8.4 Получение оригинала по -преобразованию.

-преобразование позволяет легко найти оригинал функции. Это связано с его особенностями, которые объясняются свойствами решетчатой функции. Если - аналитическая функция, то ее можно разложить в ряд Тейлора. Однако, если она имеет изолированные особые точки в виде полюса, то ее можно разложить в ряд Лорана, главная часть которого состоит из конечного числа членов, равного порядку полюса. Для решетчатой функции каждое значение ее есть изолированная особая точка в виде полюса, поскольку представляет интеграл от - функции, имеющей бесконечно большое значение за бесконечно ма­лый интервал и равный значению непрерывной функции в моменты .

Разложим в ряд по отрицательным степеням:

. (8.13)

Поскольку

, если ,

, если ,

то можно вычислить коэффициенты , в разложении , ко­торое называют преобразованием Лорана.

Умножив левую и правую часть равенства (8.12) на , получим:

.

Интегрируя левую и правую часть равенства по замкнутому контуру и учитывая свойства интеграла, получаем:

, или .

Но , поэтому оригинал решетчатой функции вычисля­ется по формуле:

.

Если полюсы простые, а

, где

, то

. (8.14)

Если полюсы кратные то

,

где - кратность корня,

- число полюсов.

Более простой метод получения по вытекает из разложения ее в ряд Лорана по отрицательным степеням . При этом осуществляется непрерывное деление полинома числителя на полином знаменателя. Это удобно при использовании ЭЦВМ.

Например

Численные значения решетчатой функции на выходе цифровой системы можно получить путем замены -передаточной функции уравнением в конечных разностях.

Пусть передаточная функция цифровой системы

, .

Этой передаточной функции соответствует уравнение в конеч­ных разностях:

,

Разделив коэффициенты на и решив уравнение относительно , получают значения искомой выходной величины че­рез ее значения в предшествующие моменты времени и значения входной величины в соответствующие моменты времени.

По этому уравнению легко реализовать алгоритм вычисления решетчатой функции на выходе цифровой системы при заданном входном воздействии.

8.5 Цифровые аналоги типовых законов управления

Рассмотрим методику получения уравнений в конечных разностях и -передаточных функций эквивалентных законам уп­равления общепромышленных регуляторов на примере наиболее слож­ного ПИД -закона управления, из которого могут быть получены другие, как частные случаи.

Интегро-дифференциальное уравнение ПИД регулятора

, (8.15)

где - коэффициент усиления; - постоянная интегрирования;

- постоянная дифференцирования.

Для малых периодов квантования это уравнение можно преобразовать в разностное путем замены производной первой раз­ностью, а интеграла - суммой.

Используя интегрирование по методу прямоугольников, выражение (8.15) можно записать так:

. (8.16)

Этот не рекуррентный алгоритм управления требует для формирования суммы помнить все предыдущие значения сигнала ошибки, поэтому для программирования на ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы, которые для вычисления управляющего воздействия требуют знания предыдущего значения и поправочного чле­на. Если из (8.16) вычесть

,

то получим рекуррентный алгоритм управления:

, (8.17)

где .

Из уравнения (8.16) легко получаются соотношения для "П" и "ПД" регуляторов, когда отсутствует суммирование рассогласований

, (8.18)

или

, (8.19)

т.е. в этом случае не требуется знание предшествующего значения управляющего воздействия для получения . Для "ПИ" -закона разностное уравнение также получается из (8.16) с учетом знака суммы, но без последнего слагаемого. Лег­ко видеть, что в этом случае

, (8.20)

где

.

Для "И" -закона регулирования

, (8.21)

где .

Используя основные свойства (линейности и сдвига) для нуле­вых начальных условий:

;

,

находят для регулятора, например, реализующего ПИД -закон регулирования:

.

Взяв отношение -преобразования выходной величины к - преобразованию входной при нулевых начальных условиях, получа­ют дискретную передаточную функцию искомого элемента системы.

. (8.22)

В общем виде передаточную функцию цифрового фильтра можно записать так:

.

Этот алгоритм может быть реализован, если .

Соотношение порядка полиномов числителя и знаменателя может быть различным: или . Обычно в регуляторах , а . Для исключения статической ошибки в ал­горитме управления -го порядка необходимо иметь полюс . Поэтому структура регулятора -го порядка в простейшем слу­чае имеет вид:

Наиболее распространенным в практике управления является алгоритм второго порядка, . При подаче на вход регулятора единичного сигнала, получаем:

;

;

;

. . . . . . . . . . . . . .

. (8.23)

В случае, когда , дискретный регулятор соответствует непрерывному ПИД -регулятору с дополнительной за­держкой на один такт. Если , то можно записать следу­ющие соотношения для параметров регулятора :

при или ;

при для или .

На рисунке 8.3 представлены переходные процессы для алгорит­мов первого и второго порядков.

По аналогии с непрерывными регуляторами можно выделить сле­дующие коэффициенты, характеризующие свойства регуляторов:

- коэффициент усиления;

- коэффициент опережения;

- коэффициент интегрирования.

Для положительного коэффициента усиления регулятора , а диапазоны изменения параметров регулятора такие: .

Рисунок 8.3 - Переходные функции цифровых регуляторов

Если вычислены оптимальные параметры непрерывного ПИД регулятора, то по ним можно посчитать оптимальные параметры цифрового регулятора.

Обозначим .

Тогда

, (8.24)

При этом дискретная передаточная функция цифрового фильтра принимает вид: .

При малых периодах квантования и высокой разрядности АЦП и ЦАП параметры цифрового фильтра можно находить как для не­прерывного регулятора, после чего их следует пересчитать по формулам (8.24) для цифрового регулятора.