Качество измерений

Под качеством измерений понимают совокупность свойств, обусловливающих получение результатов с требуемыми точностными характеристиками, в необходимом виде и в уста­новленные сроки. Качество измерений характеризуется таки­ми показателями, как точность, правильность и достоверность. Эти показатели должны определяться по оценкам, к которым предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.

Истинное значение измеряемой величины отличается от сред­него значения на величину систематической погрешности Δ_с, т. е.

x=x- Δ_{с _}

Если систематическая составляющая исключена, то х = x. Од­нако из-за ограниченного числа наблюдений х точно определить также невозможно. Можно лишь оценить это значение, указать границы интервала, в котором оно находится, с определенной вероятностью.

Оценку х числовой характеристики закона распределения х, изображаемую точкой на числовой оси, называют точечной оцен­кой. В отличие от числовых характеристик оценки являются слу­чайными величинами. Причем их значение зависит от числа на­блюдений п.

Состоятельной называют оценку, которая сводится по вероят­ности к оцениваемой величине, т. е. х →х при п →∞.

Несмещенной является оценка, математическое ожидание ко­торой равно оцениваемой величине, т. е. х = х.

Эффективной называют такую оценку, которая имеет наимень­шую дисперсию σ²_х = min.

Перечисленным требованиям удовлетворяет среднее арифме­тическое х результатов п наблюдений.

Таким образом, результат отдельного измерения является слу­чайной величиной. Тогда точность измерений — это близость резуль­татов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Если систематические составляющие погрешности исключе­ны, то точность результата

измерений х характеризуется степе­нью рассеяния его значения, т. е. дисперсией. Как показано выше (см. формулу 4.4), дисперсия среднего арифметического σ²_x в п раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения.

На рис. 9 заштрихованная площадь относится к плотности ве­роятности распределения среднего значения.

Рис. 9

Правильность измерений определяется близостью к нулю сис­тематической погрешности.

Достоверность измерений зависит от степени доверия к резуль­тату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение измеряемой величины лежит в указанных окрестностях действи­тельного. Эти вероятности называют доверительными вероятностями, а границы (окрестности) — доверительными границами:

где S_n(t) — интегральная функция распределения Стьюдента. При увеличении числа наблюдений п распределение Стьюдента быст­ро приближается к нормальному и переходит в него уже при п ≥ 30.

Другими словами, достоверность измерения — это близость к нулю случайной (или не исключенной) систематической погрешности.

Для количественной оценки качества измерений рассмотрим влияние параметров измерений на погрешность их результатов. При планировании измерений и оценке их результатов задаются определенной моделью погрешностей: предполагают наличие тех или иных составляющих погрешности, закон их распределения, кор­реляционные связи и др. На основе таких предположений выбира­ют СИ по точности, необходимый объем выборки объектов изме­рений и метод оценивания результатов измерений.

В этой связи необходимо знать влияние на погрешность ре­зультатов измерений:

• числа наблюдений и доверительной вероятности, с которой должны быть известны вероятностные характеристики результатов;

• степени исправленное™ наблюдений, т. е. наличия НСП на­блюдений;

• вида и формы закона распределения погрешностей.

Когда систематические погрешности результатов наблюдений отсутствуют (Δ_с= 0), доверительная погрешность Δ^__x среднего ариф­метического зависит только от погрешности метода σ_x, числа на­блюдений n и доверительной вероятности Р_Δ. Так как случайная

величина t_p =(x-x)/ σ_x - имеет распределение Стьюдента с n - 1 степенями свободы, то, воспользовавшись таблицей этого рас­пределения, можно построить зависимость f

Δ_x / σ_x = f (n,P).

