1.4 Замкнутые и разомкнутые сау

В разомкнутых системах автоматического управления (рисунок 1.3 а,в) регулирующее устройство РУ вырабатывает управляющее воздействие без учета значения регулируемой величины . Так, например, на рисунке 1.3(а) представлена система, позволяющая открывать регулирующий орган и, если заранее известна функциональная связь , управлять регулируемой величиной . Однако, если функциональная связь нарушается из-за наличия возмущений, то возникает необходимость их учета. С этой целью измеряется наиболее существенное возмущение (или не­сколько возмущений) и через корректирующее устройство КУ сигнал, пропорциональный возмущению, вводится в РУ, рисунок 1.3(в). КУ вырабатывает управляющее воздействие с учетом возмущения, что позволяет компенсировать влияние на .

Принцип управления по возмущению обладает высоким быстродей­ствием, поскольку управляющее воздействие появля­ется одновремен­но с возмущающим, однако не может быть реализован при большом количестве возмущений из-за сложности системы и большого количества измерительных и корректирую­щих устройств.

Индикатором наличия возмущения по любому каналу САУ являете отклонение измеренного значения регулируемой величины от заданного. Оно является интегральной оценкой влияния всей совокупности возмущений на САУ. Это обстоятельство позволяет создавать САУ, работающие по отклонению регулируемой величины (рисунок 1.3б). Однако у таких систем имеется не­достаток, заключающийся в появлении управляющего воздействия только после наличия отклонения, т.е. система обладает низким быстродействием. Для устранения указанного недостатка используются комбинированные системы (рисунок 1.3г), позволяющие объединить достоинства систем, работающих по возмущению и отклонению. Кроме того, система, работающая по отклонению, является замкнутой системой. Управляющее воздействие вырабатывается с учетом текущего значения регулируемой величины. Это достигается благода­ря наличию главной обратной связи и элемента сравнения, позволяющего сравнить заданное и действительное значение регулируемой ве­личины и использовать результаты сравнения для создания управляющего воздействия

. (1.3)

а) (б)

(в) (г)

Рисунок 1.3 – Принципы управления в САУ

1.5 Статика и динамика регулирования

Статика - установившийся режим работы САУ, когда все величины, характеризующие ее состояние, не зависят от времени, а уравнения и характеристики системы не содержат время.

Динамика характеризует переходный процесс в САУ, изучает не­стационарные режимы. Основной режим работы САУ - динамический. Он описывается дифференциальными уравнениями, содержащими в качестве независимой переменной время.

Одной из основных задач динамики является анализ работы системы регулирования, т.е. составление уравнений динамики, совместное их решение и исследование процесса регулирования по найденным результатам.

Более распространенной является задача синтеза, когда необхо­димо найти структуру и параметры звеньев, обеспечи­вающие задан­ное качество процесса регулирования. В задачу синтеза САУ входят вопросы определения настроечных параметров элементов, обеспечивающих требуемое качество переходного процесса при заданной структуре САУ. При этом может иметь место статическая или динамическая нелинейность, которая сущест­венно усложняет задачу исследования. Мы ограничимся рассмотрени­ем линейных САУ, для каждого из элементов которой должно быть известно линейное дифференциальное или алгебраическое уравнение, описывающее его статические и динамические свойства.

Статическая характеристика звена или системы характери­зуется коэффициентом усиления, определяемым как отношение приращения выходной величины к приращению входной в установившемся режиме. Для объекта регулирования это

. (1.4)

Динамическая характеристика звена или системы определяется ее переходной функцией, которую получают решением дифференциального уравнения при единичном ступенчатом входном воздействии.

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭЛЕМЕНТОВ САУ

2.1 Методика составления уравнений динамики объектов регулирования

Уравнение динамики одноёмкостного объекта

Качество работы систем автоматического регулирования зависит от правильной настройки. Как правило, свойства объектов регулирова­ния зависят от их конструктивных особенностей и технологических режимов, а хорошее качество работы всей САУ получают при изменении параметров настройки регулятора. Для правильного выбора настроек регулятора не­обходимо знать статические и динамические свойства объектов регулирования.

И.А. Вышнеградский впервые показал, что изучать только свойства регуляторов недостаточно, для правильной оценки регулятора необходимо рассматривать действие объекта регулирования и регулятора в нестационарных режимах. Математически эта задача сводится к составлению уравнений динамики объекта и регулятора и совместному их решению.

Процессы, протекающие в объектах регулирования, как правило, описываются дифференциальными уравнениями, которые можно получить различными способами: аналитически, экспериментально или экспериментально - аналитически, когда коэффициенты дифференциального уравнения, полученного аналитически, определяются экспериментально.

Сложность составления дифференциальных уравнений со­стоит в том, что нельзя совершенно точно описать реальные процессы, необходимо прибегать к идеализации, учитывать ос­новные свойства и пренебрегать второстепенными. В зависимо­сти от степени точности и постановки задачи могут быть и различные идеализации. Например, шар подвешен на пружине и совершает колебания. Если мы рассматриваем колебания в течение малого промежутка времени (1-2 колеба­ния), то шар можно представить как материальную точку массы и пренебречь силами трения. Если мы рассматриваем этот процесс в течение дли­тельного промежутка времени, то нужно учитывать силы трения, ибо в конце процесса рассмотрения эти силы внесут существенные изме­нения в процесс.

Таким об­разом, одна и та же идеализация может быть целесообразной и нецелесообразной в зависимости от того, на какие во­просы мы хотим получить ответ.

Составим дифференциальное уравнение, описывающее про­цесс изме­нения уровня жидкости в баке.

На рисунке 2.1 приняты следующие обозначения:

- объемный приток и расход жидкости; - напоры жидкости в питающем трубопроводе и у потребителя; , - перемещение штоков регулирующих органов; - уровень жидкости в баке; -площадь бака.

Для определенности принимаем за положительные изменения переменных следующие: увеличение уровня, увеличение открытия регули­рующих органов, увеличение расходов через регулирующие органы. Этот выбор является условным, однако должен сохраняться при составлении всех уравнений.

Рисунок 2.1 - Расчетная схема одноёмкостного объекта

Прежде чем приступить к составлению дифференциальных уравнений на основании анализа состояния и условий работы объекта необходи­мо

сделать упрощающие допущения. Пусть условия работы объекта позволяют допустить:

1) уровень жидкости в баке не зависит от температуры (жидкость не изменяет своего объема, т.к. температура изменяется незначительно);

2) инерцией потока жидкости пренебрегаем;

3) считаем, что характер движения жидкости через регулирующие органы - ламинарный;

4) давление жидкости в питающем трубопроводе и у потребителя не изменяется.

На основании закона сохранения материи за бесконечно малый промежуток времени при небалансе между и имеем изменение уровня, равное

, (2.1)

или . (2.2)

В установившемся режиме изменение уровня жидкости отсутствует, т.е. , поэтому , (2.3)

где и - объемный расход жидкости в установившемся режи­ме.

Если учесть, что и и вычесть из уравнения динамики (2.2) уравнение статики (2.3), то получим уравнение в приращениях: . (2.4)

В левой части уравнения (2.4) имеется производная вместо . Такая замена правомерна, поскольку , т.к. дифференциал от постоянной величины .

В системах регулирования значения и обычно являются неизвестными. Регулятор воздействует на регулирующие органы, положение которых легко определить, поэтому в уравнении динамики (2.4) необходимо заменить расходы и на соответствующие открытия регулирующих органов.

С учетом сделанных допущений расходы через регулирующие орга­ны можно записать следующим образом:

, (2.5)

, (2.6)

где -постоянный коэффициент пропорциональности. Эти зависимости считаем справедливыми как в статике, так и в динамике, поскольку мы сделали допущения, что пренебрегаем инерцией потока. Зависимости (2.5) и (2.6) нелинейные, поскольку имеет место произведение пере­менных.

Для малых отклонений и от установившегося режима зависи­мости (2.5) и (2.6) можно линеаризовать, что значительно упрощает совместное решение системы уравнений. С этой целью функции и разложим в ряд Тейлора в окрестности рабочей точки установившегося режима:

(2.7)

Частные производные взяты в рабочей точке , .

Ограничиваясь членами ряда с , и в первой степени, т.е. принимая линейное приближение, получаем:

. (2.8)

Аналогично

. (2.9)

Из выражения (2.7) следует, что указанным методом линеариза­ции можно пользоваться тогда, когда сама функция и ее производные по всем переменным непрерывны, однозначны и конечны.

Из выражений (2.8)и (2.9) находим:

, (2.10)

. (2.11)

Подставим полученные выражения для и в уравнение (2.4):

, (2.12)

или, перенося в левую часть все члены с , находим

. (2.13)

Таким образом мы получили линеаризованное уравнение динамики, ко­торое будет иметь постоянные коэффициенты при переменных лишь при малых отклонениях от исходного статического режима .

