9.3 Устойчивость релейных систем

При рассмотрении устойчивости релейных систем воспользуем­ся определением, приведенным Я.3.Цыпкиным. Это объясняется не только удобством формулировки (существует большое число различ­ных определений понятия устойчивости), но и распространенностью релейных систем в классе нелинейных.

Нелинейная система будет устойчивой, если для всякого за­данного числа можно найти такое число , что для всех исчезающих воздействий таких, что входная величина нелинейного элемента удовлетворяет неравенству для всех . Если потребовать, чтобы то такая система называется асимптотически устойчивой. Воздействие называется исчезающим, если комбинация и абсолютно интегрируема, т.е.

.

Это понятие асимптотической устойчивости несправедливо для нелинейных элементов с зоной нечувствительности. В этом слу­чае следует считать положение равновесия устойчивым, если

где - любое значение, принадлежащее зоне нечувствительности.

Итак, если на нелинейную систему действует ограниченное по модулю внешнее воздействие, то в асимптотически устойчивой системе существует вынужденное движение, ограниченное по модулю, и, кроме того, отклонение от вынужденного движения стремится к нулю с течением времени. Если условия асимптотической устойчивости выполняются при малых отклонениях от положения равновесия, то система устойчива в малом. Если условия устойчивости выполняются при любых конечных значениях (), то система устойчива в большом. И, наконец, если автоматическая система асимптотически устойчива при любых (), то она ус­тойчива в целом.

Особенность нелинейных систем - в том, что система может быть асимптотически устойчивой в малом, но условия асимптоти­ческой устойчивости в большом могут не выполняться.

Невозможность получения решения в большинстве случаев для систем выше второго порядка привела к разработке методов на­хождения достаточных условий устойчивости нелинейных систем без точного решения описывающих их уравнений.

При отсутствии зоны нечувствительности у нелинейного элемента его выходной сигнал стремится к нулю только тог­да, когда частота переключений в системе неограниченно возрас­тает.

Для определения условия устойчивости нелинейной системы в малом рассмотрим наиболее тяжелый случай, когда нелинейный эле­мент имеет вид идеального реле. В этом случае нелинейную сис­тему можно представить состоящей из линейной части и усилителя с бесконечным коэффициентом усиления. Для устойчивости такой системы необходимо, чтобы выполнялось условие устойчивости ли­нейной системы при неограниченном возрастании ее коэффициента усиления.

Если на рисунке 10.3 предположить, что у нелинейного элемента коэффициент усиления К, а , то передаточ­ная функция замкнутой системы будет равна

Отсюда - характеристическое уравнение замкнутой системы:

(9.16)

Условием устойчивости нелинейной системы в малом являет­ся отрицательность действительных частей корней характеристи­ческого уравнения (9.16).

При получаем предельную систему, характеристичес­кое уравнение которой .

Найдем критерий устойчивости нелинейных систем, позволяю­щий по или линейной части судить об устойчивос­ти замкнутой системы в малом. Для этого воспользуемся - раз­биением по основному параметру .

Полагая в уравнении (10.30) , получаем .

Для устойчивости системы необходимо, чтобы при больших , включая , точка принадлежала отрезку устойчи­вости, который представляет собой отрезок вещественной оси на комплексной плоскости, находящийся в заштрихованной области. На комплексной плоскости штрихуется область, расположенная слева от при возрастании . Поскольку велико, то нас интересует поведение только при больших значениях . Если разложить по степеням , т.е.

(9.17)

то поведение ее при больших  определяется первыми членами разложения. приближается к нулю по прямой под углом к действительной оси.

На рисунке 9.4 изображены различные варианты при раз­личных знаках , а также различных индексах передаточной функции линейной части системы l, под которым понимается разность степеней полиномов знаменателя и числителя :

Рисунок 9.4 - Вид АФХ линейной части при различных индексах

При этом предполагается, что , поскольку всегда соответствует неустойчивости.

Анализ изображенных на рисунке 10.9 кривых показывает, что если предельная система устойчива, то и линейная система при будет устойчивой, но лишь при и . Линейная система при стремится к границе устойчивости при и и , причем, когда - велико, то линейная система бу­дет устойчивой при и неустойчивой при .

Линейная система будет заведомо неустойчивой при , если .

Коэффициенты и легко найти через коэффициенты передаточной функции линейной части системы.

(9.18)

Разложив по отрицательным степеням , получим

(9.19)

Производя перемножение в правой части, а затем приравни­вая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа, получаем

(9.20)

Из системы алгебраических уравнений (9.20) по правилу Крамера находим коэффициенты

где - определитель, полученный из правой части уравнения (9.20) заменой столбца с коэффициентами на столбец левой части системы. Поскольку нас интересуют только два коэффициента и , то из их первых двух уравнений (9.20) найдем

(9.21)

Итак, релейная автоматическая система будет устойчивой в малом в том случае, если нули передаточной функции находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости, а индекс передаточной функции не превышает двух, причем

при ;

при ; .

