4.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

Приводится без доказательства. Если характеристическое уравнение САУ имеет вид (4.2), то система автоматического управления будет устойчива, если при будут положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица до порядка.

Определитель Гурвица составляется следующим образом: по диагонали записывают коэффициенты от до , над диагональю записывают коэффициенты с возрастающим индексом, под диагональю - с убывающим, недостающие коэффициенты заменяются нулями. Например, для системы, имеющей характеристическое уравнение 4-й степени, получим

. (4.5)

Поскольку , то при соблюдении необходимого условия устойчивости (положительность всех коэффициентов) достаточно чтобы положительными были диагональный минор. Очевидным является также утверждение, что при будет иметь место нулевой корень характеристического уравнения, т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Если , а , то в характеристическом уравнении будут чисто мнимые корни, и она также будет на границе устойчивости. При этом все главные диагональные миноры до порядка должны быть положительными.

Пример.

Пусть характеристическое уравнение системы:

,

тогда: , , , , .

Определитель Гурвица:

.

Главные диагональные миноры: , , , .

, .

Следовательно, система устойчива.

При высокой степени характеристического уравнения или при наличии звена чистого запаздывания, когда характеристическое уравнение становится трансцендентным из-за члена вида , удобнее, а при трансцендентном характеристическом уравнении единственно возможным, являются частотные критерии Найквиста-Михайлова, обладающие простой геометрической интерпретацией.

4.3 Частотный критерий устойчивости Михайлова

Если в характеристическом уравнении (4.4), (4.2) положить , то получим годограф Михайлова

(4.6)

Найдем угол поворота элементарного вектора при изменении  от до (рисунок 4.1). При этом могут быть два случая: корень находится в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеет отрицательную вещественную часть; корень находится в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Если корень в левой полуплоскости, то при вектор направлен вниз. При увеличении вектор поворачивается против часовой стрелки ( в положительном направлении ) и при направлен вверх, т.е.

Если корень находится в правой полуплоскости, то вектор повернется аналогично предыдущему случаю только по часовой стрелке, т.е.

Вектор представляет произведение элементарных векторов (4.6), поэтому, если все корни характеристического уравнения (4.2) находятся в левой полуплоскости комплексной полуплоскости, т.е. САУ устойчива, то

Из выражения (4.6) следует, что

(4.7)

где

Вещественная часть равна есть частная функция , поэтому ветвь , построенная при изменении от до 0, будет симметрична ветви при изменении от 0 до . Поэтому нет смысла изменять от до достаточно построить при изменении от 0 до . При этом приращение аргумента будет в два раза меньше. Если САУ имеет характеристическое уравнение, корни которого находятся в левой полуплоскости, то

Поскольку необходимое условие требует положительности и наличия всех коэффициентов характеристического уравнения, то для устойчивой САУ .

САУ будет устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) "" квадрантов при изменении от 0 до ,

где - степень характеристического уравнения.

Рисунок 4.1 - Вращение элементарных векторов

Годограф Михайлова для устойчивых САУ при изображены на рисунке 4.2. Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то САУ находится на границе устойчивости. При этом, если он начинается с нуля, то это указывает на наличие нулевого корня, если годограф начинается на положительной вещественной полуоси, но затем проходит через начало координат, то это значит имеются мнимые корни в характеристическом уравнении.

Если годограф Михайлова непоследовательно проходит квадранты комплексной плоскости или проходит не "" квадрантов, то САУ неустойчива.

Рисунок 4.2 - Виды годографов Михайлова

Пусть характеристическое уравнение n-й степени имеет m корней в правой полуплоскости. Тогда

Итак, критерий устойчивости Михайлова позволяет не только анализировать устойчивость замкнутых и разомкнутых САУ, но и находить число неустойчивых корней

.

Для устойчивой САУ очевидным является свойство чередуемости и вещественности корней и .