В уравнении (2.13) все слагаемые имеют размерность объема. Размерный вид дифференциальных уравнений затрудняет сравнение динамики различных по своей природе процессов. Словацкий профессор А.Стодола, разработавший теорию непрямого регулирования, ввел безразмерную форму записи уравнений динамики, повсеместно приня­тую в настоящее время. С этой целью вводятся безразмерные переменные:

; ; ,

где , , - относительное изменение регулируемой величи­ны, регулирующего органа, нагрузки.

Для стационарного режима номинальной и максимальной нагрузки справедливы соотношения:

(2.14)

Разделим все слагаемые выражения (2.13) на

:

. (2.15)

Если в выражениях (2.14) почленно разделить левые и правые части, то получим , где - коэффициент нагрузки.

Введя безразмерные величины, уравнение (2.15) можно записать в виде:

,

или , (2.16)

(2.17)

- коэффициент саморегулирования. Он характеризует способность объекта приходить к новому установившемуся состоянию при наличии возмущения. Саморегулирование объекта появляется в результате того, что само изменение регулируемой величины стремится обеспечить баланс притока и расхода жидкости. Пусть . В этом случае растет, создает противодавление на клапане , уменьшает перепад давлений на нем и, соответственно, уменьшает расход . Кроме того, при возрастании Н увеличивается пере­пад давлений на клапане, что приводит к возрастанию , т.е. стремится к . Как видно из зависимости (2.17), коэффициент саморегулирования тем больше, чем меньше перепад давлений на регулирующих органах и чем больше номинальное значение регулируемой величины.

Если стремится к нулю, а перепад давлений на регулирую­щих органах растет, то коэффициент саморегулирования стремится к нулю. Например, если вместо клапана поставить насос постоянной производи

тельности, а давление ,т.е. расход не зависит от , то . Малейший разбаланс между и приведёт либо к переливу, либо к полному опорожнению емкости.

У некоторых промышленных объектов имеется отрицательное само­регулирование. Например, подача в шаровую мельницу угля больше определенного количества приводит к ухудшению условий работы ша­ров, перемалывание ухудшается и производительность ее падает, что приводит к еще большему накоплению угля внутри мельницы и последующей остановке.

Рассмотрим изменение во времени уровня жидкости в баке для случая положительного и нулевого саморегулирования. С этой целью запишем уравнение (2.16) в виде

(2.18)

где - постоянная времени объекта регулирования,

- коэффициент усиления.

Решим линейное неоднородное дифференциальное уравнение (2.18).

Полное его решение состоит из двух слагаемых:

(2.19)

где - свободная составляющая решения, определяемая как общее решение линейного однородного дифференциального уравнения; - вынужденная составляющая решения, определяемая частным решением неоднородного дифференциального уравнения.

Характеристическое уравнение имеет вид

(2.20)

откуда , где - корень характеристического уравнения. В итоге:

В установившемся режиме из уравнения (2.16):

поэтому (2.21)

Постоянную интегрирования находят по начальным услови­ям. Предполагаем, что имеют место нулевые начальные условия, или

поэтому (2.22)

Если на графике построить кривую изменения во времени при скачкообразном возмущении, то она будет иметь вид изображен­ный на рисунке 2.2. Кривая без колебаний приходит к новому установившемуся значению. Динамические звенья с таким видом переходной функции называются апериодическими.

Проведя касательную в точке к кривой до пересечения с установившимся значением , получим отрезок , чис­ленно равный постоянной времени . Действительно, из уравнения (2.22) :

.

Из рисунка и уравнения (2.22) видно, что ==k(m-l),

(2.23)

На основании изложенного следует правило определения постоян­ной времени объекта , имеющей размерность времени.

Постоянная времени апериодического звена T есть время, в течение которого вы­ходная величина объекта достигла бы своего установившегося состояния при скачкообразном изменении входной величины, если бы скорость ее изменения была постоянной и равной в начальный момент времени.

Из уравнения (2.22) также следует, что при :

(2.24)

т.е. постоянная времени есть время, в течение которого выходная величина достигнет от полного изменения ее значения. Исходя из свойства экспоненты, графически легко определить постоянную времени объекта, проведя касательную в любой точке кривой и определив ее проекцию на ось установившихся значений, как отрезок между перпендикуляром, проведенным из точки касания, и точкой пересечения касательной с установившимся значением выходной величины.

