Задачи для самостоятельного решения

1. Уравнение плоскости преобразовать к виду в отрезках на осях.

2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р (1,2,-1) перпендикулярно прямой

Задание №2

Для решения второй задачи потребуются следующие понятия и формулы:

Аналогично тому, как мы действовали в трехмерном случае (в пространстве) при решении первой задачи, рассмотрим на плоскости прямую. Чтобы задать прямую, нужно задать точку, через которую она проходит и вектор, задающий направление: и.

M₀(x₀,y₀)

M(x,y)

Возьмем текущую точку прямой и рассмотрим вектор.

Вектор коллинеарен векторуи их координаты пропорциональны

- это условие и задаетуравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Перенесем все в левую часть и, обозначив числовые коэффициенты другими буквами, получим общее уравнение прямой

Взяв в качестве вектора вектор, соединяющий две точки прямойи,получимуравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

Выразив и обозначив коэффициент прибуквой, а остальные слагаемые буквой, получимуравнение с угловым коэффициентом

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых

Если есть отрезок , гдеии точкаделит его в заданном отношении, то есть

, то

координаты точки

;(формулы деления отрезка в заданном отношении)

Расстояние между точками ивычисляется по формуле, полностью аналогичной формуле расстояния в пространстве, только относительно двух переменных

Пример 1. Задан отрезок, где (-2,5),(4,17).

Определить координаты точки , расстояние от которой до точкив два раза больше, чем расстояние до точки.

По условию задачи

Координаты точки нам неизвестны, но она делит отрезокв отношении.

Итак , =2

Искомая точка имеет координаты

Пример 2. Прямыеиявляются сторонами треугольника, а точка- точкой пересечения третьей стороны с высотой, опущенной на неё. Составить уравнение третьей стороны.

а)Точка А является точкой пересечения прямых АВ и АС, т.е. лежит и на той и на другой прямой. Значит, её координаты должны удовлетворять и уравнению прямой АВ и уравнению прямой АС.

сложим уравнения

Итак, точка А (2,-3).

Высота АР– это прямая, проходящая через две заданные точкиАиР:

;

(АР)

то есть угловой коэффициент высотыАРравен -5

б) Прямая ВС перпендикулярна АР, значит её угловой коэффициент

.

Значит её уравнение с угловым коэффициентом имеет вид

(ВС) , гденеизвестно.

Но мы знаем, что прямая ВСпроходит через точкуР, - значит координаты точкиРобращают уравнениеВСв тождество.

Подставим координаты точки Р в уравнение ВС:

Итак, уравнение ВС:

или

Более подробно этот материал можно найти в глава 2;§7, §8; вглава 1 §2 можно найти аналогичные решенные задачи

Выполните следующие задания: