3.3 Основные законы регулирования

Будем считать, что на вход регулятора подается сигнал рассогласования между заданным и действительным значением регулируемой величины :

. (3.28)

Кроме того, рассмотрим законы регулирования идеальных регуляторов, т.е. таких, какими стремятся их сделать. Однако конструктивные особенности, условия физической реализуемости, наличие промежуточных неидеальных звеньев приводят к появлению дополнительных балластных звеньев типа апериодических, искажающих желаемые свойства регулятора.

В настоящее время промышленные регуляторы реализуют следующие основные законы регулирования: П - пропорциональный, И - интегральный, ПИ - пропорционально-интегральный ПД - пропорционально-дифференциальный, ПИД - пропорционально – интегрально - дифференциальный.

Для идеального регулятора, реализующего П - закон регулирования справедливо соотношение

, (3.29)

где - неравномерность регулятора - то изменение регулируе­мой величины, которое обеспечивает полный ход регулирующего органа.

С учетом инерционности измерителя уравнение динамики пропорциионального регулятора:

(3.30)

Коэффициенты имеют размерность времени.

В установившемся режиме при имеем .

Если постоянные времени и малы по сравнению с постоянной времени объекта и ими можно пренебречь, то получаем выражение (3.29). Знак минус указывает на то, что при увеличении регулируемой величины регулирующий орган закрывается. Неравномерность регулятора может быть абсолютной (в единицах регулируемой величины) и относительной (по отношению к максимальному или номинальному значению регулируемой величины). Величина, обратная неравномерности, называется коэффициентом усиления регулятора и представляет отношение приращения выходной величины к приращению входной в установившемся режиме.

(3.31)

Характеристики идеального пропорционального регулятора ана­логичны характеристикам усилительного звена.

Интегральный регулятор

Описывается уравнением

(3.32)

где - постоянная времени интегрирования, является настроеч­ным параметром регулятора. Характеристики его аналогичны характеристикам идеального интегрирующего звена.

Пропорционально-интегральный регулятор

Может быть реализован с независимыми параметрами настройки :

(3.33)

и с зависимыми:

. (3.34)

В случае (3.33) называется постоянной времени интегри­рования и есть время, через которое выходная величина за счет интегральной составляющей достигнет значения входного воздействия. Проинтегрировав (3.33), получим

.

При второе слагаемое равно , т.е. входной величине.

В случае (3.44) называется временем изодрома или временем удвоения. Проинтегрировав (3.34), получим

.

При второе слагаемое, получаемое за счет интегральной составляющей, достигает значения выходной величины, получаемой за счет пропорциональности составляющей, а на выходе регулятора результирующий сигнал удваивается.

Записав выражения (3.33) и (3.34) в операторной форме, легко получить передаточную функцию регулятора:

или из выражения (3.34):

(3.35)

В дальнейшем рассмотрим свойства ПИ-регулятора, имеющего передаточную функцию вида (3.34). АФХ регулятора:

(3.36)

где .

АФХ регулятора изображена на рисунке 3.5.

Рисунок 3.5 – АФХ ПИ - регулятора

Пропорционально-дифференциальный регулятор

Связь выходной и входной величин определяется соотношением

(3.37)

где - постоянная времени дифференцирования.

Передаточная функция имеет вид

(3.38)

Амплитудно-фазовая характеристика

(3.39)

На комплексной плоскости представляет прямую, начинающуюся на положительной вещественной оси на расстоянии и проходящую параллельно мнимой оси в первом квадранте.

Управляющее воздействие появляется даже при отсутствии отклонения, но при наличии тенденции к отклонению регулируемой величины.

Пропорционально -интегрально-дифференциальный регулятор

Имеет три параметра настройки: изменяемые в определенном диапазоне. Связь выходной величины регулятора с входной такая:

(3.40)

Записав (3.40) в операторной форме и взяв отношение выходной величины к входной при нулевых начальных условиях, получим передаточную функцию регулятора:

. (3.41)

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ):

(3.42)

ПИД-регулятор соединяет положительные свойства «ПИ» и «ПД»-регуляторов. Благодаря интегральной составляющей исключается статическая ошибка, а благодаря наличию производной в законе регулирования увеличивается коэффициент усиления регулятора на высоких частотах, что повышает его быстродействие.

