- •Гоу впо Кубанский государственный технологический университет
- •Пугачев в.И.
- •Рецензенты:
- •Isbn © Пугачев в.И., 2010
- •1.2 Основные элементы сау
- •1.4 Замкнутые и разомкнутые сау
- •1.5 Статика и динамика регулирования
- •3.2 Типовые звенья сау
- •Апериодическое звено
- •3.3 Основные законы регулирования
- •4.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •4.3 Частотный критерий устойчивости Михайлова
- •4.4 Критерий устойчивости Найквиста - Михайлова
- •4.5 Устойчивость сау с запаздыванием
- •5.3 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров
- •6.2 Интегральные оценки качества сау
- •7.2 Введение интеграла в закон регулирования
- •7.3 Создание инвариантных сау
- •7.4 Создание комбинированных сау
- •8 Цифровые системы управления
- •8.1 Способ управления с помощью эвм
- •8.2 Решетчатые функции и разностные уравнения
- •8.3 Дискретная передаточная функция
- •8.4 Получение оригинала по -преобразованию.
- •8.5 Цифровые аналоги типовых законов управления
- •8.6 Анализ цифровых систем управления
- •8.7 Анализ устойчивости цифровых систем.
- •9 Нелинейные системы
- •9.1 Основные типы нелинейностей
- •9.2 Устойчивость нелинейных систем
- •Общие положения об устойчивости нелинейных систем
- •9.3 Устойчивость релейных систем
5.3 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров
Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используются критерии устойчивости. Рассмотрим применение одного из них для выделения области устойчивости по одному и двум параметрам.
Критерий устойчивости Гурвица.
Пусть САУ имеет один параметр настройки . Для выделения области значений , обеспечивающих устойчивость САУ запишем все условия устойчивости - положительность всех главных диагональных миноров до «» при . В частном случае может входить и в . Равенство нулю миноров соответствует границе устойчивости.
Если построить зависимости , , то значение параметра , удовлетворяющие условию устойчивости, будет лежать на оси абсцисс в той области значений , для которых миноры положительны (рисунок 5.3).
Рисунок 5.3 – Пример выделения области устойчивости по критерию Гурвица
Если САУ имеет два параметра настройки и , то приравняв нулю получим уравнение границы устойчивости в плоскости двух параметров. Задаваясь значениями одной из них, по каждому уравнению можно найти значение другого и построить линии границы устойчивости. При этом плоскость параметров и будет разделена на области. Для определения области, удовлетворяющей условию устойчивости, необходимо из каждой области взять одну точку и проверить на устойчивость (рисунок 5.3).
Пример.
, , .
, .
Характеристическое уравнение замкнутой САУ
, , , .
Определитнль Гурвица:
.
, всегда положителен при Т1>0.
. .
.
.
График области устойчивости САУ в плоскости параметров К1, Т1.
6 КОСВЕННЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА САУ
6.1 Оценка качества САУ по расположению корней характеристического уравнения
Рассмотрим характеристическое уравнение САУ:
. (6.1)
Если при имеем , то ему соответствует составляющая переходного процесса:
, (6.2)
если есть пара комплексно-сопряженных корней , то для них
. (6.3)
Как видно из выражений (6.2) и (6.3), интенсивность затухания переходного процесса определяется величиной отрицательной вещественной части корня. Потребуем, чтобы все составляющие переходного процесса за время уменьшилась не менее чем в раз. Тогда
. (6.4)
Поскольку огибающей составляющей переходного процесса является экспонента, за которую кривая не выходит, то, предположив, что точки и находятся на ней, получим:
. (6.5)
откуда . (6.6)
Условие (6.6) указывает на то, что если по модулю отрицательная часть всех корней характеристического уравнения (6.1) будет не менее , т.е. все корни будут располагаться левее прямой, проведенной на комплексной плоскости параллельно оси ординат на расстоянии слева, то каждая составляющая переходного процесса уменьшается за время не менее чем в раз (рисунок 6.1).
Для того чтобы все корни характеристического уравнения (6.1) находились левее прямой , проведенной на расстоянии, обеспечивающим требуемую абсолютную степень затухания, необходимо, чтобы преобразованное характеристическое уравнение заменой удовлетворяло условию устойчивости. Для рисунка 6.1 справедливы соотношения: .
Заменив в (6.1) на , получим:
. (6.7)
Применяя к (6.7) критерий Гурвица, определяем выполнение условия требуемой абсолютной степени затухания. Рассматриваемое условие может быть проверено с помощью критерия Михайлова.
Если , то САУ обладает требуемой абсолютной степенью затухания.
Иногда требуется уменьшение амплитуды гармонических колебаний каждой составляющей переходного процесса за период в раз. В этом случае
, (6.8)
или , где , поэтому . (6.9)
Для выполнения указанного условия необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в секторе, ограниченном лучами, проведенными под углом к мнимой оси (рисунок 6.1).
Проверка этого условия может быть произведена с помощью критерия Михайлова. В данном случае вектор должен скользить по лучам и при изменении от до .
Рисунок 6.1 - Область требуемой абсолют- Рисунок 6.2 - Интералная
ной и относительной степени затухания оценка качества САУ
Можно потребовать чтобы САУ одновременно удовлетворяла условию абсолютной и относительной степени затухания. В этом случае корни характеристического уравнения должны находиться в области, ограниченной двумя лучами проведенными под углом к мнимой оси, проведенной слева от нее на расстоянии .