Решите самостоятельно следующие задачи.

Найти:

10.1

10.2

10.3

10.4

ЗАДАНИЕ №11

Следующая задача контрольной работы такого типа:

Задана функция . Установить, является ли данная функция непрерывной.

В случае разрыва функции в некоторой точке найти её пределы слева и справа,классифицировать характер разрыва.Построить схематично график функции.

Любая элементарная функция непрерывна во всех точках своей области определения.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функциив точке

Скачок функциив точке

Пример 1. Пусть функцияимеет вид

Решение:Функцияопределена для всех. Если, то, поэтому для всехфункция непрерывна. Если,непрерывна для всех.Если,для всехтакже непрерывна. Поэтому точки разрыва могут быть только для тех значений, в которых заданная функцияменяет свой аналитический вид, а именно в точкахи.

Исследуем непрерывность функции в точке. Для этого найдём:

предел слева

,

предел справа

.

Так как пределы слева и справа конечны, равны между собой и равны значению функциив точке, то получаем, что функциянепрерывна в точке.

Пусть . Находим аналогично

предел слева

,

предел справа

Так как пределы слева и справа конечны, но не равны между собой, то в точке

функция имеет разрыв первого рода со скачком.

.

Строим график функции , выделяя области определения составляющих

функций стрелками, если они не определены в точке или.

Подробнее об этом можно прочесть в [4] гл.2 §9, 10, 11, [1] гл.8 и задачи такого типа можно найти в [3] гл.6§6.

Решите самостоятельно следующие задачи.

11.1 Исследуйте на непрерывность функцию

11.2 Какого рода разрыв имеет функция

в точке x=0 ?

Задание №12

Следующая задача относится к вычислению производных.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки «x».

Производной функции y=f(x)в точке «x» называется предел отношения приращения функциик соответствующему приращению аргумента, при стремлениик нулю.

Производная функцииf(x) в точкеxсуществует, еслиf(x) непрерывна в точкеxи

Для отыскания производных элементарных функций используется таблица производных основных элементарных функций и правила дифференцирования.

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Основные правила дифференцирования:

Для дифференцируемых в точке xфункцийf(x)иg(x)справедливы равенства:

Производная сложной функции где- промежуточный аргумент. Если существуюти, тоили

Производная обратной функции.Если для функцииy=f(x) существует обратная функция, которая имеет в точкеyпроизводную, тоили

Дифференцирование неявной функции.Пусть уравнениеопределяетyкак неявную функцию отx, т.е.y=f(x) – неизвестная дифференцируемая функция иF(x,y) сложная функция. Дифференцируем поxобе части и получаем уравнение первой степени относительно, из которого легко находится- производная искомой функции.

Производная параметрически заданной функцииx=x(t), y=y(t),- параметр. Если существуют производныеи, то

Пример 1. Найти производныеследующих функции:

а) , б), в)

Решение: а). Наша функция является суммой двух функций. Воспользуемся свойством производной суммы

Константу вынесем за знак производной и получим две производные сложных функций:

Поскольку внешняя функция в первом слагаемом – степенная, а во втором – натуральный логарифм, то для ,и,по формуле дифференцирования сложной функции получим:

б). Здесь мы воспользуемся свойством производной произведения двух функций, где- есть производная сложной функции, внешняя функция которой показательная, а внутренняя – степенная.

в),. Производную функции, заданной параметрически, находим, учитывая, что,- сложные функции.

Подробно о производных можно прочесть в [1] гл.9, [4] гл.3 и найти задачи можно в [3] гл.7 §1.