4 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

4.1 Общие положения об устойчивости

Система автоматического управления будет называться устойчивой, если выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе она возвращается в исходное состояние, т.е. при снятии внешнего воздействия САУ возвращается в то состояние, в котором она находилась до возмущения.

Известно, что вид переходного процесса в САУ определяется суммой двух составляющих - свободной и вынужденной. Поскольку вынужденная составляющая определяется внешним воздействием, а устойчивость линейной САУ зависит от ее поведения после снятия внешнего возмущения, то можно сделать следующий вывод: устойчивость линейной САУ не зависит от внешнего воздействия, а определяется видом свободной составляющей переходного процесса.

Свободная составляющая переходного процесса находит-ся как общее решение линейного однородного уравнения

, (4.1)

где - отклонение регулируемой величины от исходного установившегося состояния.

Поскольку решение уравнения (4.1) определяется корнями характеристического уравнения

, (4.2)

то, следовательно, устойчивость САУ будет зависеть от вида корней уравнения (4.2).

В случае различных вещественных корней

. (4.3)

Система автоматического управления будет устойчива, если

При ; нейтральна, если при ; неустойчива, если при .

Свободная составляющая будет стремиться к нулю тогда, когда каждое слагаемое суммы (4.3) будет стремиться к нулю при . Это условие будет выполняться в таких случаях:

все корни характеристического уравнения (4.2) отрицательные;

все корни имеют отрицательные вещественные части.

Если в характеристическом уравнении (4.2) будет хотя

бы один нулевой или пара мнимых сопряжений корней, то появятся слагаемые в выражении (4.3) вида , или которые не уменьшаются до нуля при и, следовательно, система будет нейтральна (находится на границе устойчивости). Если в уравнении (4.2) имеется мнимый или комплексный корень, то обязательно будет и сопряженный ему, поскольку все коэффиценты характеристического уравнения-вещественные числа, имеющие размерность , и т.д.

Если хотя бы один корень характеристического уравне-

ния САУ вещественный-положительный или пара комплексно-

-сопряженных корней имеет положительные вещественные час-

ти, то САУ неустойчива.

Характеристическое уравнение (4.2) можно записать в виде

(4.4)

где - корни характеристического уравнения (4.2). Если все корни (4.2) вещественные - отрицателные, то все множители (4.4) положительны, и, следовательно, в характеристическом уравнении (4.2) не может быть коэффициента с отрицательным знаком. Если то , и опять в характеристичес-ком уравнении (4.2) не может появиться отрицателный коэффицент. Следовательно, необходимым условием устойчивости САУ является наличие и положительность всех коэффицентов характеристического уравнения (если они все отрицательны, то можно поменять знак). Это условие необходимое, но недостаточное. Если оно выполняется, то имеет смысл искать и проверять достаточное условие -отрицательность вещественных частей всех корней характеристического уравнения. Однако для характеристического уравнения, степень которого выше 4-го порядка, нет точных формул для определения корней.

Решение уравнений даже 3-й степени с использованием формулы Кордано вызывает затруднения, для уравнений 4-й степени формулы еще более громоздки.

В настоящее время корни характеристического уравнения могут быть найдены на ЭВМ приближенными методами, однако не всегда под рукой есть ЭВМ. Поэтому исследователи искали косвенные методы (критерии) отрицательности вещественных частей корней характеристического уравнения. Еще в 1895 году по предложению словацкого профессора А.Стодолы немецкий математик Гурвиц предложил критерий, позволяющий не решая характеристического уравнения, определить отрицателность вещественных частей его корней, т.е. устойчивость САУ. Кроме того, критерий позволяет в общем виде находить соотношения между коэффициентами характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивость системы управления, что само по себе очень важно.