Kосвенные измерения

Косвенные измерения предполагают наличие функциональной связи

Y= f(х,, х₂, ... ,х_n)

где х,, х₂, ... ,х_n — подлежащие прямым измерениям аргументы функции Y.

Очевидно, погрешность в оценке Y зависит от погрешностей при измерениях аргументов. При этом могут иметь место два слу­чая: аргументы взаимонезависимы и взаимозависимы.

Для независимых аргументов абсолютная погрешность

относительная

и СКО функции

_

где частные производные df/dx_t, df/dx₂... вычисляются при х₁ = x₂,

х₁= х₁,..., а величины Δ х_{1 ,}Δх₂, ... определяют, например, с помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения довери­тельной вероятности.

При вводе b_t= dY/dXj — абсолютного коэффициента влияния аргумента х в функцию Y ее абсолютная погрешность составит

Тогда относительная погрешность определяется как

гдеB_i= ∂Y/∂x_i^.x_i/Y относительный коэффициент влияния.

Если в качестве меры точности измерений выступает СКО, то

Если аналитические функциональные связи вида не ус­тановлены, то при разработке методики выполнения измерений можно использовать опытные значения b_i и В_i.

где ΔY — изменение функции, вызванное изменением Δxi i-го аргумента;

Y и x , — средние (расчетные или номинальные) значения функции и аргумента. Окончательный результат записывают в виде

Y= Y ± ΔY при вероятности Р.

В качестве практических рекомендаций можно использовать сле­дующие положения;

• если коэффициенты влияния менее 0,001 (0,1%), то эти параметры можно не учитывать;

• для коэффициентов влияния в пределах 0,001...0,050 (0,1... 5%) требования к точности их измерения невелики (2...5%);

• если коэффициенты влияния больше 0,05 (5%), то требования к точности информации повышаются до 1 % и выше.

В случае взаимной зависимости аргументов находят парные коэффициенты корреляции

Значения р лежат в пределах -1 < ρ < +1. При ρ = 0 — величи­ны взаимонезависимы. Однако если ρ= 0, следует проверить значимость этой величины. Для этого используют t — критерий

_

t = (l-ρ²)/√n. Если расчетное по формуле значение 3t≤ρ, то взаимо­связь между параметрами необходимо учитывать. Практически, если ρ < 0,20,...,0,25, то корреляционную связь считают несуществен­ной.

При наличии взаимосвязей между х_i и х_j

где i =1, 2, ...,l, ..., k, ..., n.

При числе взаимозависимых аргументов больше двух тесноту связи оценивают частным или множественным коэффициентом корреляции, в основе вычисления которого лежат значения пар­ных коэффициентов корреляции. Например, для трех аргументов x, y, z.

Коэффициент R всегда положителен и заключен между 0 и 1. Если, например, величина z находится в зависимости от х и у как z = ах + by + с, то влияние величины х на изменение t оценивают частным коэффициентом корреляции

Аналогично определяется p_x (z, у). Частные коэффициенты кор­реляции обладают теми же свойствами, что и коэффициенты ли­нейной корреляции.

Алгоритм обработки результатов косвенных измерений включа­ет следующие этапы:

1. Для результатов прямых измерений аргументов х вычисляют

выборочные средние x: = 1/n_i Σx_ik ^и выборочные стандартные отклонения

2. Для каждого аргумента вычисляют суммарные систематичес­кие погрешности в виде СКО:

f

где σ_суб, σ_окр характеризуют разброс результатов из-за субъективных причин, округления и т.п.

3. Находят выборочное среднее функции по т аргументам с уче­том коэффициентов влияния

4. Вычисляют стандартные отклонения случайных и системати­ческих составляющих функции

5. Сравнивают σ_YΔ^o <σ_YΔ

а) если σ_YΔ^o << σ_YΔ, то результат записывают в виде Y = Y+Δс при вероятности Р. Здесь, задавшись вероятностью Р, полуинтервал Δс находят с помощью коэффициентов Чебышева по формуле

Δс= γ σ_YΔ^o

б) если σ_YΔ^o >> σ_YΔ то результат записывают как Y= Y , при P=α и σ_YΔ^o ;

в) если σ_YΔ^o и σ_YΔ сравнимы, то результат представляют в видеY=Y ; σ_YΔ^{o ;} σ_{YΔ .}Доверительные границы результатов косвенных измерений мож­но оценить и по формулам, предвари­тельно оценив неисключенную составляющую систематической по­грешности косвенного измерения как по каждому аргументу, так и в целом функции.

