Решите самостоятельно следующие задачи.

15.1.

15.2.

15.3.

15.4.

15.5.

ЗАДАНИЕ №16

Следующая задача посвящена вычислению определённого интеграла, например:

Пример 1. Вычислить определенный интеграл

Решение:Определенный интеграл от любой непрерывный функцииf(x)вычисляется поформуле Ньютона-Лейбница

где F(x)– первообразная дляf(x).

Геометрически определенный интеграл представляет собой приплощадь криволинейной трапеции, ограниченной кривойy=f(x),осьюoxи прямымиx=aиx=b.

Проинтегрируем сначала соответствующий неопределенный интеграл по частям, положив u=x, dv=sin x dx.

И по формуле Ньютона-Лейбница получим:

Пример 2. Найти

Решение:Находя первообразную с помощью замены переменной при вычислении определенного интеграла, не следует забывать, что, изменив переменную, придется изменить и ее пределы интегрирования.

Обозначим , тогда,, но приx=0, t=0, а приx=4, t=2.Следовательно, в новом интеграле, относительно переменнойtизменяются пределы интегрирования:

но так как dt=d(t+1)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Площадь фигуры типа для которой, то есть, для правильной в направлении осифигуры на рисунке находятся по формуле

Для фигуры, правильной относительно оси на рисунке, то есть фигуры, которая ограничена

площадь находится по формуле

Решение: Решая совместно систему уравнений

найдем абсциссы точек пересечения наших кривых следовательно, пределы интегрирования будут равныa=-1, b=0.Поскольку наша фигура является правильной, как относительно, так и относительно, можно считать ее площадь по первой и по второй формуле. Будем считать по первой.

Тогда

Подробнее об определённых интегралах можно прочесть в [1] гл.XIII, [4] гл.11 и найти похожие задачи в [3] гл.10

Самостоятельно решите следующие задачи:

Вычислить:

Задание №17

Далее разберём задачу о вычислении несобственных интегралов.

Определённый интеграл, который рассматривался в предыдущей задаче, вычисляется при двух предположениях:

1. отрезок интегрирования [a,b]конечен

2. подынтегральная функция на этом отрезке непрерывна

При таких предположениях интеграл называется собственным интегралом. В том случае, если отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, интеграл называетсянесобственным интегралом.

Несобственный интеграл с бесконечными пределами.

Пусть функция f(x) в промежуткенепрерывна. Интегралом отf(x) в пределах междуназывается предел интеграла, взятого от, т.е.

Это несобственный интеграл.

Если конечный предел в правой части существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а функция f(x)- интегрируемой на. Если этот предел бесконечен или не существует, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл

для любогоa.

Пример 1. Вычислить

а)p1

Пример 2. Вычислим несобственный интегралили покажем, что он расходится.

Решение: Найдем неопределённый интеграл

Итак, предел существует, значит, несобственный интеграл I сходится и равен

Интеграл 2-го рода.

Если в интеграле функцияf(x) неограниченно возрастает, то естькогдаx приближается к одному из пределов интегрирования. Когда это происходит приxa, то.

Если подынтегральная функция перестаёт быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например в точке с то эту точкувырезают:

Пример 3. Вычислим

Решение:Когдаx2 подынтегральная функция. Точка x=2особая.

То есть интеграл расходящийся.

Подробнее с несобственными интегралами можно ознакомиться в[1]гл.XIV, [4] гл.11 и найти задачи на эту тему в [3] гл.10