9 Нелинейные системы

Линейная теория, используемая для анализа и синтеза линей­ных моделей систем управления, обычно бывает полезна на первой стадии исследований для приближенной оценки их качества и не может охватить всего многообразия движений, наблюдающихся в реальных системах.

В то время как линейная теория автоматического управления приобрела строгую законченную форму, теория нелинейных систем до сих пор остается предметом исследований многих российских и зарубежных ученых. Это объясняется тем, что многие явления, специфичные для нелинейных систем, не могут быть объяснены на ос­нове общих методов исследования, и каждая задача требует инди­видуального подхода. Поэтому для решения проблем нелинейной теории привлекается различный математический аппарат, тем не менее многие важные практические вопросы далеко не разрешены.

Можно утверждать, что практически все системы управления нелинейные. Но, допуская некоторые идеализации, их свойства в первом приближении могут быть описаны линейными дифференциаль­ными уравнениями, что облегчает процесс исследования. Однако не все реальные звенья допускают линеаризацию обычным способом (разложением в ряд Тейлора, методом средних или методом наименьших квадратов) без потери при исследовании важнейших свойств системы. В этом случае одно или несколько звеньев сис­темы описывается нелинейными зависимостями, а остальные нелинейными. Вся такая система относится к классу нелинейных и исследуется соответствующими методами, описанными ниже.

9.1 Основные типы нелинейностей

Существует множество разнообразных нелинейных описаний, поскольку к ним относится все, что чем-либо отличается от ли­нейного (нелинейности в непрерывных системах с постоянными па­раметрами, с переменными во времени параметрами, в дискретных системах, системах с распределенными параметрами и т.д.).

Наиболее часто встречающиеся нелинейности можно классифи­цировать следующим образом.

Нелинейность релейного типа, рисунок 9.1. Обозначив через -выходную, а через - входную величину релейного элемента, в общем случае можно записать

.

(9.1)

Рисунок 9.1 - Характеристики релейных элементов

На рисунке 9.1.а, изображена характеристика релейного элемента без среднего положения (двухпозиционного), а на рисунке 9.1,б трехпозиционного (со средним положением). Связь выходной и входной величин для них следующая: для 10.1,а –

(9.2)

для 9.1,б

(9.3)

Релейный элемент может иметь зону нечувствительности

(рисунок 9.1,д). Тогда

(9.4)

Если коэффициент возврата релейного элемента не равен единице, рисунок 9.1,г, то характеристика оказывается неоднозначной,

(9.5)

Релейный элемент может иметь положительный гистерезис, рисунок 9.1.в, и отрицательный гистерезис, рисунок 9.1,е. Особенность релейных элементов с гистерезисом в том, что уравнение, опи­сывающее связь между выходной величиной и входной, включает параметр , характеризующий состояние релейного элемента после последнего переключения.

Для описания релейного элемента с отрицательным гистерези­сом, рисунок 9.1,е, необходимо знать не только величину входного сигнала, но и скорость его изменения. Обозначим ,тогда

(9.6)

Характеристики релейных элементов могут быть несимметричными, или релейно-импульсными, когда при превышении некоторого уровня входного сигнала подается импульс определенной длитель­ности, а в случае превышения другого уровня - импульс другой длительности и т.д. При достижении входным сигналом больших ве­личин включается релейный элемент, подающий сигнал постоянной величины.

Нелинейности непрерывных статических характеристик, рисунок 9.2.

Рисунок 9.2 - Статические нелинейности

Они записываются в форме (9.1) и могут задаваться анали­тически в виде степенных и других функций. Характеристика с насыщением изображена на рисунке 9.2,а, с нечувствительностью и насыщением на рисунке 9.2,б, с петлей гистерезиса - на рисунке 9.2,в, с зазором - на рисунке 9.2,г.

Динамические нелинейности, которые описываются нелинейны­ми дифференциальными зависимостями. Примером может служить не­линейное введение производной наряду с самой величиной, изме­нение постоянной времени в зависимости от входной величины, нелинейное трение.

Нелинейность переменной структуры, связанная с изменением значения переменной . В этом случае система, состоящая из линейных звеньев, создает нелинейное устройство, реализую­щее определенную функцию переключения , которая, например, будет равна

(9.7)

Нелинейности логического типа, когда элемент, имеющий несколько входов, выдает ступенчатый сигнал (1,0,-1) в зависимости от определенных логических комбинаций свойств входных величин.

Релейные автоматические системы

Релейные системы относятся к наиболее простому классу нелинейных систем, поскольку благодаря специфике релейного элемента, создающего воздействия на линейную часть системы в виде прямоугольных импульсов постоянной высоты, исследование их сво­дится к исследованию линейной части, подверженной указанным импульсам.

Управляющее воздействие, приложенное к линейной части системы, можно представить в виде суммы воздействий простейшего вида, а реакцию линейной части найти, применив принцип суперпозиции, как сумму реакции на каждое из них.

Релейные системы, отличаясь простотой, имеют иногда лучшие динамические свойства, чем другие. Создание бесконтактных релейных элементов, допускающих изменение параметров, позволяет придавать системе новые свойства. Поскольку при наличии рассо­гласования между заданным и действительным значением регулируе­мой величины управляющее воздействие всегда будет максимальным, то, естественно, быстродействие системы станет большим, однако в ней возникнут незатухающие колебания (автоколебания). Как правило, автоколебания нежелательны, но в некоторых системах они являются основным рабочим режимом.

Если на релейную систему подействовать периодическими воз­действиями, то при определенных условиях (условия захватывания) ранее существующие в ней автоколебания устраняются, но при этом возникают вынужденные колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия.

При достаточно большой частоте вынужденные колебания будут иметь малую амплитуду, допустимую по технологическим требованиям.

Наличие автоколебаний ослабляет отрицательное влияние на динамику системы сухого трения, гистерезиса и придают ей свойства пропорциональности, линеаризуют ее.

Применяя внутренние обратные связи, можно получать скользя­щие режимы и строить на их основе частотно-импульсные системы.

Исследовать релейную систему удобнее, если отдельно выде­лять релейный элемент и линейную часть, а все возмущающие воздействия приводить к входу релейного элемента. В итоге получим структурную схему, представленную на рисунке 9.3, где обозначены в изображениях Лапласа

- возмущения, приведенные к входу релейного элемента;

- входная величина релейного элемента;

- выходная;

-регулируемая величина.

Для линейной части	(9.8)
уравнение замыкания ;	(9.9)
уравнение релейного элемента	(9.10)

где - символ прямого преобразования Лапласа.

Рисунок 9.3 - Структурная схема релейной системы

Исключая промежуточные переменные и из сис­темы уравнений (9.8), (9.9), (9.10), получаем уравнением замк­нутой системы

(9.11)

или, если нас интересует регулируемая величина

.

(9.12)

Как видно из уравнений (9.11) и (9.12), их нельзя разрешить в явном виде относительно и , поскольку они входят в качестве аргумента нелинейной функции и, следовательно, не могут быть использованы для построения переход­ного процесса в релейной системе.