Устойчивость предельной системы (нули передаточной функ­ции линейной части находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости) может быть исследована любым из известных критериев устойчивости линейных систем (Гурвица, Михайлова).

Я.3.Цыпкин доказал, что для устойчивости релейной системы в целом достаточно, чтобы линейная часть системы была устойчива или нейтральна, а частотная характеристика и параметры релейного элемента удовлетворя­ли бы условию

(9.22)

где - при положительном гистерезисе;

- при отрицательном гистерезисе.

Этому критерию можно дать простую геометрическую интерпретацию. Пусть

. (9.23)

Тогда (9.25) перепишем в форме

(9.24)

В плоскости параметров и выражение (9.24) для знака равенства определяет прямую, проходящую через точку на оси абсцисс с наклоном, равным . Эта прямая называется прямой Попова и делит плоскость на две полуплоскости - правую и левую, рисунок 9.5.

Неравенство (9.24) соответствует точкам области, располо­женной справа от этой прямой.

Введем понятие модифицированной частотной характеристики линейной части релейной системы

(9.25)

где

.

Рисунок 9.5 - Вид прямых Попова для и

Из выражения (9.28) видно, что для получения модифициро­ванной частотной характеристики достаточно в обычной изменить масштаб мнимой части в каждой точке в  раз.

Релейная система будет устойчива в целом, когда модифици­рованная частотная характеристика ее линейной части расположе­на справа от прямой Попова при , если гистерезис положительный и если гистерезис отрицательный.

Построив на комплексной плоскости модифицированную частот­ную характеристику линейной части, находим неравенство

(9.29)

где - координата точки пересечения с вещественной осью, рисунок 9.6.

Это неравенство позволяет выбирать необходимые параметры релейного элемента, обеспечиваю­щие устойчивость релейной системы в целом.

Если релейный элемент не имеет гистерезиса, то для устой­чивости релейной системы в целом необходимо, чтобы условие (9.25) выполнялось при любом .

Если релейный элемент идеальный, то автоматическая систе­ма будет устойчива в целом, когда линейная ее часть устойчива или нейтральна а частотная характеристика линейной части рас­положена в нижней полуплоскости. Эти очевидные формулировки вы­текают из условия (9.25) и общей формулировки устойчивости ре­лейных систем в целом.

Рисунок 9.6 - Анализ устойчивости релейной САУ по критерию Цыпкина

Следуя определению А.А.Андронова, автоколебаниями называ­ют такие периодические движения в нелинейной системе, которые возникают под действием сил, зависящих от состояния системы (а не в результате внешних периодических воздействий).

Спецификой релейных систем является то, что форма выходной величины релейного элемента в периодическом режиме предопре­делена. Поэтому исследование автоколебаний сводится к изучению воздействия периодической последовательности прямоугольных им­пульсов на линейную часть системы и отысканию их параметров, удовлетворяющих существованию периодических режимов.

9.4 Линеаризация релейных систем

Из-за существенно нелинейных свойств релейного элемента нарушается линейная связь между входной и выходной величинами, однако это позволяет коммутировать большие мощности простыми средствами. Указанный недостаток может быть устранен линеариза­цией релейных систем, которую можно провести несколькими спосо­бами.

1. Линеаризация вынужденными колебаниями. Идея ее заключается в том, что на вход релейного элемента подается, кроме основного, медленно изменяющегося сигнала, высокочастотный сигнал, ампли­туда которого больше амплитуды основного. Если на выходе релей­ного элемента включить фильтр низких частот, то на выходе фильт­ра получим среднее значение, зависящее от величины основного входного сигнала.

2. Линеаризация автоколебаниями. В этом случае источником дополнительного периодического воздействия, производящего линеа­ризацию, являются автоколебания самой релейной системы, если частота их намного выше частоты внешнего воздействия.

В этих случаях обычно стремятся повысить частоту автоколе­баний введением в управляющий сигнал производной от отклонения, упругих внутренних обратных связей, и т.д. Такая линеаризация релейных систем называется вибрационной. Она не позволяет в желаемом диапазоне изменять частоту и амплитуду автоколебаний.

3. Линеаризация с помощью скользящего режима. Смысл сколь­зящего режима выясним, рассмотрев простейший пример следящей системы, изображенной на рисунке 9.7.

Релейный элемент РП имеет зону нечувствительности и гис­терезис. При перемещении движка задающего потенцио­метра увеличивается напряжение, приложенное к РП.

Рисунок 9.7 - Схема иллюстрации скользящего режима

При дости­жении этим напряжением значения , рисунок 9.8, релейный элемент срабаты­вает и включает замыкающим контактом или двигатель , который перемещает движок отрабатывающего потенциометра. Как только движок отрабатывающего потенциометра приблизится к поло­жения задающего настолько, что напряжение на реле РП станет равным напряжению отпускания , реле РП отключится, и двигатель остановится.

