3. Двухшаговый метод наименьших квадратов

Другим подходом к определению значений параметров с₀, с₁, i₀, i₁, может служить использование двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК). Для применения данного метода не­обходимо в систему уравнений (7) подставить найденные значения h₁₀, h₁₁, h₂₀, h₂₁ и вычислить теоретические значения переменных .

Затем найденные значения и имеющиеся в исходных данных значения G(t) подставляются в 3-е уравнение системы (2) и находятся теоретические значения . Эти теоретические значения не имеют корреляционной связи со случайными составляющими u₁(t) и u₂(t). Следовательно, подставив в 1-е и 2-е уравнения системы (2) значения , можно найти параметры с₀, c₁, i₀, i₁ с помощью обычного МНК. Оценки при этом будут несмещенными, состоятельными и эффективными.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Таблица №20

t	G(t)				C(t)	I(t)
1	115	371,71	126,69	613,40	379	122
2	145	388,67	133,16	666,83	393	138
3	133	381,88	130,57	645,46	371,8	133,6
4	156	394,88	135,54	686,42	407,6	128,2
5	161	397,71	136,62	695,32	386,6	135,2
6	164	399,40	137,26	700,67	392,4	137,8
7	171	403,36	138,77	713,13	406,6	143,2
8	170	402,80	138,56	711,35	394	141
9	172	403,93	138,99	714,91	419,2	135,4
10	178	407,32	140,28	725,60	414,8	138,6
11	182	409,58	141,15	732,72	393,2	143,4
12	180	408,45	140,71	729,16	404	145
13	188	412,97	142,44	743,41	420,8	140,6
14	190	414,10	142,87	746,97	424	139
15	191	414,67	143,09	748,75	412,6	147,2
16	198	418,62	144,60	761,22	406,8	148,6
17	215	428,23	148,26	791,50	425	144
18	218	429,93	148,91	796,84	438,8	144,6
19	225	433,88	150,42	809,30	439	154
20	240	442,36	153,66	836,02	426	159
21	246	445,75	154,95	846,71	437,6	154,2
22	255	450,84	156,89	862,73	459	150
23	266	457,06	159,27	882,32	471,6	156,2
24	270	459,32	160,13	889,45	454	165

Используя вычисленные значения вместо Y(t), опреде­ляем с помощью МНК из 1-го уравнения системы (2) параметры с₀, с₁, а из 2-го уравнения системы (2) параметры i₀, i₁. Получаем следующие таблицы:

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

Таблица №21

Регрессионная статистика
Множественный R	0,92
R-квадрат	0,85
Нормированный R-квадрат	0,84
Стандартная ошибка	10,07
Наблюдения	24

Таблица №22

	Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия		1	12621,37	12621,37	124,39	1,6E-10
Остаток		22	2232,21	101,46
Итого		23	14853,59

Таблица №23

	Коэффи-циенты	Стандарт-ная ошибка	t-статис-тика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	177,03	21,50	8,23	3,64E-08	132,45	221,62	132,45	221,62
Y(t)	0,32	0,03	11,15	1,6E-10	0,26	0,38	0,26	0,38

Таблица №24

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное C(t)	Остатки
1	371,71	7,29
2	388,67	4,33
3	381,88	-10,08
4	394,88	12,72
5	397,71	-11,11
6	399,40	-7,00
7	403,36	3,24
8	402,80	-8,80
9	403,93	15,27
10	407,32	7,48
11	409,58	-16,38
12	408,45	-4,45
13	412,97	7,83
14	414,10	9,90
15	414,67	-2,07
16	418,62	-11,82
17	428,23	-3,23
18	429,93	8,87
19	433,88	5,12
20	442,36	-16,36
21	445,75	-8,15
22	450,84	8,16
23	457,06	14,54
24	459,32	-5,32

с0	177,03
с1	0,32

Получаем уравнение регрессии: С(t) = 177,03 +0,32*Y(t) + u₁(t)

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

Используя исходные данные (таблица №1) I(t) и по Y(t), систему уравнений (7), определяем с помощью МНК значения величин h₂₀, h₂₁. Для расчетов снова применим табличный редактор Excel (программа «Регрессия»).

Таблица №25

Регрессионная статистика
Множественный R	0,91
R-квадрат	0,83
Нормированный R-квадрат	0,82
Стандартная ошибка	4,19
Наблюдения	24

Таблица №26

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1838,75	1838,75	104,7861	7,88E-10
Остаток	22	386,0483	17,54765
Итого	23	2224,798

Таблица №27

	Коэффициенты	Стандар-тная ошибка	t-статисти-ка	P-Значе-ние	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	52,39	8,94	5,86	6,78E-06	33,84	70,93	33,84	70,93
Y(t)	0,12	0,01	10,24	7,88E-10	0,10	0,15	0,10	0,15

Таблица №28

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное I(t)	Остатки
1	126,69	-4,69
2	133,16	4,84
3	130,57	3,03
4	135,54	-7,34
5	136,62	-1,42
6	137,26	0,54
7	138,77	4,43
8	138,56	2,44
9	138,99	-3,59
10	140,28	-1,68
11	141,15	2,25
12	140,71	4,29
13	142,44	-1,84
14	142,87	-3,87
15	143,09	4,11
16	144,60	4,00
17	148,26	-4,26
18	148,91	-4,31
19	150,42	3,58
20	153,66	5,34
21	154,95	-0,75
22	156,89	-6,89
23	159,27	-3,07
24	160,13	4,87

i0	52,39
i1	0,12

Получаем уравнение регрессии: I(t)=52,39+0,12*Y(t)+u₂(t)

Вывод:

Получаем систему уравнений:

При определении значений параметров уравнений регрессии с помощью ДМНК оценки будут несмещенными, состоятельными и эффективными. Значения параметров с₀, с₁, i₀, i_1, определенные с помощью КМНК и ДМНК совпадают, то следовательно расчеты проведены верно.