- •Гоу впо Кубанский государственный технологический университет
- •Пугачев в.И.
- •Рецензенты:
- •Isbn © Пугачев в.И., 2010
- •1.2 Основные элементы сау
- •1.4 Замкнутые и разомкнутые сау
- •1.5 Статика и динамика регулирования
- •3.2 Типовые звенья сау
- •Апериодическое звено
- •3.3 Основные законы регулирования
- •4.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •4.3 Частотный критерий устойчивости Михайлова
- •4.4 Критерий устойчивости Найквиста - Михайлова
- •4.5 Устойчивость сау с запаздыванием
- •5.3 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров
- •6.2 Интегральные оценки качества сау
- •7.2 Введение интеграла в закон регулирования
- •7.3 Создание инвариантных сау
- •7.4 Создание комбинированных сау
- •8 Цифровые системы управления
- •8.1 Способ управления с помощью эвм
- •8.2 Решетчатые функции и разностные уравнения
- •8.3 Дискретная передаточная функция
- •8.4 Получение оригинала по -преобразованию.
- •8.5 Цифровые аналоги типовых законов управления
- •8.6 Анализ цифровых систем управления
- •8.7 Анализ устойчивости цифровых систем.
- •9 Нелинейные системы
- •9.1 Основные типы нелинейностей
- •9.2 Устойчивость нелинейных систем
- •Общие положения об устойчивости нелинейных систем
- •9.3 Устойчивость релейных систем
8.6 Анализ цифровых систем управления
При анализе цифровых систем управления их представляют в виде трех элементов: цифрового фильтра (регулятора), фиксатора и приведенной непрерывной части.
Передаточная функция цифрового фильтра для типовых законов управления получена в (8.22). Если в системе имеет место экстраполятор нулевого порядка с передаточной функцией , то с учётом того, что , её можно записать так: . Сомножитель относят к линейной части, поэтому передаточная функция приведённой непрерывной части может быть записана в таком виде:
. (8.25)
Так как -переходная функция линейной части системы, то -передаточную функцию линейной части находят по выражению:
. (8.26)
Записав дифференциальное уравнение в операторной форме, находят передаточную функцию линейной части.
Пусть , тогда изображение переходной функции равно: , а переходная функция линейной части есть обратное преобразование от изображения h(p). Используя Mathcad, легко найти оригинал переходной функции.
.
Для ориентировочного определения периода квантования построим амплитудно-частотную характеристику объекта, рисунок 8.4.
. (8.27)
Рисунок 8.4 – Амплитудно-частотная характеристика объекта
Как видно из графика, инерционный объект фильтрует высокие частоты. Частота, при которой сигнал на выходе составляет 3% от входного есть частота среза, .
По теореме В.А. Котельникова период измерений, обеспечивающий дискретное измерение непрерывной величины без потери информации находят по формуле: , .
Примем , тогда решетчатая переходная функция будет:
Прямое Z – преобразование решетчатой функции:
В итоге передаточная функция приведенной непрерывной части равна:
(8.28)
Пусть непрерывный регулятор имеет параметры настройки:
,, , .
Тогда параметры цифрового регулятора равны:
, , .
. (8.29)
Передаточная функция разомкнутой цифровой системы:
.
, . (8.30)
Переходная функция цифровой системы изображена на рисунке 8.5.
(8.31)
Рисунок 8.5 - Переходная функция замкнутой цифровой системы
Характеристическое уравнение замкнутой системы определяется путем приравнивания к нулю полинома знаменателя передаточной функции замкнутой системы либо путём приравнивания нулю суммы полиномов числителя и знаменателя передаточной функции разомкнутой системы.
8.7 Анализ устойчивости цифровых систем.
Критерий устойчивости Джури
Необходимым и достаточным условием устойчивости систем является нахождение всех полюсов передаточной функции замкнутой системы внутри единичного круга на комплексной плоскости, что соответствует условию
где - полюсы передаточной функции замкнутой системы или корни характеристического уравнения.
В настоящее время нет принципиальных трудностей вычисления корней характеристического уравнения с использованием ЭЦВМ, однако при необходимости экономить машинное время целесообразно пользоваться критериями устойчивости Джури, который заключается в следующем.
Пусть задан характеристический полином,
. (8.32)
Введём понятие обратного полинома, получаемого путём перестановки коэффициентов исходного в обратном порядке.
. (8.33)
Разделим на обратный ему. В итоге получим частное от деления число и остаток - полином степени.
Домножая полученный результат , получаем
Затем делим остаток на обратный ему и определяем новое и
и т.д.
Выполняя деление полиномов на обратные или , получаем последовательность
Необходимым и достаточным условием устойчивости цифровой системы являются неравенства:
|
(8.34) |
Если результаты расчёта показывают, что первые два условия выполняются, то имеет смысл находить , …, которые по модулю должны быть меньше единицы. Если все три неравенства выполняются, то, следовательно, цифровая система устойчива.
Существуют и другие алгоритмы анализа устойчивости цифровых систем, например Кларка и Шура-Кона. Алгоритм Кларка, кроме проверки выполнения первых двух неравенств Джури, включает формирование так называемых "внутренних матриц" и вычисление их определителей. Этот алгоритм эффективен для исследования устойчивости линейных цифровых систем высокого порядка.
Алгебраический критерий Шура-Кона подобен критерию Гурвица для непрерывных систем, для чего составляется специальная матрица из коэффициентов характеристического уравнения и проверяется знак определителя этой матрицы.