1.2 Упрощенная модель Клейна

В качестве упрощенной модели Клейна возьмем систему линей­ных одновременных уравнений, в которой исключены три уравнения:

• определения величины капитала в момент времени t;

• нахождения величины заработной платы в частном секторе;

• определение общей прибыли.

Кроме того, объем потребления и чистые инвестиции считаются зависимыми только от значений валового внутреннего продукта на данный момент времени t и не зависят от его значений в предыдущий момент времени. Из уравнений выведены также переменные, определяемые в исключенных уравнениях. Таким образом получаем следующую систему уравнений:

(2)

где t=1,2,3…n;

C(t) – объем потребления;

I(t) - объем чистых инвестиций;

Y(t) – валовый внутренний продукт (без чистого экспорта и прироста запасов);

G(t) – государственные расходы;

с₁ – склонность к потреблению;

i₁ – склонность к инвестированию;

с_0, i₀ – свободные члены уравнения.

u₁(t), u₂(t) – случайные составляющие, имеющие математическое ожидание равное нулю, постоянную дисперсию и отсутствие взаимосвязи между собой.

В модели первые два уравнения отражают взаимосвязь между переменными модели с учетом случайной составляющей и содержат четыре неизвестных параметра. Последнее уравнение является балансовым уравнением. Все переменные [C(t), I(t), Y(t)], кроме G(t) являются эндогенными переменными. Переменная G(t) – это экзогенная переменная. В связи с тем, что в модели отсутствуют лаговые переменные, то в качестве предопределенной переменной выступает только переменная G(t). Определению, по имеющейся выборке, подлежат параметры: с_0, с_1, i_0, i_1.

2. Косвенный метод наименьших квадратов

Для определения неизвестных параметров непосредственно из системы уравнений (1) нельзя использовать обычный метод наименьших квадратов. Это вызвано тем, что переменная Y(t) имеет корреляционную связь со случайными составляющими u₁(t) и u₂(t), а значит получаемые оценки параметров будут смещёнными.

С целью устранения этого препятствия используем косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Для реализации данного метода подставим из третьего уравнения системы значение Y(t) в первое и второе уравнения системы. В результате преобразований получаем следующие уравнения:

(3)

Систему уравнений (3) можно записать в следующем виде:

(4)

где:

(5)

(5а)

Для того чтобы получить из (4) систему приведённых уравнений, достаточно из второго уравнения значение переменной I(t) подставить в первое уравнение, а значение переменной C(t) из первого уравнения подставить во второе уравнение. В результате несложных преобразований имеем:

(6)

Данную систему уравнений представим в следующем виде:

(7)

где:

(8)

(8а)

Система уравнений (7) является системой приведённых уравнений. В ней эндогенные переменные C(t) и I(t) выражены только через экзогенную переменную G(t) и случайные составляющие _(t), ₂(t). Экзогенная переменная не коррелирует со случайными составляющими и, следовательно, применив к каждому уравнению системы (7) МНК, можно определить несмещённые оценки параметров h₁₀, h₁₁, h₂₀, h₂₁.

Для этого используем имеющийся в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

Таблица №1