6.2 Интегральные оценки качества сау

Наиболее простым интегральным критерием качества САУ является критерий учитывающий интеграл отклонений регулируемой величины.

, (6.10)

где . Здесь - регулируемая величина, - установившееся значение регулируемой величины (рисунок 6.2). Этим критерием можно пользоваться только в случае знакопостоянства . САУ тем лучше, чем меньше , т.е. чем меньше площадь, ограниченная кривой и прямой . В пределе она может быть равна нулю, когда выходная величина устанавливается мгновенно на новом заданном значении.

Вычислить интеграл (6.10) можно двумя способами. В первом способе учитывается то, что является фактически свободной составляющей процесса, поскольку отсчитывается от нового установившегося состояния.

Если имелось исходное дифференциальное уравнение

, то, сделав замену , мы получим однородное дифференциальное уравнение

. (6.11)

Выражение (6.14) с учетом уравнения (6.15) можно записать так :

.

Так как , то

.

Поскольку при имеем новое установившееся состояние, от которого производим отсчет, то

и

. (6.12)

Второй метод вычисления предложил в 1940 академик В.С. Кулебакин.

Пусть САУ имеет передаточную функцию

и (6.13)

Тогда .

Поскольку , то, устремив к нулю, получим

.

По теореме о конечном значении оригинала функции

.

С учетом полученного результата получим формулу (6.18):

(6.14)

Этой формулой можно пользоваться при нулевых предначальных условиях, в то время как на выражение (6.16) это условие не распространяется.

Интегральный квадратичный критерий качества

(6.15)

Идея его использования принадлежит Л. Н. Мандельштаму и Н. Д. Папалекси (1907-1910 гг.). Оценка качества САУ по может производиться для случая колебательных систем (рисунок 7.5). Однако частота колебаний при этом не учитывается. Параметры САУ стремятся выбрать так, чтобы квадратичная оценка приняла минимальное значение. Для этой цели выражают через эти параметры и затем ищут их значения, минимизирующие значения из уравнений:

; , ,

где , , - варьируемые параметры.

Лишен недостатка, присущего , улучшенный квадратичный критерий качества:

, (6.16)

где - некоторая постоянная времени, учитывающая долю влияния скорости изменения регулируемой величины на .

При получаем обычный квадратичный критерий качества.

Оптимальный вид переходного процесса для представляет скачок, как и возмущение . Для улучшенного квадратичного критерия, как доказал А.А. Красовский, оптимальным является переходный процесс, изменяющийся по экспоненте с постоянной времени, равной :

. (6.17)

Из выражения (6.21) следует, что достигает максимума,

если . Это возможно в том случае, когда , или .

Для конкретной системы это условие может оказаться недостижимым, когда . В выражение для входят параметры регулятора, поэтому выбирают их из условия минимума , как в предыдущем случае.

7 УЛУЧШЕНИЕ КАЧЕСТВА САУ

7.1 Введение производной в закон регулирования

Рассмотрим систему, изображенную на рисунке 7.1. Здесь пунктиром показано корректирующее звено с передаточной функцией .

Передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ . При анализе устойчивости САУ по критерию Найквиста - Михайлова строится АФХ разомкнутой системы . После введения корректирующего звена результирующая передаточная функция разомкнутой системы будет . При этом ее АФХ также изменится. Обозначим ее :

. (7.1)

Из выражения (7.1) видно, что наличие производной приводит к деформации исходной АФХ за счет добавления к каждому вектору дополнительного вектора , направленного перпендикулярно исходному в положительном направлении, рисунок 7.2. (против хода часовой стрелки).

На рисунке 7.2 деформированная АФХ пересекает отрицательную вещественную ось правее исходной, т.е. введение производной может увеличить запас устойчивости по модулю. Однако это не всегда так. В зависимости от формы и выбора величины наличие производной может как повысить, так и понизить запас устойчивости по модулю (удалить или приблизить АФХ к критической точке на комплексной плоскости ).

Введение производной повышает быстродействие САУ.

Действительно, пусть . Тогда, подобрав ,

Рисунок 7.1 - Структурная схема инвариантной САУ

Рисунок 7.2 - АФХ исходной САУ и при введении производной

получим систему, на выходе мгновенно воспроизводящую входной сигнал. Передаточная функция замкнутой системы

.

В итоге система превращается в усилительное звено, мгновенно воспроизводящее во времени и по форме входной сигнал.

Для системы с после коррекции получаем . Характеристическое уравнение замкнутой САУ: . Условие устойчивости по Гурвицу .

Предельное значение , при котором исходная система приходит к границе устойчивости: . Для скорректированной САУ , т.е. . Это позволяет увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы и таким образом, снизить статическую погрешность САУ.