Рис. 10

Такая зависимость для Р_Δ= 0,90; 0,95; 0,99 и n = 2-2Δ_с изображе­на на рис. 10

По кривым можно оценить влияние n и Р_Δ на Δ_x -. Так, на участке кривых при n≤ 5 величина Δ_x / σ_x очень чувствительна к n для любых Р_Δ . Например, при переходе n = 2к n = 3 величина Δ_x / σ_x при Р_Δ = 0,95 уменьшается более чем в 3 раза. С ростом Р_Δ чувствительность Δ_x / σ_x к n возрастает. На участке кривых при n >5 уменьшение Δ_x / σ_x от роста я замедляется настолько, что возни­кает задача определения практически предельного значения числа наблюдений. Действительно, неограниченному уменьшению по­грешностей при увеличении n препятствует не исключенная сис­тематическая погрешность в результатах наблюдений. Дальнейшее увеличение n вызывает незначительное сужение доверительного

интервала Δ_xТак, если систематические погрешности отсутству­ют, то для любого σ_x при n > 7 и Р_Δ = 0,90, при n > 8 и Р_Δ = 0,95 и при n > 10 и Р_Δ = 0,99 величина Δ_x уменьшается всего на 6—8%и менее. Поэтому при эксплуатации и испытаниях ТС рекомендуется, во-первых, использовать доверительную вероятность Р_Δ = 0,9, так как в этом случае для широкого класса симметричных распреде­лений погрешностей Δ_x = 1,6 σ_x и не зависит от вида этих рас­пределений; во-вторых, при Р_д =0,9 использовать выборку наблю­дений объемом не более

n = 5,...,7.

Аналогично ведет себя корреляция результатов измерений па­раметров изделия. Для выборочного СКО среднего арифметичес­кого прямого измерения с многократными наблюдениями при условии, что результаты наблюдений х_i, и x_k коррелированы, мо­жет быть использована формула

Где rx_ix_k— коэффициент корреляции результатов x_t и x_k , K_xx— поправочный множитель.

Расчеты по формуле показывают сильное влияние кор­реляции результатов наблюдений на σ_x

Таблица.

Значение коэффициента корреляции и поправочного множителя

Как видно из табл. величина σ_x может быть существенно занижена. Так, при малой корреляции результатов и n≤ 20 это занижение не превышает 1,7 раза. При сильной корреляции вели­чина σ_x -, характеризующая точность результатов измерений, мо­жет быть занижена в несколько раз.

Заметно влияет на СКО результатов наблюдений σ_x , называ­емое иногда погрешностью метода измерений, степень исправ­ленное™ результатов наблюдений перед обработкой. Действитель­но, если выполняются технические измерения и результат изме­рения получают в виде среднего арифметического значения х, то величину погрешности метода в этом случае (обозначим ее σ_x1 ) определяют по формуле (4.2). Если измерения той же величины выполняют с такой точностью, что вместо x получают истинное значение искомого параметра, т. е. х = х, то погрешность метода в этом случае (обозначим ее σ_x2) получают по аналогичной форму­ле, в которую вместо делителя (n - 1) подставляют делитель n.

Несущественная на первый взгляд заменах x на х намечает ряд проблем. Оказывается, что наиболее употребляемая на практике характеристика σ_x1 как статистическая оценка имеет большее смешение и менее эффективна, чем характеристика σ_x2.

Так, относительная величина смещенности СКО Δ_с =(М[σ_х]-σ-_x ⁾/σ_х оценок σ_x1 и σ_x2 и их эффективность Е_σ как функция числа наблюдений n приведены на рис.11 и показывают следующее :

• характеристики Δ_σ и Е_σ являются монотонными функциями n;:

• обе оценки смещены относительно истинного СКО, получен­ного поданным генеральной совокупности, оценка σ_x1— больше, оценка σ_x2— меньше. При n > 50 смещение обеих оценок составляет примерно 0,5% и с уменьшением n растет, особенно при n < 5. Так, при n = 3, Δ_σ1=7,5%, а Δ_σ2 = 11,5;

• эффективность обеих оценок при n < 50 уменьшается, осо­бенно для оценки σ_x1. Так, при

n = 3 Е_σ1 = 0,93, а Е_σ2= 0,62.

