Задание №5

Задача №5 – это задача нахождения обратной матрицы.

Какие операции можно выполнить над матрицами?

Сложение матриц:

Умножение матрицы на число:

Умножение матриц:

Транспонирование матриц:

То есть элемент матрицы находящийся в позиции совпадает с элементом матрицыА, находящимся в позиции . Таким образом строки матрицы Апереходят в столбцы , а столбцы – в строки.

Нахождение определителя (для квадратных матриц):

Для нахождения определителя третьего порядка мы пользовались в предыдущих задачах формулой:

,

Т.е. умножили элементы первой строки на определители, которые останутся от исходного определителя третьего порядка, если вычеркнуть этот элемент вместе со своей строкой и столбцом.

Определителем матрицы n-го порядка

называется числоD

Где – элементы первой строки, знак совпадает со знаком

–минор – то есть определитель,матрицы порядкаn-1, полученной вычеркиваниемi-ой строки иj-го столбца.

Таким образом

– формула разложения определителя поi-ой строке.

Число назовем алгебраическим дополнением элемента . И тогда формулу определителя можно написать в виде:

Нахождение обратной матрицы(если ):

, где – алгебраическое дополнение элемента

Для обратной матрицы

, гдеЕ– единичная матрица

.

Можно построить обратную матрицу методом Жордана. Для этого следует составить расширенную матрицу (А/Е). Если подвергнуть строки этой матрицы элементарным преобразованиям (сложение и умножение на число) с целью получить на месте матрицы Аединичную матрицуЕ, то на месте матрицыЕполучится – обратная кА.

Пример 1. Вычислим матрицу обратную матрице .

Решение. Вычисляем определитель матрицыА

Следовательно, матрица А^-1 существует.

Алгебраические дополнения элементов а_jiисходной матрицы вычисляем по столбцам матрицыА

Записываем их в строки матрицы А^-1

Делаем проверку:

,,

,

В самом деле:

Проверим наши вычисления по методу Жордана.

Составим расширенную матрицу

B =

Первый столбец

Наша цель – чтобы первый столбец выглядел так , т.е. надо уничтожить тройку во второй строке. Для этого первую строку умножаем на3и вычитаем из второй

Второй столбец

Теперь надо, сделать второй столбец таким же, как второй столбец матрицы Е, т.е. надо чтобы второй столбец был таким.

Для этого вторую строку умножим на

.

Теперь надо уничтожить 2в первой строке и1в третьей строке.

Умножаем вторую строку на 2и вычитаем из первой. Результат записываем на место первой строки. Вторую строку оставляем на своем месте. Из третьей строки вычитаем вторую строку, результат записываем на место третьей строки.

.

Третий столбец

Третий столбец у единичной матрицы должен быть таким , то есть все три строки придется менять. Разделим третью строку на

.

Теперь уничтожим в первой строке. Для этого третью строку умножим наи вычтем из первой. Результат запишем на место первой строки.

Теперь в третьем столбце от столбца единичной матрицы отличается только элемент второй строки. Это . Чтобы на этом месте был ноль, добавим ко второй строке третью, умноженную на. Результат впишем на место второй строки.

.

Теперь сократим все дроби, где это возможно

.

Действительно, мы получили матрицу .