2.1 Найти угол между прямыми

и

2.2 Даны уравнение двух сторон параллелограмма (ав) и(аd) и точка пересечения его диагоналей n(1,2). Найти уравнения двух других сторон этого параллелограмма. Задание №3

Для решения третьей задачи потребуются следующие понятия о кривых второго порядка: Пусть на плоскости имеется прямоугольная декартова система координат. Как было видно в предыдущей задаче, множество точек плоскости, удовлетворяющих равенству =0 является линией.

В примере №2уравнения были линейными (т.е. функцияявлялась многочленом первой степени), линия - прямой линией; то есть линиями первого порядка являлись прямые линии. В качестве функцииможет выступать и многочленвторой степени

такое уравнение – уравнение линии второго порядка.

ЭЛЛИПС

Если уравнение имеет вид

то кривая называется эллипсом (каноническое уравнение эллипса).Точка- центр эллипса. Точки (±,0),(0, ±) называются вершинами эллипса.

(<) – расстояние от центра до фокусов

Если ==0, то центр эллипса совпадает с началом координат и точки(-,0)и(,0)–левый и правый фокусы эллипса.

Число называется эксцентриситетом эллипса.

ГИПЕРБОЛА

Если уравнение имеет вид

>0,>0

кривая называется гиперболой (каноническое уравнение гиперболы)

Точка - центр гиперболы, Точки(±,0)-вершины гиперболы, При =0,=0,

Прямые = ±асимптоты гиперболы.

, >0.Точки(-,0)и(,0)фокусы гиперболы.

ПАРАБОЛА

Если уравнение имеет вид:

, где>0, то линия называется параболой(каноническое уравнение параболы)

,-координаты вершины параболы; При ==0 (,0 ) -фокус параболы; прямая

- директриса параболы.

На плоскости может быть введена не только декартова прямоугольная, но и полярная система координат.

Зададим точку О-полюс, осьZсодержащую точку Ои единицу длины осиZ.

Возьмем произвольную точку Мплоскости. Её положение на плоскости определяется двумя числами – расстояниемrотОдоМ(полярный радиус) и отсчитываемым против часовой стрелки угломφмежду лучомOMи лучом оси (полярный угол). Если поместить начало координат декартовой прямоугольной системы в полюс, то координаты будут связаны следующим образом.

Пример 1. Пусть в задаче №3

Построим заданную линию по точкам в полярной системе координат. В начале определим область допустимых значений (ОДЗ) независимой переменной φ. По определению полярной системы координат и.Точкеr = 0 соответствует полюс 0.

По условию задач угол φ может меняться от0до2π. Поэтому наибольшие размеры ОДЗ таковы. При этомr>0 (r0), т.к. числитель соответствующей дроби4>0. отсюда знаменатель этой дроби также должен удовлетворять неравенству

2-3cosφ > 0 илиcosφ < 2/3.

Решаем последнее неравенство

cosφ= 2/3 0,667;

0,667 +2πk,kN;φ =.

В промежуток попадают два значения φ₁=иφ₂ = -.

Отсюда для cosφ<2/3.

Следовательно, допустимые значения φпринадлежат промежутку от 3π/8 до 13π/8, т.е. ОДЗ:.

Результаты расчетов заносим в таблицу

φ	3π/8	π/2	5π/8	6π/8	7π/8	π	9π/8	10π/8	11π/8	12π/8	13π/8
cosφ	0.38	0	-0.38	-0.71	-0.92	-1	-0.92	-0.71	-0.38	0	0.38
r	4.75	2	1.27	0.97	0.84	0.8	0.84	0.97	1.27	2	4.75

Строим чертеж, откладывая на луче, проведенном из полюса О под определенным углом φ, соответствующие значения радиус-вектораrиз таблицы

rl(φ)

Для перехода к системе 0хувоспользуемся формулами.Имеем, следовательно

r(2-3cosφ)=4,

Определяем ОДЗ для х. Из ОДЗ: для φ>0.

Следовательно, 3х+4>0. Отсюда ОДЗ:х>-4/3.

Возводим правую и левую части равенства в квадрат и выделяем полный квадрат для переменной х:

4х²+4у²=9х²+24х+16;

(5х²+24х)-4у²+16=0;

5(х²+2;

(х+12/5)²-4/5у²-144/25+16/5=0;

(х+12/5)²-4у²/5=64/25

Окончательно получаем уравнение гиперболы

х> -

с центром в точке С(-12/5;0), а= 8/5,b = 4/.

Находим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет. Для этого систему координат 0ху параллельно перенесем в точку. Заменяя переменные

=х+12/5,=у,

получим в новой системе координат уравнение гиперболы с центром в

Получим координаты фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет гиперболы:

или,

Переходим в старую систему координат. Имеем:

.

Следовательно:

F₁(x;y)=F₁(=F₁(-24/5;0);

F₂(0;0), у =+

Совмещаем начало О системы координатОху с полюсом, отмечаем координаты фокусовF₁иF₂, проводим асимптоты и строим пунктиром левую ветвь гиперболы, т.к. точки гиперболы в полуплоскости слева от прямойх=-4/3 не удовлетворяют ОДЗх>-4/3.

Более подробное описание кривых второго порядка смотрите в [1] гл.3; в [2] §24.

В случае если уравнение не подходит под один из перечисленных выше частных случаев линии второго порядка требование задачи «назвать линию» следует опустить.

Решение аналогичных задач можно найти в [3] гл.1 §3.