Представление относительной погрешности сложной функции в виде

дает возможность вычислить погрешность функции по известным погрешностям аргументов (прямая задача); оценить допустимые по­грешности аргументов, при которых общая погрешность не превы­сит заданной величины (обратная задача); оптимизировать условия измерений, обоснованно минимизируя суммарную погрешность, заранее установив требования к точности измерения, подобрать со­ответствующую аппаратуру.

Пример. Рассмотрим факторы, влияющие на погрешность определения удельного эффективного расхода топлива g_e, кото­рый может быть представлен в виде функции величин, измеряе­мых прямым методом

где G и т — доза топлива и время ее расхода; n_т — постоянная частота вращения двигателя за время т_п ее измерения; М_е — крутя­щий момент на валу двигателя. Решение. Погрешность определяется по формуле:

В соответствии с нормативами величина g_e должна быть изме­рена с точностью до 1 %. Если принять, что каждый из аргументов одинаково влияет на общую погрешность, то

Однако известные методы не позволяют измерить М_e с точнос­тью выше +0,5%, G — ±0,2%. В то же время частоту вращения и временные интервалы имеется возможность измерять более точно — с относительной погрешностью не хуже ±0,1%. Таким образом, суммарная погрешность при использовании существующих средств измерения составит ± (0,5+0,2+0,1+0,1+0,1) =± 1%, что удовлетво­ряет требованиям ГОСТа.

Приведенный пример показывает, что для повышения точности косвенных измерений прежде всего нужно стремиться снизить наи­большие погрешности отдельных аргументов.

Традиционный подход к решению основной задачи косвенных измерений (нахождению оценки результатов Y косвенного измере­ния и его погрешности) состоит в следующем:

• предполагают достаточную гладкость функции ;

• разлагают эту функцию в ряд Тейлора в окрестности аргумен­та Х_i

• исследуют значимость отбрасываемого остаточного члена ряда Тейлора, предполагая незначительность погрешностей оценок аргу­мента.

При этом необходимы сведения (реальные или принимаемые за реальные) о законе распределения погрешностей аргумента.

Для технических измерений предложен более простой и не ме­нее точный подход, основанный на методе математического про­граммирования, сводящий аналитическую задачу к вычислитель­ной . При этом в информации о законе распределения аргумента

нет необходимости. В качестве оценки Y принимается полусумма максимального и минимального значений функции Y, а оценки абсолютной погрешности — полуразность этих значений:

Тогда относительная погрешность

Надо отметить, что определение коэффициентов влияния при косвенных измерениях — задача весьма ответственная и трудоемкая. Необходимость оценки этих коэффициентов пока не нашла должного понимания, хотя знание их не только позволяет целенаправ­ленно вести работу при оптимизации производственных процессов, но и при техническом обслуживании и ремонте, выборе соответ­ствующих средств и методов измерения. Зачастую это формирует и требования к режимам эксплуатации ТС.

Совместные и совокупные измерения

Одновременные измерения двух или нескольких величин назы­ваются совместными, если уравнения измерения для этих величин образуют систему линейных независимых уравнений. Например, для Двух измеряемых величин х и у.

f₁(х₁, у; α₁,β₁..; a₁;b₁...) = 0;

f₂(х, у; α ₂, β ₂; ...; a₁;b₁...) =0,

где α₁,β₁; ...; α ₂, β ₂;... — результаты прямых или косвенных измере­ний;

α₁,β₁...; α ₂, β ₂;... — физические константы или постоянные СИ.

Если число уравнений превышает число неизвестных, то полу­ченную систему решают методом наименьших квадратов (МНК) и находят оценки х и у и их СКО. Доверительные интервалы для истинных значений х и у строят на основе распределения Стьюдента. При нормальном распределении погрешностей МНК приводит к наиболее вероятным оценкам, удовлетворяющим принципу макси­мума правдоподобия.

Совокупные измерения отличаются от совместных только тем, что при совокупных измерениях одновременно измеряют несколько одноименных величин, а при совместных — разноименных. Матема­тический аппарат у этих видов измерений один. Учитывая характер измеряемых величин, совместные измерения можно рассматривать как обобщение косвенных, а совокупные — как обобщение прямых измерений.