- •Гоу впо Кубанский государственный технологический университет
- •Пугачев в.И.
- •Рецензенты:
- •Isbn © Пугачев в.И., 2010
- •1.2 Основные элементы сау
- •1.4 Замкнутые и разомкнутые сау
- •1.5 Статика и динамика регулирования
- •3.2 Типовые звенья сау
- •Апериодическое звено
- •3.3 Основные законы регулирования
- •4.2 Алгебраический критерий устойчивости Гурвица
- •4.3 Частотный критерий устойчивости Михайлова
- •4.4 Критерий устойчивости Найквиста - Михайлова
- •4.5 Устойчивость сау с запаздыванием
- •5.3 Граница устойчивости и область устойчивости в плоскости одном и двух параметров
- •6.2 Интегральные оценки качества сау
- •7.2 Введение интеграла в закон регулирования
- •7.3 Создание инвариантных сау
- •7.4 Создание комбинированных сау
- •8 Цифровые системы управления
- •8.1 Способ управления с помощью эвм
- •8.2 Решетчатые функции и разностные уравнения
- •8.3 Дискретная передаточная функция
- •8.4 Получение оригинала по -преобразованию.
- •8.5 Цифровые аналоги типовых законов управления
- •8.6 Анализ цифровых систем управления
- •8.7 Анализ устойчивости цифровых систем.
- •9 Нелинейные системы
- •9.1 Основные типы нелинейностей
- •9.2 Устойчивость нелинейных систем
- •Общие положения об устойчивости нелинейных систем
- •9.3 Устойчивость релейных систем
4.5 Устойчивость сау с запаздыванием
Если САУ имеет чистое запаздывание, то ее устойчивость можно определить только по критерию Найквиста-Михайлова, поскольку характеристическое уравнение будет иметь бесконечное множество корней из-за наличия сомножителя , делающего его трансцендентным.
Действительно, пусть .
Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы будет
Раскладывая функцию в степенной ряд, получаем:
Перемножив члены ряда на , получим характеристическое уравнение степени «k», где k, что и требовалось доказать.
Систему с чистым запаздыванием можно рассматривать как предельную систему без запаздывания и звена чистого запаздывания, включенного последовательно:
(4.11)
Из выражения (4.11) следует, что наличие чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частотную характеристику, модуль АФХ остается прежним, но изменяется фаза векторов - каждый из них поворачивается по часовой стрелке на угол . Поскольку значения модуля АФХ, как правило, больше при малых частотах, то наличие чистого запаздывания приводит к «разбуханию» АФХ, и она может охватить на комплексной плоскости точку с координатами , рисунок 4.5.
Для определения критического значения , при котором САУ еще устойчива, проводят из начала координат комплексной плоскости единичным радиусом окружность. Точка пересечения ее с АФХ характеризует частоту , при которой Зная , можно найти (рисунок 4.6).
(4.12)
Рисунок 4.5 – Деформация АФХ звеном чистого запаздывания
Построив АФХ разомкнутой САУ, можно найти запас устойчивости замкнутой САУ по модулю и по фазе (рисунок 4.5,б). Запас устойчивости по фазе есть угол . Запас устойчивости по модулю иногда определяют по расстоянию от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до минус единицы, иногда как величину , где - расстояние от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до начала координат.
Рисунок 4.6 –Оценка запаса устойчивости по модулю и фазе
5 АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ САУ
5.1 Структурные преобразования САУ
При анализе САУ любой сложности приходится изменять ее структуру не изменяя свойств в целях удобства исследования или наглядности, необходимости моделирования или выбора корректирующих звеньев. При этом следует пользоваться следующими очевидными правилами:
при последовательном включении звеньев их результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев;
при параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев;
при встречно-параллельном включении звеньев результирующая передаточная функция равна частному от деления передаточной функции прямой связи на единицу плюс или минус передаточная функция разомкнутого контура, в котором звенья включены встречно-параллельно (рисунок 5.1). При этом знак «плюс» соответствует отрицательной, а «минус» - положительной обратной связи. Для схемы (рисунок 5.1) справедливы соотношения:
.
5.2 Ошибки и их составляющие в САУ
Устойчивость САУ является необходимым условием ее применения, но недостаточным. Системы работают в различных режимах и при различных входных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , поучаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой (рисунок 5.2):
В соответствии с рисунком изображение ошибки запишем так:
. (5.2)
Рисунок 5.2 – Статическая ошибка регулирования
Здесь .
Если , то , , .
Анализируя качество САУ, определяют:
1. Статическую погрешность регулирования
. (5.3)
2. Время регулирования, характеризующее быстродействие САУ, определяется как время , через которое разность
,
где - заданная величина, определяемая требуемой точностью системы.
3. Максимальное перерегулирование , определяемое как наибольший заброс регулируемой величины относительно установившегося значения.
4. Число перерегулирований, определяемое как число выбросов, для которых .
Указанные показатели качества являются прямыми, для их определения необходимо построить или записать переходный процесс.
Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействиям можно быть найдена на основании теоремы о предельном переходе. ,
.
Если , то система называется астатической по управляющему воздействию.
Аналогично можно определить составляющую статической ошибки по возмущающему воздействию:
, .
Если , то САУ астатическая по возмущающему воздействию.
Если или , то система называется статистической по соответствующему воздействию. Она может быть статической по одному воздействию и астатической по другому
. (5.4)