Задание №9

Чтобы решить задачу№9,необходимо уметь выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической их формах. Подробно прочитать об этих числах можно в [4] гл. 7.

Пример 1. Выполнить действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Решение: Алгебраической формой комплексного числаназывается следующий его видz=x+iy.Действия над комплексными числами в алгебраической форме производятся как над многочленами видаa+xb.Специфическим приёмом деления комплексного числа на комплексное число является домножение и числителя и знаменателя на комплексно сопряжённое знаменателю число. В результате частное не изменится, но делитель будет вещественным.

Заметим что

Пример 2. Найти тригонометрическую форму числа. Найти:

Решение: Выражение виданазываетсятригонометрической формой числа z,где модулемzназывают, аргументомz – угол между радиус-вектором точкиz и положительным направлением осиОх.

Очевидно, что если |z|r, arg z , то действительная часть числа z Re z x rcos,а мнимая часть числа z Jm z yr sin 

Таким образом, в терминах модуля и аргумента комплексное число можно представить в виде

Для определения тригонометрической формы комплексного числа zнайдёмr,

Та как sin иcosуглаотрицательны, делаем вывод, что угол находится в III четверти

Вычислим по формуле Муавра

1²⁰=1

Пример 3. Решить уравнение

Известно, что корнем n-степени из числаz называется любое число, такое, чтои ω имеетn различных значений.

Решение: если числоz представить в тригонометрической форме

то значения можно представить формулой

Поскольку всеодинаковы, а аргументы отличаются на 2П/n, то значенияна комплексной плоскости располагаются в вершинах правильного nугольника. Величинаназывается главным значением корня

Итак, корнями уравнения будут три единичных вектора, расположенных под углом в 120 градусов друг к другу.

Решить самостоятельно следующие задачи:

1. . Найти все значения

2. . Найти все значения

Задание №10

Для решения контрольной работы №2 по математике или контрольной работы №1 по математическому анализу (для специальности ЭВМ) надо изучить разделы, посвященные пределам функции одной переменной и ее производной.

Пределом функции приназывается число «а» такое, что для любогоможно найти такое число, что для любого «x» из промежуткабудет выполняться неравенство. Имеют место следующие свойства пределов: при, имеющие место и при:

если существуют и не бесконечны , то

и следующие замечательные пределы

Решим задачи, подобные задачам из контрольной работы:

Пример 1.Найти пределL=

Решение:Имеем неопределённость вида.

Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов, при следует в числителе и в знаменателе дроби вынести за скобки самую высокую входящую в них степень аргумента, а затем сократить дробь.

Вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшую степень аргумента

Так как ипри, то предел числителя приравен 3. Предел знаменателя равен 0. Следовательно, предел дроби равен.

Ответ: L=

Пример 2. Найти .

Решение: Здесь неопределённость вида.Если к такой неопределённости сводится предел отношения двух многочленов при, нужно и в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (x-x₀) и сократить на него числитель и знаменатель дроби.

Выделяем критический множитель (x-3)

Опять возникла та же неопределённость. Действуя аналогично, получаем:

Ответ: .

Пример 3. Найти

Решение:Неопределённость. В этом случае нужно либо в числителе, либо в знаменателе дроби избавиться от иррациональных выражений, которые в точкеобращаются в нуль.

Чтобы раскрыть эту неопределённость, умножим и разделим дробь на выражение, сопряжённое числителю.

.

Теперь неопределённость создаёт критический множитель.

Выделим его в числителе и знаменателе дроби, а затем сократим на него числитель и знаменатель.

Ответ: L=.

Пример 4. Найти пределы а) б).

Решение:Неопределённость вида.

а) При . Умножая и числитель, и знаменатель дроби на 8, приведём заданный предел к первому замечательному пределу.

Иногда для раскрытия неопределённости приходится предварительно применять тригонометрические формулы.

В случае б) в числителе воспользуемся формулой и получим

Полагая и учитывая, чтопри, окончательно получим

Ответ: а) , б).

Пример 5. Найти предел .

Решение:Неопределённость вида.Для раскрытия этой неопределенности

используется второй замечательный предел.

Выделяем в круглых скобках целую часть

Обозначим . Если, то и. Далее показатель степени умножаем и делим на.

Делаем замену переменной и. Находим предел показателя степени

.

Ответ:

Более подробно о пределах функции можно почитать в [4] глава 2; [1] глава 8 и задачи о пределах можно найти в [3] гл.6 §4.