9.2 Устойчивость нелинейных систем

Основополагающей работой в этой области является работа А.М. Ляпунова (1892) "Общая задача об устойчивости движения". Однако наибольшее значение для исследования устойчивости не­линейных систем имеет так называемый второй (прямой) метод Ляпунова, основанный на использовании некоторой функции, называемой функцией Ляпунова. В своей работе он указал способ по­строения такой функции лишь для линейных систем. Для нелиней­ных систем общего метода определения функции Ляпунова нет, по­этому можно подобрать несколько функций, каждая из которых даст свои условия устойчивости, т.е. второй метод Ляпунова позволя­ет получить лишь достаточные условия устойчивости. Сложность метода не позволяла его использовать почти 60 лет.

В настоящее время существует большое число различных определений понятия устойчивости. Это прежде всего понятие асимптотической и абсолютной ус­тойчивости (А.И. Лурье, В.Н. Постников,1945 г.) устойчивости в малом, большом, целом (Я.3.Цыпкин, В.М. Попов - румынский уче­ный, 1959 г.); технической или практической устойчивости на конечном интервале времени (К.А. Карагаров, А.Г.Пилютин.1962г.); устойчивость по Лагранжу (Ж.П.Ла-Салль,С.Лефшец,1964 г.), ус­ловной устойчивости (Ж.П.Ла-Салль,1964 г.) гиперустойчивости (В.М.Попов,1960 г.).

В настоящее время существуют аналитические и частотные методы исследования нелинейных систем. Сложность аналитическо­го исследования привели к разработке критериев (Я.3.Цыпкина, В.М. Попова) позволяющих упростить решение задачи.

Общие положения об устойчивости нелинейных систем

При отсутствии возмущающих воздействий уравнения динами­ки для нелинейной системы -го порядка в общем виде в нор­мальной форме Коши имеют вид:

(9.13)

Пусть есть невозмущенное движение системы, а - отклонение возмущенного состояния системы, тогда

(9.14)

где - возмущенное движение системы, определяемое уравнениями (9.13) при определенных начальных условиях .

Уравнение возмущенного движения в отклонениях запишется в виде:

(9.15)

В общем случае вид уравнений (9.15) зависит от вида установив­шегося процесса , поскольку (9.15) получается из (9.13) подстановкой (9.14). Это могут быть гармонические коле­бания, линейная временная функция и т.д.

Невозмущенное движение называется устойчивым, если задав "трубку" -мерного сечения , можно подобрать в начальный момент такую область начальных условий , зависящую от , что с увеличением возмущенное движе­ние не выйдет из заданной трубки .

Невозмущенное движение будет неустойчивым, если указанное условие не выполняется хотя бы для одного .

Если условия определения выполнены и при то невозмущенное движение называется асимптотически устойчивым.

Если же при после любых начальных отклонений, то система называется устойчивой в целом.

Абсолютно устойчивой называют асимптотически устойчивую систему в целом внутри определенного класса нелинейностей.

Таким образом, в отличие от линейных систем, устойчивость нелинейных определяется величиной возмущающего воздействия (отклонения координат состояния).