Статический коэффициент усиления объекта есть отношение приращения выходной величины к приращению входной в установившемся режиме

(2.25)

Таким образом, если известна зависимость выходной величины объекта во времени при скачкообразном изменении входной, то легко графически определить параметры объекта ( и ) . Этим способом пользуются при экспериментальном определении параметров объек­та. Для этого скачком наносят возмущение () и непрерывно определяют значение выходной величины объекта. Кривая , полу­ченная экспериментальным образом при скачкообразном воздействии на входе, называется кривой разгона. Если кривая разгона по форме близка к экспоненте и не имеет точки перегиба, то, пользуясь методикой, рассмотренной ранее, определяют коэффициенты дифференциального уравнения (2.18).

Определим переходную функцию объекта, когда коэффициент са­морегулирования . В этом случае дифференциальное уравнение (2.16) принимает вид:

(2.26)

откуда (2.27)

Переходная функция имеет вид прямой, проходящей через нача­ло координат. График переходной функции изображен на рисунке 2.3.

. (2.28)

В случае нулевого саморегулирования объект регулирования представляет идеальное интегрирующее звено. Постоянная времени интегрирующего звена есть время, в течение которого выходная величина достигнет значения входного скачкообразного воздействия (следует помнить, что дифференциальное уравнение записывают в безразмерной форме).

Аккумулирующая способность бака зависит от величины его емкос­ти. Чем больше эта емкость, тем медленнее будет изменяться отно­сительное значение уровня при нарушении небаланса между притоком и потреблением. Под емкостью объекта регулирования понимают его способность накапливать энергию (механическую, электрическую и тепловую) или вещество

(2.29)

где - емкость объекта регулирования.

Отношение емкости объекта к величине измеряемого параметра называется коэффициентом емкости (удельной емкостью):

(2.30)

т.е. в нашем случае коэффициент емкости определяет площадь резервуара.

Рассмотренный выше объект называется одноёмкостным, т.к. для него характерно наличие одной емкости.

Многие промышленные объекты являются более сложными системами, которые могут включать несколько емкостей и сопротивлений и, следовательно, будут описываться более сложными дифференциальными уравнениями. Такие объекты называются многоёмкостными.

2.2 Исполнительные механизмы и регулирующие органы САУ

Исполнительные механизмы служат для перемещения регулирующих органов, изменяющих подачу энергии или вещества в объект для стабилизации регулируемой величины.

Устройство клапана ПРК-ВЗ:

1— шток; 2 — штуцер; 3 — плунжер; 4 —корпус; 5-лубрикатор;

А — центральное отверстие

В зависимости от вида используемой энергии исполнительные механизмы бывают пневматические, электрические и гидравлические.

Пневматические исполнительные механизмы используют пневматические мембранно-пружинные приводы. Они предназначены для регулирования различных технологических параметров (температуры, расхода, давления, концентрации и др.) путем изменения рас­хода жидкости или газа.

Основными элементами привода являются пружина и резиновая мембрана, герметично зажатая между крышками клапана; она воздействует на верхний конец пружины через направ­ляющий стакан, в котором закреплен шток 1 привода. Дроссельное устройство состоит из корпуса 4, штуцера 2 и плунжера 3.

Характеристика клапана, определяемая профилем плунжера, ли­нейная, т. е. изменение расхода (при постоянном перепаде давления на дроссельном устройстве) прямо пропорционально давлению команд­ного сжатого воздуха в мембранной головке.

В динамическом отношении пневматические исполнительные механизмы описываются дифференциальным уравнением первого порядка, постоянная времени которых определяется объемом мембранной головки и удалением его от регулятора.

В простейшем случае расчетную схему пневматического исполнительного механизма можно представить так:

Здесь:

Р1- давление после регулятора,

а – открытие дросселя, имитирующего сопротивление пневматической трубки,

q – расход газа, поступающего от регулятора к исполнительному механизму,

V – объем мембранной головки исполнительного механизма,

Р - давление в мембранной головке исполнительного механизма.

Предполагая Р1>Р, характер движения газа ламинарным, уравнение расхода можно записать так:

.

Уравнение аккумулирования газа в емкости мембранной головки:

Здесь - плотность газа в мембранной головке.

Предполагая характер движения газа изотермическим, уравнение его состояния можно записать так:

. Здесь R – универсальная газовая постоянная, - абсолютная температура.

Из последнего соотношения следует: , поэтому уравнение аккумулирования газа можно представить так:

, или .

Поскольку в статике Р = Р1, то, считая безразмерными , , уравнение пневматического исполнительного механизма запишем так:

. Здесь - постоянная времени сервомотора, имеет размерность времени,

Po – диапазон изменения управляющего воздействия.

