2.1.4. Определение значения параметров уравнений регрессий методом подстановок

Возьмём полученные значения величин h₁₀, h₁₁, h₂₀, h_21, и, применяя метод подстановок, из системы уравнений (8) определим значения c₀', c₁', i₀', i₁'.

(9)

После некоторых преобразований найдём значения c₀', c₁', i₀', i₁'.

В рассматриваемой задаче:

с1'	0,47
i1'	0,14
i0'	58,90
c0'	259,11

Полученные значения c₀', c₁', i₀', i₁' использовать для определения методом подстановок значений c₀, c₁, i₀, i₁ из следующей системы уравнений:

(10)

После некоторых преобразований найдём значения c₀, c₁, i₀, i_1.

В рассматриваемой задаче:

c0	176,60
c1	0,32
i0	51,66
i1	0,12

Подставив значения с₀, с₁, i₀, i₁ в систему уравнений (2), получим:

(11)

Таким образом, решается поставленная задача определения параметров исходных уравнений регрессии.

2.1.5. Определение параметров уравнения регрессии с помощью обычного мнк

Используя исходные данные (таблица №1) и систему уравнений (2), определяем с помощью обычного МНК значения величин с₀, с₁, i₀, i₁. Для расчетов применим табличный редактор Excel.

Произведем построение уравнения регрессии. Определяем сначала значения величин с₀, с_1. Для построения статистической модели, характеризующей значимость и точность найденного уравнения регрессии, используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» вводим данные по С(t), включая название реквизита. В поле «Входной интервал Х» вводим данные по Y(t). Затем устанавливаем флажки в окнах «Метки» и «Уровень надежности». Установим переключатель «Новый рабочий лист» и поставим флажок в окошке «Остатки». После всех вышеперечисленных действий нажимаем кнопку «ОК» в диалоговом окне «Регрессия». Получаем следующие таблицы:

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

Таблица №12

Регрессионная статистика
Множественный R	0,95
R-квадрат	0,91
Нормированный R-квадрат	0,91
Стандартная ошибка	7,74
Наблюдения	24

Таблица №13

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	13535,09	13535,09	225,84	4,73E-13
Остаток	22	1318,50	59,93
Итого	23	14853,59

Таблица №14

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	169,97	16,43	10,35	6,48E-10	135,90	204,05	135,90	204,05
Y(t)	0,33	0,02	15,03	4,73E-13	0,28	0,37	0,28	0,37

Таблица №15

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное C(t)	Остатки
1	371,26	7,74
2	390,86	2,14
3	378,58	-6,78
4	396,02	11,58
5	393,08	-6,48
6	396,81	-4,41
7	405,50	1,10
8	400,34	-6,34
9	407,40	11,80
10	408,96	5,84
11	404,78	-11,58
12	408,18	-4,18
13	414,85	5,95
14	416,02	7,98
15	415,30	-2,70
16	416,15	-9,35
17	426,15	-1,15
18	431,84	6,96
19	437,26	1,74
20	439,55	-13,55
21	443,73	-6,13
22	452,29	6,71
23	462,03	9,57
24	460,46	-6,46

Получаем уравнение регрессии: С(t) = 169,97+0,33*Y(t) + u₁(t)

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

Используя исходные данные (таблица №1) I(t) и по Y(t), систему уравнений (7), определяем с помощью МНК значения величин h₂₀, h₂₁. Для расчетов снова применим табличный редактор Excel (программа «Регрессия»).

Таблица №16

Регрессионная статистика
Множественный R	0,89
R-квадрат	0,80
Нормированный R-квадрат	0,79
Стандартная ошибка	4,54
Наблюдения	24

Таблица №17

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1771,78	1771,78	86,04	4,65E-09
Остаток	22	453,01	20,59
Итого	23	2224,80

Таблица №18

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	1	54,58	9,63	5,67	1,06E-05	34,61	74,55	34,61
Y(t)	22	0,12	0,01	9,28	4,65E-09	0,09	0,14	0,09

Таблица №19

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное I(t)	Остатки
1	127,40	-5,40
2	134,50	3,50
3	130,05	3,55
4	136,36	-8,16
5	135,30	-0,10
6	136,65	1,15
7	139,79	3,41
8	137,92	3,08
9	140,48	-5,08
10	141,05	-2,45
11	139,53	3,87
12	140,76	4,24
13	143,17	-2,57
14	143,60	-4,60
15	143,34	3,86
16	143,65	4,95
17	147,26	-3,26
18	149,32	-4,72
19	151,28	2,72
20	152,11	6,89
21	153,62	0,58
22	156,72	-6,72
23	160,24	-4,04
24	159,68	5,32

Получаем уравнение регрессии: I(t) = 54,58+ 0,12*Y(t)+u₂(t)

Вывод:

Получаем следующую систему уравнений:

При сравнении результатов, полученных традиционным МНК и с помощью КМНК, следует иметь в виду, что традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов.