В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает

с реднее арифметическое значение х

(4.1)

Величина х, полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к х_и. Для оценки ее возможных откло­нений от х_и определяют опытное среднеквадратическое откло­нение (СКО)

(4.2)

_

Для оценки рассеяния отдельных результатов х_i. измерения от­носительно среднего x определяют СКО:

(4.3)

Примечание. Применение формул (4.3) правомерно при усло­вии постоянства измеряемой величины в процессе измерения. Если при измерении величина изменяется, как при измерении темпе­ратуры остывающего металла или измерении потенциала провод­ника через равные отрезки длины, то в формулах (4.3) в качестве x следует брать какую-то постоянную величину, например нача­ло отсчета.

Формулы (4.2) и (4.3) соответствуют центральной предельной теореме теории вероятностей, согласно которой

_

σ_ =σ /√n (4.4)

x x

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Это отражает и формула (4.4), определяющая фундамен­тальный закон теории погрешностей. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

зависимости от характера проявления, причин возникнове­ния и возможностей устранения различают систематическую и случайную составляющие погрешности измерений, а также гру­бые погрешности (промахи).

Систематическая Δ_с составляющая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одного и того же параметра.

_o

Случайная Δ составляющая изменяется при повторных изме­рениях одного и того же

параметра случайным образом.

Грубые погрешности (промахи) возникают из-за ошибочных действий оператора, неисправности СИ или резких изменений усло­вий измерений. Как правило, грубые погрешности выявляются в результате обработки результатов измерений с помощью специ­альных критериев.

Случайная и систематическая составляющие погрешности из­мерения проявляются

_о

одновременно, так что общая погрешность при их независимости Δ= Δ_с +Δ или через

_{___________}

СКО σ_д =√σ²_Δс +σ_о² .

^Δ

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно воз­никает из-за множества не уточненных факторов.

Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов из­мерений. Для этого должны быть известны вероятностные и стати­стические характеристики (закон распределения, закон математи­ческого ожидания, СКО, доверительная вероятность и довери­тельный интервал). Часто для предварительной оценки закона

р аспределения параметра используют относительную величину СКО — коэффициент вариации:

(4.5)

Если Р означает вероятность а того, что х результата измерения отличается от истинного на

_о

величину не более чем Δ, т. е.

(4.6)

то в этом случае Р — доверительная вероятность, а интервал от

_ о _ о

х - Δ до х + Δ — доверительный интервал.

Таким образом, для характеристики случайной погрешности надо обязательно задать два числа — величину самой погрешности (или доверительный интервал) и доверительную вероятность.

Если распределение случайной погрешности подчиняется нор­мальному закону , то вместо значения Δ указывается σ_х. Одновременно это уже определяет и доверительную вероятность

_{o o o}

Р. Например: при Δ = 0^ значение Р= 0,68; при Δ = 2о-_гзначениеP=0,95; при Δ = 3ст значение

Р =0,99.

Доверительная вероятность по формуле (6) характеризует вероятность того, что отдельное

_o

измерение х не будет отклонять­ся от истинного значения более чем на Δ. Безусловно, важнее

знать отклонение от истинного значения среднего арифметичес­кого ряда измерений.

При рассмотрении оценки СКО по "необходимому" (достаточно большому) числу измерений σ² называется генеральной дисперсией. При малом числе измерений (менее 10— 20) получают выборочную дисперсию σ². Причем

_ _

σ² →σ²лишь при п→∞. То есть если σ² =σ², то надежность оценки уменьшается с уменьшением п, а значения доверительной вероятности Р завышаются.

Поэтому при ограниченном числе измерений п вводится коэффи­циент Стьюдента t_p, определяемый по специальным таблицам в за­висимости от числа измерений и принятой доверительной ве­роятности Р.

Тогда средний результат измерений находится с заданной вероятностью Р в интервале

_{_}

J = х ± t σ_x / √п и отличается от действительного значения на относительную величину

_{_}

ε= Δ/σ_х.=Δ√n/σ_х .

Для уменьшения случайной погрешности есть два пути: повы­шение точности измерений (уменьшение σ_х) и увеличение числа измерений п с целью использования соотношения (4.4). Считая, что все возможности совершенствования техники измерений использо­ваны, рассмотрим второй путь. При этом отметим, что уменьшать случайную составляющую погрешности целесообразно лишь до тех пор, пока общая погрешность измерений не будет полностью опре­деляться систематической составляющей Δ. Если систематическая погрешность определяется классом точности СИ Δ_си (или γ_си), то необходимо, чтобы доверительный интервал ±t_pσ_x /√n был суще­ственно меньше Δ_с.

Обычно принимают от Δ < Δ/2 до Δ < Δ/2 при Р = 0,95.

В случае невозможности выполнить эти соотношения необходимо коренным образом изменить методику измерения. Для сравнения случайных по­грешностей с различными законами распределения использование показателей, сводящих плотность распределения к одному или не­скольким числам, обязательно. В качестве таких чисел и выступают СКО, доверительный интервал и доверительная вероятность. Надежность самого СКО характеризуется величиной

σ_σ =σ/√2n

Наиболее вероятна погрешность Δ_в отдельного измерения определяется по формуле

Анализ этой формулы показывает, что с увеличением п вели­чина Д_в быстро уменьшается лишь до и = 5, ... ,10. Следовательно, увеличение числа измерений на одном режиме свыше 5...10 неце­лесообразно, что совпадает с условием получения надежных зна­чений σ_σ.

Число измерений можно выбрать из данных таблицы или по одной из формул:

где n_от — число отбрасываемых экспериментальных результатов. С учетом коэффициентов Стьюдента можно оценить относительную погрешность отдельного измерения как δ_i= t_pσ_x / x среднего зна­чения δ- =t_pσ_x / x√n .

Н еобходимое число измерений при нормальном законе распреде­ления случайной величины (при Р=0,95)

Как правило, систематические погрешности могут быть обнаружены и исключены. Однако в реальных условиях пол­ностью исключить систематическую составляющую погрешности невозможно. Всегда остаются какие-то не исключённые остатки, ко­торые и нужно учитывать, чтобы оценить их границы. Это и будет систематическая погрешность измерения. То есть, в принципе, сис­тематическая погрешность тоже случайна, и указанное деление обус­ловлено лишь установившимися традициями обработки и представ­ления результатов измерения, и Оставшаяся необнаруженной систематическая составляющая опаснее случайной: если случайная составляющая вызывает вари­ацию (разброс) результатов, то систематическая — устойчиво их искажает (смещает). В любом случае отсутствие или незначитель­ность (с целью пренебрежения) систематической погрешности нужно доказать.

Методика выявления характера погрешности заключается в следующем:

1.Из двух рядов n₁ и n₂ независимых измерений находят средние арифметические x₁ и x₂ .

2. Определяют значения

_{___________}

3. Вычисляют σ=S√1/n₁+1/n₂.

4. Вероятность того, что разность |x₁ -x₂|≥ ε является случайной величиной, определяется равенством Р(|х₁ -х₂|≥)=1-Р_tрn , где

t_p=|x₁ -x₂|/σ ,

Величина Р определяется по таблице Стьюдента.

Если полученная вероятность Р ≥ 0,95, то разность |х₁ -х₂| носит систематический характер.

В отличие от случайной погрешности, выявленной в целом вне зависимости от ее источников, систематическая погрешность рас­сматривается по составляющим в зависимости от источников ее воз­никновения, причем различают методическую, инструментальную и субъективную составляющие погрешности.

Субъективные систематические погрешности связаны с инди­видуальными особенностями оператора. Как правило, эта погреш­ность возникает из-за ошибок в отсчете показаний (примерно 0,1 деления шкалы) и неопытности оператора. В основном же систе­матические погрешности возникают из-за методической и инст­рументальной составляющих.

Методическая составляющая погрешности обусловлена несо­вершенством метода измерения, приемами использования СИ, некорректностью расчетных формул и округления результатов.

Инструментальная составляющая возникает из-за собствен­ной погрешности СИ, определяемой классом точности, влия­нием СИ на результат и ограниченной разрешающей способ­ности СИ.

Целесообразность разделения систематической погрешности на методическую и инструментальную составляющие определяется

следующими моментами:

• для повышения точности измерений можно выделить лими­тирующие факторы, а следовательно, принять решение об усо­вершенствовании методики или выборе более точных СИ;

• появляется возможность определить составляющую общей погрешности, увеличивающейся со временем или под влиянием внешних факторов, а следовательно, целенаправленно осуществ­лять периодические поверки и аттестации;

• инструментальная составляющая может быть оценена до раз­работки методики, а потенциальные точностные возможности выбранного метода определит только методическая составляю­щая.

То есть все виды составляющих погрешности нужно анализи­ровать и выявлять в отдельности, а затем суммировать их в зави­симости от характера, что является основной задачей при разра­ботке и аттестации методик выполнения измерений.

В ряде случаев систематическая погрешность может быть исключе­на за счет устранения источников погрешности до начала измерений (профилактика погрешности), а в процессе измерений — путем внесе­ния известных поправок в результаты измерений.

Профилактика погрешности — наиболее рациональный способ ее снижения и заключается в устранении влияния, например, тем­пературы (термостатированием и термоизоляцией), магнитных по­лей (магнитными экранами), вибраций и т. п. Сюда же относятся регулировка, ремонт и поверка СИ. Исключение постоянных систематических погрешностей в про­цессе измерений осуществляют методом сравнения (замещения, противопоставления), компенсации по знаку (предусматривают два наблюдения, чтобы в результат каждого измерения систематичес­кая погрешность входила с разным знаком), а исключение пере­менных и прогрессирующих — способами симметричных наблюде­ний или наблюдением четное число раз через полупериоды. То есть периодическая погрешность исключается, если взять среднее двух наблюдений, произведенных одно за другим через интер­вал, равный полупериоду независимой переменной φ, определяю­щей значение периодической погрешности. То же будет и для не­скольких пар подобного рода наблюдений (например, погрешность от эксцентриситета в угломерных СИ).