Раздел 3. Элементы теории устойчивости

3.1. Понятие устойчивости решения системы дифференциальных уравнений по Ляпунову. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя для системы двух уравнений.

а) [3, гл. 13];

3.2. Автономные нелинейные системы. Понятие о функции Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости.

Раздел 4. Уравнения математической физики

4.1. Понятие об уравнениях в частных производных. Решение линейных уравнений первого порядка в частных производных.

а) [3, гл. 18];

б) [15, гл. 2].

4.2. Уравнение колебаний струны. Решение задачи Коши методом Даламбера и методом разделения переменных.

а) [3, гл. 18];

б) [15, гл. 2].

4.3. Уравнение теплопроводности. Метод Фурье решения задачи Коши.

а) [3, гл. 18];

б) [15, гл. 2].

4.4. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.

а) [3, гл. 18];

б) [15, гл. 2].

4.5. Разностные уравнения первого и второго порядка. Примеры разностных схем. Общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка. Понятие о методе сеток решения краевых задач математической физики.

а) [15, гл. 6].

Раздел 5. Ряды

5.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия со сходящимися рядами.

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]

б) [11, № 246-254].

5.2. Числовые ряды с положительными членами. Достаточ­ные признаки. Условные сходимости математические: сравнения, Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши.

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]; [5, гл.XXI].

б) [12, гл. 1, § 1.2; 18, № 255-265].

5.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости, линейная Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]; [5, гл.XXI].

б) [11, № 266-270].

5.4. Функциональные ряды. Область сходимости. Понятие равномерной. Теорема сходимости Чебышева. Теорема. Вейерштрасса. Свойства рав­номерно сходящихся рядов.

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]; [5, гл.XXI].

б) [11, № 316-322].

5.5. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Основные свойства степенных рядов.

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]; [5, гл.XXI].

б) [11, № 335-345].

5.6. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора для функции

а) [2, гл. XVI]; [7, гл. 9]; [5, гл.XXI].

б) [11, № 360-364].

5.7. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям процессов: вычисление. Примеры значений процессов функций вычисление пределов, вычисление определенных интегралов.

а) [2, гл. XVI];

б) [11, № 372-378, 396-399, 718-725].

Раздел 6. Ряды Фурье. Преобразование Фурье

6.1. Измеримые множества и измеримые функции. Интеграл Лебега. Пространства суммируемых функций. Ортогональные системы функций. Тригонометрическая система ортогональных функций. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье. Формулировка условий разложимости в точке. Ус­ловие равномерной сходимости.

а) [2, гл. XVII]; [8, гл. 4],

б) [11, № 452].

6.2. Ряды Фурье для функций с произвольным периодом. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Разложение в ряд Фурье непериодических функций.

а) [2, гл. XVII]; [8, гл. 4],

б) [11, № 453-455].

6.3. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье, его свойства и применение.

а)[2, гл. XVII]; [8, гл. 4],

б)[11, № 468-473].