 6 человек прошли, пока интервьюер был занят, 3 человека отказались дать интервью, 10 человек были опрошены.

Данное исследование можно расширить, если, например, ввести в модель второго интервьюера. Затраты на оплату этого интервьюера могут быть компен­ сированы сокращением времени, необходимого для получения 10 интервью. В этом случае потребуется принятие определенных правил, определяющих функ­ ционирование модели. Что произойдет, если оба интервьюера будут свободны - кто из них подойдет к ближайшему следующему похожему? Пусть, например, всегда это будет интервьюер 1. Подобные правила необходимо вводить на на­ чальном этапе формулирования любой модели, что является важным для пра­ вильного ее функционирования.

После того, как имитационная модель построена, необходимо оценить ее надежность, так как мы должны быть уверены в том, что модель воспроизводит формализуемую систему с достаточной степенью точности. Простейший способ оценки надежности состоит в использовании ретроспективных данных и сравне­ нии результатов расчетовполученных для этих данных по модели, с действи­ тельным поведением системы во времени. Иногда оценку надежности модели (как и в описанном примере) следует основывать на тщательной проверке и оценке используемых распределений вероятностей.

Заметим, что имитационные модели, подобные описанной, достаточно про­ сто реализуются в среде информационных технологий, например, с использова­ нием программы Microsoft Excel.

Методы имитационного моделирования", хотя и не приводят к получению оп­ тимальных решений, как, например, операционные модели, однако, позволяют выработать направления стратегии, приводящей к лучшим результатам.

Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определения понятиям теории вероятностей: опыт, эксперимент, ис­

ход, событие, вероятность.

2.Что такое независимые события? Что такое несовместимые события? 3.Сформулируйте правило сложения вероятностей.

4.Что такое условная вероятность? 5.Сформулируйте правило умножения вероятностей.

6.Как вычисляются вероятности для числа событий больше двух?

7.В чем состоит смысл формулы Байеса?

8.Что такое математическое ожидание случайной величины?

9.Чем отличаются дискретные и непрерывные случайные величины?

10.Какие Вы знаете вероятностные распределения дискретных случайных вели­ чин?

11.В чем отличие распределения дискретных и непрерывных случайных вели­ чин?

12.Укажите характеристики нормального распределения случайной величины. 13.Что такое генеральная совокупность?

14. Как определяется доверительный интервал?

15.Что такое испытание гипотез, и как оно осуществляется?

16. Какие методы используются при статистическом контроле качества? 17.Опишите технологию контрольных карт.

18.Какие модели используют в приемочном контроле качества?

19.Какие критерии используются в поиске компромиссных решений?

20.Какие правила используют в принятии решений в условиях риска?

21.В чем смысл игровых моделей, и как они используются в управлении? 22.Что такое игра с чистой стратегией?

23.Что такое игра со смешанной стратегии?

24.Как игровая модель приводится к задаче линейного программирования? 25.Что такое система массового обслуживания?

26.На какие типы делятся системы массового обслуживания? 27.Опишите модель одноканальной системы с отказами.

28.Как работает многоканальная система с отказами?

2Э.Опишите модели систем массового обслуживания с ожиданием. 30.Опишите построение имитационной модели управления.

279

Всякое знание исходит из наблюдения и опыта Шарль О г ю с т е н де С е н т - Б е в

Глава 5. АНАЛИЗ ДАННЫХ КАК ЭТАП ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

структуре любой математической модели имеются два типа па­ раметров: один - это оптимизируемые (искомые), наилучшие значения которых отыскиваются в данной конкретной задаче управления. Они и представляют собой вектор управляющих пе­ ременных, которые формируют управляющее решение. Второй

тип - это переменные, которые априорно в задаче считаются заданными и представляют собой исходную информацию этой задачи. Совокупность пара­ метров первого и второго типа обеспечивает определенность и однозначность принимаемого решения, формируя в пространстве фазовых координат данной задачи управления информационный образ объекта управления.

Таким образом, исходная информация является неразрывной частью реше­ ния управленческой задачи. Поэтому анализ и обработка данных, составляющих основу этой информации, является необходимым этапом принятия решений. На этом этапе зачастую возникает потребность решения различных уравнений и систем уравнений, вычисления интегралов, построения интерполяционных и экстраполяционных зависимостей, а также создания регрессионных моделей.

В данной главе уделено внимание методам вычислительной математики и обработки экспериментальных данных, позволяющим осуществлять решение этих задач с использованием компьютера. Эффективная работа по анализу данных в среде информационных технологий возможна лишь при достаточном понимании принципов и алгоритмов соответствующих вычислительных проце­ дур, часть из которых здесь описана.

5.1.ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В СРЕДЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Большинство прикладных задач, в том числе и связанных с решением про­ блем управления, результат которых представляет собой числовую информа­ цию, решаются различными численными методами с помощью компьютера. Последовательность решения таких задач представляется в виде ряда этапов:

•Содержательная постановка задачи.

•Математическая формулировка - модель задачи.

•Выбор средств реализации - метод, алгоритм, программа.