8.2 Решетчатые функции и разностные уравнения

Решетчатой называется функция, которую образуют ординаты непрерывной функции , соответствующие дискретным рав­ноотстоящим друг от друга значениям независимой переменной, рисунок 8.2. Она равна нулю, когда и обозначается ;

- период дискретности; - любое целое число.

Рисунок 8.2 - Вид непрерывной и решетчатой функции

Для выявления поведения непрерывной функции между дискрет­ными моментами вводят промежуточное фиксированное время , которое может изменяться от до .

Такая функция называется смещенной.

Использовав относительное время, решетчатую функцию запишем , или , где может изменяться в пределах от до .

Скорость изменения решетчатой функции характеризуется ее первой разностью:

. (8.3)

Разность второго порядка, или вторая разность

,

или

.

Разность -того порядка определяется выражением

, (8.4)

где - биномиальные коэффициенты.

При рассмотрении цифровых систем используются разностные уравнения, определяющие соотношения между дискретной функцией и ее разностями различных порядков . Их можно записать так:

,

или

,

где - известная дискретная функция.

При воздействии на линейную часть прямоугольных импульсов, имеющих разрывы, интегрирование возможно проводить для линейных уравнений только в промежутках времени, где разрывы отсут­ствуют. Это связано с тем, что наличие разрывов приводит к из­менению постоянных интегрирования, которые определяются два ра­за за период. Этот метод построения переходного процесса явля­ется слишком громоздким и возможен для конкретных цифровых рас­четов, исключающих анализ и синтез в общем виде.

Применение разностных уравнений позволяет избежать указан­ных недостатков. Рассмотрим методику получения уравнений в ко­нечных разностях.

Разностное уравнение характеризует связь между переменными, разделенными целым числом периодов. Для возможности проведения анализа всей системы необходимо иметь все уравнения динамики в одной форме (например, в виде разностных уравнений). Найдем уравнение объекта в виде разностного уравнения. Для этого ре­шим дифференциальное уравнение объекта

(8.5)

Пусть ,

тогда ; ; .

Постоянную интегрирования найдем из граничных условий в начале и конце периода.

При

(8.6)

В итоге получили разностное уравнение (8.6).

При решении системы разностных уравнений возникает необхо­димость исключения промежуточных переменных. Это удобно выпол­нять оперативным методом. С этой целью каждую переменную представим в виде , (8.7)

где k – смещение решетчатой функции.

.

В итоге получили алгебраическое уравнение.

8.3 Дискретная передаточная функция

Если динамическая система описывается дифференциальным уравнением, то его можно представить уравнением в конечных разностях вида:

.

Используя теорему о смещении решетчатой функции в -преобразовании при нулевых начальных условиях получим:

.

Отношение -преобразования выходной величины к -преоб­разованию входной при нулевых начальных условиях называется дискретной передаточной функцией.

Для статических объектов коэффициент усиления можно найти используя теорему о конечном значении оригинала функции.

; (8.8)

. (8.9)

Для физической реализации алгоритмов вычисления значений решетчатой функции необходимо использовать левые разности, которые учитывают предыдущие а не последующие значения решетчатой функции при вычислении разностей.

;

.

В этом случае передаточные функции будут полиномами в отрицательных степенях. Если имеется передаточная функция с полино­мами, имеющими в положительной степени, то их легко перевести в передаточные функции с отрицательными степенями . Для этого необходимо умножить числитель и знаменатель на Поскольку , то в числителе не может оказаться положитель­ных степеней .

. (8.10)

Системы с астатизмом содержат интегральную составляющую, следо­вательно они имеют полюс при .

. (8.11)

Если на такую систему действует входной сигнал , то уста­новившаяся скорость изменения выходного сигнала будет равна

. (8.12)

Если система имеет чистое запаздывание , , то согласно теореме о сдвиге влево соответствующая импульсная передаточная функция ,

где , - период дискретности.

В итоге дискретная передаточная функция принимает вид: .