8.7. Сложение поступательных и вращательных движений

Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай сложного движения: тело Р движется поступательно с постоянной скоростью относительно системы координат О₂x₂y₂z₂, а она в свою очередь вращается вокруг оси z₁ неподвижной системы координат О₁x₁y₁z₁ с постоянной угловой скоростью , параллельной скорости поступательного движения. Найдем абсолютную скорость некоторой точки М тела (рис. 8.8):

.

Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разложена на две составляющие: одну , параллельную оси z₂, и другую , перпендикулярную плоскости, проходящей через и точку М.

Рис. 8.8.

Отсюда следует, что точка М движется по боковой поверхности кругового цилиндра с осью z₁. Касательная к винтовой траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, угол , причем

,

где  – радиус цилиндра (см. рис. 8.8).

Время Т одного оборота тела в винтовом движении

.

Любая точка тела переместится за это время параллельно оси на расстояние, равное

,

называемое шагом винта. Величина называется параметром винта.

Рассмотренное сложное движение тела называется кинематическим винтом.

Если скорость и угловая скорость переменны, то движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно, что параметр винта в общем случае также будет переменным.

Второй случай. Скорость поступательного движения перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Мгновенное поступательное движение можно рассматривать как сложное движение – пару вращений. При этом момент пары вращений должен быть равен скорости данного поступательного движения. Плоскость пары вращений должна быть

Рис. 8.9.

перпендикулярна  – проведем ее через ось z1 (рис. 8.9). Поступательное движение со скоростью относительно системы координат О2x2y2z2 можно заменить вращением тела с угловой скоростью относительно некоторой новой системы, и вращением этой новой системы

относительно системы координат О₂x₂y₂z₂ с угловой скоростью .Для упрощения чертежа плоскость y₂О₂z₂ проведена перпендикулярно через ось z₁. Пусть одно из вращений, составляющих пару, имеет угловую скорость и происходит вокруг оси, совпадающей с z₁; тогда другое вращение имеет угловую скорость и происходит вокруг параллельной оси, проходящей через точку О₃. Для эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению тела достаточно, чтобы было выполнено условие

.

Если (см. рис. 8.9), то отсюда следует, что

.

Таким образом, совокупность поступательного и вращательного движений нами приведена к трем вращениям ( ), при этом два последних вращения ( ) эквивалентны покою, так как угловые скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, результирующее движение эквивалентно только одному вращению вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О₃, с угловой скоростью, равной угловой скорости заданного вращения.

Третий случай. Скорость поступательного движения направлена

Рис. 8.10.

под углом к угловой скорости вращательного движения (рис. 8.10). Этот случай легко приводится к первому. В самом деле, поступательное движение со скоростью можно сначала представить как совокупность двух поступательных движений

со скоростями и , причем , (рис. 8.10) и = + .

Поступательное движение со скоростью (в соответствии со вторым случаем) можно заменить парой вращений ( ). Получилась система четырех движений ( ); при этом два последних движения ( ) эквивалентны покою, следовательно, остается мгновенно-винтовое движение ( ).

Если скорости , постоянны, то движение будет винтовым. При этом ось винта отстоит от оси z_l на расстоянии .

Шаг винта равен .