Рис. 11

Для нормального закона распределения погрешностей эти ошибки в форме СКО определяются по формулам:

При п < 50 величина σ_х определяется с ошибками, достигающими десятков процентов. Кроме того, использование σ_x1вместо σ_х приводит к увеличению ошибок оценки на 10% и более (при п < 3). При п < 10 это завышение незначительно.

Оценка качества результатов измерения при недостаточности априорных данных должна быть ориентирована на самый худший случай. Тогда реальное значение будет всегда лучше и получение необходимого результата гарантируется.

Если закон распределения параметра и погрешности не изве­стен и нет оснований утверждать, что он близок к нормальному, но известно СКО погрешности измерения, то коэффициентами Стьюдента пользоваться нельзя. В этом случае доверительные ин­тервалы строят на основе неравенства Чебышева:

полагая симметричность фактического закона распределения. Тогда Δ=±ɣ_p σ-_x

где ɣ_p коэффициент Чебышева:

P	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	0.95
ɣ	1.4	1.6	1.8	2.2	3.2	4.4

__

Из формулы следует, что ɣ_p ≤1/√ Р_с , где Р_с — вероят­ность того, что отдельное случайное значение ряда измерений при любом законе распределения не будет отличаться от среднего зна­чения больше чем на половину доверительного интервала Δ.

Если значение СКО также не известно, но известно макси­мальное значение результирующей погрешности (например, по­грешность СИ), то это значение погрешности можно использо­вать в качестве оценки σ_х "сверху": Δ_си= 3σ_х

Следует отметить, что результаты измерений, не обладающие достоверностью, т. е. степенью уверенности в их правильности, не представляют ценности. Например, датчик измерительной схемы может иметь весьма высокие метрологические характеристики, но сияние погрешностей от его установки, внешних условий, мето­дов регистрации и обработки сигналов приведет к большой точной погрешности измерений.

Наряду с такими показателями, как точность, достоверность правильность, качество измерительных операций характеризу­ется также сходимостью и воспроизводимостью результатов. Эти Показатели наиболее распространены при оценке качества испытаний и характеризуют точность испытаний.

Очевидно, что два испытания одного и того же объекта оди­наковым методом не дают идентичных результатов. Объективной мерой их могут служить статистически обоснованные оценки ожи­даемой близости двух или более числа результатов, полученных при строгом соблюдении методики испытаний. В качестве таких статистических оценок согласованности результатов испытаний принимаются сходимость и воспроизводимость.

Сходимость — это близость результатов двух испытаний, по­лученных одним методом, на идентичных установках, в одной лаборатории.

Воспроизводимость отличается от сходимости тем, что оба результата должны быть получены в разных лабораториях. При доверительной вероятности Р = 0,95 сходимость определяется как r=2,77σ_cx, a воспроизводимость — R = 2,77σ_в.

Здесь σ_сх и σ_в — стандартные отклонения результатов испы­таний соответственно в условиях сходимости и воспроизводи­мости

где х, и х₂ -— результаты единичных испытаний в условиях сходи­мости y₁ и y₂ — результаты единичных испытаний в условиях вос­производимости.

Отдельные стандарты задают значения r и R..

Методы обработки результатов измерений.

Многократные прямые равноточные измерения

Последовательность обработки результатов измерений вклю­чает следующие этапы:

• исправляют результаты наблюдений исключением (если это возможно) систематической погрешности; _

• вычисляют среднее арифметическое значение х по формуле (4.1);

• вычисляют выборочное СКО σ-_x от значения погрешности измерений по формуле (4.2);

• исключают промахи;

• определяют закон распределения случайной составляющей;

• при заданном значении доверительной вероятности Р и чис­ле измерений п по таблицам определяют коэффициент Стьюдента t_p

• находят границы доверительного интервала для случайной погрешности Δ = ± t_p σ-_x;

• если величина Δ сравнима с абсолютным значением погреш­ности СИ, то величину Δ_си считают не исключенной систематической составляющей и в качестве доверительного интервала вычисляют величину

Если в результате измерительного эксперимента можно четко (выделить составляющие θ НСП, то Δ_Σ определяется по ГОСТ 1.207-76

____________

или, по упрощенной формуле: Δ_Σ =√( t_p σ-_x )²+ θ ²

_

• окончательный результат записывают в виде х = х ± Δ_Σ при вероятности P.