При дальнейшем изменении положения задающего потенциометра работа системы повторяется. Таким стразом, движок отрабатываю­щего потенциометра будет следить за положением задающего с по­грешностью, равной .

Рисунок 9.8 - График перемещений задающей и отрабатывающей оси

Если характеристики РП представляет собой характеристику идеального релейного элемента, то частота включений релейного элемента будет стремиться к бесконечности, при этом движок отрабатывающего потенциометра точно следит за по­ложением движка задающего потенциометра .

Под скользящим режимом понимается режим работы системы, при котором регулирующий орган в процессе компенсации возмущения перемещается кратковременными включениями в одном направлении. При этом очевидно, что средняя его скорость перемещения всегда будет меньше скорости при длительном включении , где - постоянная времени сервомотора.

Скользящий режим не может возникнуть в системе с двухпозиционным релейным элементом, поскольку в таком случае происхо­дит реверсирование сервомотора. Скользящий режим, наблюдаемый в релейной системе, линеаризует ее и позволяет применять к ней общие методы исследования линейных систем.

Условием возникновения такого режима, очевидно, является то, что скорость роста сигнала обратной связи больше скорости роста входного внешнего воздействия, что и приводит к отключению релейного элемента.

Выходной сигнал , будет иметь , если индекс переда-точной функции элемента обратной связи, охватывающего релейный элемент равен единице, рисунок 9.9.

При в релейной системе наблюдается идеальный скользящий режим, при этом:

. (9.30)

Рисунок 9.9 - Схема реализации скользящего режима

На основании выражения (9.30) для системы, изображенной на рисунке 9.9, можно записать:

, откуда

, или

. (9.31)

Выражению (9.31) соответствует линейная система, изображенная на рисунке 9.10.

Рисунок 9.10 - Структурная схема линеаризованной системы

Таким образом, система, линеаризованная скользящим режимом, совпадает с предельной системой, получаемой при исследовании устойчивости положения равновесия релейной системы в малом.

Для скользящего режима индекс , или прос­то , всегда должен быть равен единице.

Непрерывный скользящий режим будет в том случае, если в любой момент времени

. (9.32)

Для выявления скользящего режима необходимо в явном виде найти и , причем находят в предположении , а определяют как реакцию звена обрат­ной связи на ступенчатое воздействие с выхода релейного элемента.

Метод гармонической линеаризации

Этот метод является приближенным и основан на работах Н.М.Крылова и Н.И.Боголюбова. Впервые он был представлен Е.П.Поповым на II Всесоюзном совещании по теории автоматического регули­рования в 1953 году. Метод отличается простотой, универсально­стью и применим к различным видам нелинейности, позволяет исследовать системы любого порядка с несколькими нелинейностями.

Область использования метода гармонической линеаризации ограничена системами, обладающими высокими фильтрующими свойст­вами и тем точнее, чем выше эти фильтрую­щие свойства.

Метод гармонической линеаризации позволяет определить условия устойчивости, амплитуду и частоту автоколебаний, выбрать параметры коректирующих звеньев, обеспечивающие заданные характеристики системы.

Для нелинейной системы, состоящей из одного нелинейного элемента и линейной части (рисунок 9.1), составим приближенное уравнение замкнутой системы.

Рисунок 9.11 - Расчетная схема нелинейной системы

Для линейной части

. (9.33)

Для нелинейного элемента

. (9.34)

Для релейных систем коэффициенты гармонической линеаризации равны:

(9.35)

В частном случае, если

Передаточная функция разомкнутой системы

. (9.36)

Складывая числитель и знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (9.36) и приравнивая сумму к нулю, полу­чаем условное характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы

. (9.37)

Если в системе регулирования возникают свободные незату­хающие колебания постоянной амплитуды и частоты

, то коэффициенты характеристического уравнения становятся постоянными. В этом - условность характеристического уравнения (9.37), поскольку , входящее в уравнение, является пара­метром системы, а не частотой, задаваемой извне.

Если решение характеристического уравнения (9.37) при дает вещественные положительные значения и , то в системе возможны автоколебания с полученной амплитудой и час­тотой. Это соответствует появлению незатухающих колебаний в ли­нейной системе, что говорит о наличии чисто мнимых корней ха­рактеристического уравнения. Поэтому появление незатухающих свободных колебаний в нелинейной системе может быть обнаружено с помощью методов отыскания границы устойчивости линейной сис­темы.

Способы определения параметров автоколебаний и анализа их устойчивости в нелинейной системе могут быть проведены с использова­нием графоаналитического метода Гольдфарба , аналитическим мето­дом, с использование определителя Гурвица и частотными методами.

96