Решите самостоятельно следующие задачи:

5.1. Найдите обратную матрицу для матрицы

Подробнее о нахождении обратных матриц можно прочитать в [1] гл.4 [2], §15.

Задание №6

Задача №6 – задача решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

Пусть задана система четырех линейных алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными х₁,х₂,х₃,х₄

Требуется найти решение (х₁,х₂,х₃,х₄) этой системы.

Перед решением системы исследуем её на совместность. По теореме Кронекера – Капелли для совместности системы необходимо и достаточно, чтобы ранг основной Аи расширеннойА₁

матриц совпадали

r(A)=r(A₁).

Система будет определенной, если ранг совместной системы равен числу неизвестных n

r(A)=n=4

Если , то первое уравнение системы заменяем, на уравнение, в которома_i1=1

По методу Гаусса с помощью эквивалентных преобразований над строками расширенную матрицу А₁системы надо привести к матрице

В которой основная матрица Апринимает треугольный вид, т.е. на главной диагонали матрицыА все элементы равны единице, ниже – нулю. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

В процессе обратного хода из матрицы находим значения неизвестныхх_i, начиная с последнейx₄=b₄₅ и до первойx₁=b₁₅

Одновременно с прямым ходом по методу Гаусса можно определить ранги r(A) и r(A₁)

Пример 1. Пусть задана система

Решение: Так кака₁₁=0,IиIV(см. выше) уравнения системы меняем местами и записываем расширенную матрицу полученной системы

Выполняем последовательно следующие преобразования. В матрице каждый элемент Iстроки умножаем на(-2)и прибавляем к соответствующим элементамII строки; затем элементыIстроки умножаем на(-1)и складываем с соответствующими элементамиIIIстроки. В результате получаем:

В полученной матрице элементы IIIстроки делим на3 и затем элементыIIстроки умножаем на(-1)и складываем с элементами соответственноIIIиIVстрок:

Элементы IIIиIVстрок нашей матрицы меняем местами; элементыIIIстроки делим на(-1),затем умножаем на(3)и складываем с элементамиIVстроки

В этой матрице элементы IVстроки делим на(-4)

Полученной матрице соответствует система:

Из последнего уравнения системы х₄=2; изIIIуравнениях₃=2+х₄=2+2=4; изIIуравнениях₂=18-2х₄-2х₃=

из Iуравненияx₁=-6+2x₂+x₄=-6+2·6+2=8

Итак, решение системы равно (х₁,х₂,х₃,х₄)=(8;6;4;2).

Для избежание ошибок в решении студенту рекомендуется сделать проверку, подставив найденное решение (х₁,х₂,х₃,х₄) в каждое уравнение системы.

Найдем ранги и

Таким образом, определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Поскольку отличный от нуля определитель квадратной матрицы имеет размерность 4 х 4, то ранг матрицыравенr(А)=4.

В матрице вычеркиваем IV столбец и определяем ранг матрицы в приведенном к треугольному виде:

Отсюда r()= 4.

Следовательно, система совместна и определена.

Решите самостоятельно следующие задачи:

6.1. Решите следующую систему

Более подробно о решении систем уравнений методом Гаусса можно почитать в [1] гл.6 §7 , [2] §4. Найти подробные задачи можно в [3] гл.4 § 6 и § 7.