Неравноточные измерения

При планировании измерительных операций и обработке их ре­зультатов зачастую приходится пользоваться неравноточными из­мерениями (т. е. измерениями одной и той же физической величи­ны, выполненными с различной точностью, разными приборами, в различных условиях, различными исследователями и т. д.).

Для оценки наиболее вероятного значения величины по дан­ным неравноточных измерений вводят понятие "веса " измерения:

g_i = n_i /σ_i²,

где n_i и σ_i² — объем и дисперсия i-й серии равноточных измере­ний.

Тогда, если неравноточные измерения привели к результатам

x₁, x₂,…x_m ( x_j— среднеарифметическое ряда равноточных изме­рений; j < т), то наиболее вероятным значением величины будет се средневзвешенное значение:

_

Вероятность а того, что х_и лежит в пределах равноточных измерений ( х_и ± Δ_и ), определяется вышеприведенным методом для рав­ноточных измерений.

Однократные измерения

Прямые статистические измерения в большей мере относятся к лабораторным (исследовательским), например при разработке и ат­тестации методики, когда погрешность измерений выявляется в процессе проведения и обработки экспериментальных данных.

Для производственных процессов более характерны однократные технические прямые или косвенные измерения. Здесь процедура из­мерений регламентируется заранее, с тем чтобы при известной точ­ности СИ и условиях измерения погрешность не превзошла опреде­ленное значение, т. е. значения Δ и Р заданы априори. Поскольку измерения выполняются без повторных наблюдений, то нельзя от­делить случайную от систематической составляющей. Поэтому для оценки погрешности дают лишь ее границы с учетом возможных влияющих величин. Последние лишь оценивают своими границами, но не измеряют. На практике дополнительные погрешности, как правило, не учитываются, так как измерения осуществляют в ос­новном в нормальных условиях, а субъективные погрешности так­же весьма малы.

В принципе, однократные измерения достаточны, если не иск­люченная систематическая погрешность (например, класс точно­сти СИ) заведомо больше случайной. Практически это достигает­ся при Δ = (0,50,...,0,25)Δ_С. Тогда результат измерения записывают в виде

х = х_с. ± Δ_Σ при вероятности Р = 0,95, где х_си — результат, зафиксированный СИ;

___________

Δ_Σ =√ Δ_си²+Δ_мет²

суммарная погрешность измерения, определяемая классом точ­ности СИ (Δ_си) и методической погрешностью (Δ_мет).

Для уточненной оценки возможности применения однократ­ных измерений следует сопоставить суммарные погрешности, по­лучаемые при этом, с суммарными погрешностями многократ­ных измерений при наличии случайной Δ и не исключенной систематической составляющих. Учитывая, что

σ_Σ = √σ_о²+ σ_Δс² и σ_Δс =Σθ /√3

при многократных измерениях суммарное СК.О результата σ_Σи=К√σ_х/n+θ²/3

а, при однократных σ_Σ0=К√ σ_х +θ²/3

Изменение отношения

_____________

√1/n+⅓(θ/σ_х)²

γ(r)= σ_Σи/ σ_Σ0= ^{________________}

___________

√1+⅓(θ/σ_х)²

Рис. 12

в зависимости от θ/σ_х и числа измерений приведено на рис. 12 из графиков которого следует:

• при θ/ σ_х ≥ 8 отношение γ≈const и практически не зависит от n т. е. в этих условиях нет смысла в многократных измерениях, случайная составляющая пренебрежительно мала и определяю­щей является не исключенная систематическая составляющая;

• при θ/ σ_х < 0,8 функция γ (n) явно зависит от n , т. е. здесь суще­ственную роль играет случайная составляющая, не исключенная си­стематическая составляющая пренебрежительно мала и однократ­ные измерения недопустимы;

• при 0,8 < θ/ σ_х < 8 должны учитываться и случайная, и не иск­люченная систематическая составляющие.

В последнем случае композицию этих составляющих и погреш­ность результатов измерения находят по эмпирической формуле

Δ(P)=t_Σσ_Σ

где 't_Σ= Θ(P)+Δ(P) / σ_{х +}+θ /√3 — коэффициент, соответствующий q-му уровню значимости данной композиции;

_________

σ_Σ =√σ_x²- + θ /3 — СКО ком­позиции; θ (P) и Δ (Р) — соответственно не исключенная система­тическая составляющая и доверительная граница случайной погреш­ности при заданной доверительной вероятности Р.

Вычисление погрешности Δ(P) по формуле дает по­грешность не более 12%, но достаточно сложным способом. По­этому можно пользоваться упрощенной формулой _"

К оэффициент К_р находят в зависимости от доверительной ве­роятности P, принимаемой на уровне 0,95 или 0,99, следующим образом:

_o

Практически, если одна из составляющих Δ_с или Δ менее 5% общей погрешности, то этой составляющей можно пренебречь.

Алгоритм действий, например, при разработке и аттестации методик выполнения измерений с однократными измерениями заключается в следующем:

1. Предварительно устанавливают необходимую допускаемую погрешность Δ_g измерения.

2. Для самой неблагоприятной функции распределения — нормальной в соответствии

_o

с ГОСТ 8.207—76 находят Δ_с, Δ=2σ_x и принимают Р = 0,95.

_o

3. Находят значение погрешности Δ = 0,85( Δ + Δ_с) и сравнивают его с Δ_g.

Если Δ<0,8 Δ_g , то однократные наблюдения возможны с погрешностью до 20%.

Если 0,8 Δ_g <Δ<|Δ|, то полученное значение следует уточнить с уче­том Δ_с и σ_х.

При Δ_с/σ_х≤ 0,43 или Δ_с/σ_х ≥ 7 значение погрешности Δ

определяют по формуле Δ = 0,9( Δ +Δ_С). Если Δ<0,89 Δ_g, (*),то однократные измерения возможны с погрешностью не более 11%.

_o

В случае 0,43< Δ_с/σ_х<7 вычисляют Δ= 0,75(Δ + Δ_С), и если Δ<0,93 Δ_g (**)-однократные измерения возможны с погрешностью не более 7%.

Если соотношения (*) и (*) не соблюдаются, то опре­деляют "весомость " составляющих

_o

погрешности. При превалиру­ющей случайной составляющей Δ >Δ_С необходимо перейти к мно­гократным измерениям.

_o

При Δ <Δ_с нужно уменьшить методичес­кую или инструментальную составляющие (например, выбором более точного СИ).

Практически при однократных измерениях, чтобы избежать промахов, делают 2—3 измерения и за результат принимают сред­нее значение. Предельная погрешность однократных измерений в основном определяется классом точности Δ_си СИ. При этом, как правило, систематическая составляющая не превосходит Δ_с≤0,ЗΔ_СИ, а случайная Δ_С≤0,4Δ_СИ , поэтому, учитывая, что _o

Δ_изм = ± (Δ_С + Δ ), погрешность результата однократного измерения можно принять равной Δ_изм= 0,7Δ_СИ. Поскольку Δ_изм<3σ_х (σ_х —СКО параметра), то реально погреш­ность однократного измерения с вероятностью 0,90—0,95 не пре­взойдет (2—2,5)σ_х.