Таким образом, в динамическом отношении пневматический исполнительный механизм представляет апериодическое звено.

Электрические исполнительные механизмы перемещают регулирующие органы через редуктор, суммирую угол поворота ротора двигателя и являются интегрирующими звеньями:

, где - постоянная времени сервомотора – время полного открытия регулирующего органа.

Аналогичными уравнениями описывается динамика гидравлических сервомоторов, где в полости цилиндра суммируется расход жидкости, проходящей через гидравлический золотник.

Регулирующие органы служат для изменения подачи энергии или вещества в объект с целью приведения регулируемой величины к заданному значению. Они бывают плунжерные и золотниковые.

Плунжерный регулирующий орган

Золотниковый регулирующий орган

При значительных перепадах давления на регулирующем органе может происходить самопроизвольное их открытие. Для исключения этого используют разгруженную конструкцию регулирующего органа. В этом случае усилие, развиваемое перепадом давлений на штоке будет минимальным.

Разгруженная конструкция регулирующего органа

Регулирующие органы имеют характеристики:

- внутренняя – зависимость расхода от хода регулирующего органа при постоянном перепаде давлений ;

- рабочую - зависимость расхода от хода регулирующего органа при рабочем перепаде давлений ;

- конструктивную - зависимость площади проходного сечения от хода регулирующего органа .

При выборе регулирующих органов следует проверять, нет ли критического перепада давлений, при котором расход не зависит от перепада давлений, а лишь от величины проходного сечения клапана:

, где - плотность продукта.

Наличие критического перепада давлений можно проверить по формуле: , где к – показатель адиабаты (1,135 – 1,667), давления – абсолютные.

3 ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТЕЙШИХ ЗВЕНЬЕВ

3.1 Типовые входные сигналы

Исследование свойств звеньев или систем управления может быть проведено по реакции на одинаковые входные сигналы. В качестве типовых входных сигналов используются различные функции.

а) ступенчатая функция, аналитическое выражение которой можно записать так:

Функция называется единичной ступенчатой функцией. Реакция звена или системы управления на единичную ступенчатую функцию называется переходной функцией. Она может быть получена путем решения дифференциального уравнения при единичном ступенчатом входном воздействии. Если реакция звена или системы на ступенча­тое входное воздействие получена экспериментально, то она называется кривой разгона. Поскольку , а ,

то - переходная функция звена или

системы, имеющей передаточную функцию .

б) импульсная функция. Является производной ступенчатой функции и обозначается . Она представляет импульс бесконечно большой величины и бесконечно малой длительности интеграл от которой . Реально такой импульс иметь нельзя, одна­ко являясь математической идеализацией, он облегчает исследование САУ. Изображение можно получить с помощью предельного перехода для изображения импульсного сигнала, когда его амплитуда стремится к бесконечности, а длительность к нулю.

.

Переходная и импульсная переходная функция называются временными характеристиками звена или системы.

.

в) гармоническая функция. Она может быть задана в веществен­ной или комплексной форме:

, или ,

где -угловая частота; - период колебаний.

Весьма удобной при исследовании CАУ оказывается комплексная форма задания гармонической функции:

.

При этом интерес представляет способность звена или системы воспроизводить входной сигнал на выходе, т.е. частное реше­ние неоднородного дифференциального уравнения которое также представляет гармоническую функцию, но с амплитудой и фазой, отличной от входного воздействия. Амплитуда и фаза выходной величины зависят от частоты и параметров системы. Поэтому исследование реакции звена или системы на гармоническое воздействие приводит к понятию частотных характеристик.

Пусть на САУ действует гармоническое воздействие. Тогда частное решение дифференциального уравнения будет также гармонической функцией, но отличающейся от входного воздействия по амплитуде и фазе.

; ,

,

и т.д.

Если имеется дифференциальное уравнение

, (3.1)

то, заменив в нем значения входного и выходного сигналов и производных, получим

.

Отношение установившегося гармонического сигнала на выходе звена или системы к гармоническому входному сигналу называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ)

(3.2)

где - вещественная часть амплитудно-фазовой характеристики; - мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики.

В выражении (3.2) есть амплитудно-частотная характеристика; - фазочастотная характеристика.

Формально амплитудно-фазовая характеристика может быть получена путем замены в передаточной функции на . Действительно, дифференциальное уравнение (3.1) в операторной форме имеет вид:

, откуда передаточная функция

,

амплитудно-фазовая характеристика

.