Следующие задачи решите самостоятельно.

Найдите частные производные функций:

Задание №20

Продолжим рассмотрение функции нескольких переменных. Полное приращение функции определяется по формуле: где- приращения независимых переменных. По определению приращения независимых переменныхи их дифференциалыdx, dy, dz – числа равные между собой.

. Полный дифференциал функции

(То есть в случае функции двух переменных). Полный дифференциал функции есть главная часть её приращения, линейная относительно , то естьили жедля функции трёх переменных илидля функции двух переменных. Подробнее

(*)

где .

Подробнее о дифференциале функции нескольких переменных можно прочесть в [4] гл.8 или в [1] гл.15

Пример 1. Даны функциии точкаМ(1,02;2,05). С помощью полного дифференциала вычислить приближенное значение функции в точкеМи оценить относительную погрешность.

Решение: Приближенное значение некоторой функцииf(x,y) в точке(x,y)с помощью полного дифференциала находится по формуле (*)

,

где , значение функцииf(x,y) в точке.

Точка подбирается таким образом, чтобылегко вычислялось;,приращение функцииf(x,y)в точкепо переменнымxиyсоответственно.

В качестве точки возьмем точкуN(1,2),так как значениеxиyв точкеNцелые и точкаNблизка к данной точкеM.

Тогда

в точке

в точке

Вычислим точное значение

Итак, принимая вместо точного значения 3,9979 значение , мы допускаем абсолютную погрешностьили относительную погрешность

Решите самостоятельно следующие задачи:

1. Найти полное приращение и полный дифференциал функции

2. Найти полный дифференциал функции

Задание №21

Следующая задача об экстремумах функций двух переменных и об отыскании наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных. Функция ограниченная и дифференцируемая в замкнутой области достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения или во внутренних точках этой области, которые являются точками стационарности функции или на её границе. Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, надо:

1. Найти стационарные точки функции, для чего следует решить систему уравнений

2. Вычислить в стационарных точках значения функции

3. Найти наибольшие и наименьшее значение функции на каждой линии, ограничивающей область;

4. Сравнить все полученные значения. Наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в замкнутой области.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функциив ограниченной замкнутой области D:

Решение:Точкаявляютсяточкой экстремума (максимума или минимума)функцииz=f(x,y),если значение функции в этой точке соответственно больше или меньше значений, принимаемых ее в некоторой окрестности точки, то есть при всехxиy достаточно близких ки. ТочкаP, координаты которой обращают в нуль обе частные производные функцииf(x,y)называются стационарной точкой этой функции.

1. Найдем стационарные точки функции z(x,y)

Стационарная точка yфункцииzодна. Это точка 0.

2. Входит ли точка (0,0)в областьD? Построим эту область.

- - парабола с вершиной в точке(0,-4).Точки пересечения с осьюx:,,

- y=0– осьx.

Точка (0,0)входит в областьD. Установим, является ли стационарная точка0точкой экстремума. Это делается так: Пустьстационарная точка функцииz=f(x,y).Вычислим в этой точке

..

Если , то функцияf(x,y)имеет в точкеэкстремум:

max-приA<0 иminприA>0.

Если , то точкане является точкой экстремума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Исследуем нашу функцию zпо формулам.

3.

, точка (0,0) не является точкой экстремума.

4.Исследуем поведение функции на границе.

Так как Z не имеет ниmaxни min, ее наибольшим и наименьшем значением является наибольшее и наименьшее из значений, принимаемых на границе.

Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее из значений, принимаемых на границе.

4а.Рассмотрим верхнюю границуy=1. На ней функцияZ(x,1)превращается в

,в этой точке возможен экстремум. Знак производной меняется с – на +, то есть в точке- минимум z =-2.25

при

В точке

4б.Рассмотрим нижнюю границу

В точке производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума

В точке производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума. Прифункцияzуже вычислялось. Видим, что отфункция убывает до, затем возрастает доа затем убывает до.

То есть наименьшее значение для всей границы , а наибольшее

Ответ: Наибольшее значение функции zв замкнутой областиD, наименьшее.

Подробнее об этом можно почитать в [1] гл.XV, [4] гл.8, и найти аналогичные задачи в [3] гл.8